数学优化训练：两角和与差的余弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章三角恒等变换3。1和角公式3.1。1两角和与差的余弦5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.（高考全国卷Ⅰ，文1）已知向量a、b满足｜a｜=1，|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为(）A.B.C。D.解析：∵a·b=|a｜｜b｜cos<a,b>，2=1×4cos〈a，b>，∴cos<a，b〉=，<a,b>=.答案:C2.(高考湖北卷，理1)已知向量a=（，1），b是不平行于ｘ轴的单位向量，且a·b=，则b等于（）A.（，）B.（，)C。（,）D。(1，0）解析：A答案中的b不满足a·b=,C答案中的b不是单位向量,D答案中的b平行于x轴,所以淘汰A、C、D，而B答案满足题设所有条件.答案：B3.不查表求值：cos80°cos20°+sin80°sin20°=_____________.解析:原式=cos（80°—20°)=cos60°=.答案:4.化简:cos（x+y)cos（x—y)—sin（x+y)sin（x-y）=______________.解析：原式=cos［(x+y)+（x—y）］=cos2x.答案：cos2x10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。sin22°sin23°—cos23°cos22°的值为（）A。B。C。D.解析：利用两角和的余弦公式，M=-（cos23°cos22°—sin23°sin22°）=-cos（23°+22°)=—cos45°=.答案：D2。sin75°cos45°+sin15°sin45°的值为（)A.B.C.D。-1解:先用诱导公式sinα=cos（90°-α）得sin75°=cos15°，再用两角差的余弦公式：sin75°cos45°+sin15°sin45°=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos(45°-15°)=cos30°=.答案:C3.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是（）A。α=，β=B.α=,β=C。α=,β=D。α=，β=解析：由cosαcosβ=+sinαsinβ，得cosαcosβ-sinαsinβ=，利用两角和的余弦公式得cos（α+β）=,∴α+β=2kπ±（k∈Z)。答案:A4.(2005重庆高考卷，文2）（cos—sin）(cos+sin）=________________.解析：（cos-sin)(cos+sin）=cos·cos—sin·sin=cos(+）=cos=。答案：5。cos15°+sin15°=______________。解:cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos（60°-15°）=cos45°=。答案：6.已知cos(α-β）cosα+sin（α-β)sinα=m，且β为第三象限角,求sinβ的值.解：由于cos（α-β）cosα+sin（α—β)sinα中视α-β为一个角时由两角差的余弦公式,可求出cosβ，再由同角三角函数的基本关系式求出sinβ。∵cos（α—β）cosα+sin（α-β)sinα=m。∴cos（α—β-α）=m。∴cosβ=m。而β为第三象限角，∴sinβ=.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。下列四个命题中的假命题是(）A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB。不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC.对任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β)≠cosαcosβ—sinαsinβ解析：由于选项C是公式，故选项C、D显然正确，对于选项A，可令α=2kπ，k∈Z,β=2kπ+时，cos（2kπ+2kπ+）=0,cos2kπ·cos(2kπ+)+sin2kπsin（2kπ+）=0，因此存在无数多个α、β,使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，但不是对任意的α、β均成立，所以选项A也是真命题.答案:B2。已知cos（α+β）+cos（α—β)=,则cosαcosβ的值为（)A.B。C。D。解析：由两角和与差的余弦公式cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ,cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α+β)+cos（α-β）=cosαcosβ—sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=，∴cosαcosβ=.答案：D3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A。B。C。D。解析：原式=sin163°sin223°+sin（90°+163°）sin(90°+223°)=sin163°sin223°+cos163°cos223°=cos（223°-163°)=cos60°=.答案:B4。已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α—β）的值是（）A。1B。-1C。D。解析：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ，①cosα+cosβ=—cosγ。②①2+②2，得2+2cos（α-β)=1.∴cos（α—β）=。答案：D5。（2006内蒙古包头一模，6)向量a=（2cosα，2sinα)，b=（3cosβ,3sinβ），a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα=与(x-cosβ)2+(y+sinβ）2=的位置关系是(）A。相切B.相交C.相离D。随α、β的值而定解析：cos〈a,b>==cos（α-β）=。圆心（cosβ,—sinβ）到直线的距离为=0，所以圆心在直线上,圆与直线相交。答案:B6.cos（54°—x）cos（36°+x）—sin（54°—x）sin（36°+x）=____________.解析：cos（54°—x）cos（36°+x)-sin（54°-x）sin(36°+x）=cos[（54°-x)+（36°+x）]=cos90°=0.答案:07.若cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β)的值为_______________.解析：将两条件等式平方后相加,得（cos2α+sin2α)+（cos2β+sin2β）+2（cosαcosβ+sinαsinβ)=.∴2+2cos（α-β）=，cos（α—β)=。答案：8。函数y=sinx+cosx的值域为______________。解析：y=sinx+cosx=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x）∈[—2,2］。答案：［—2,2］9。已知cos(α+β）=,cos（α-β）=,＜α+β＜2π，＜α—β＜π,求cos2α.解：cos2α=cos［（α