数学优化训练：任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2任意角的三角函数1.2。1任意角的三角函数5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。任意角α,以角α的顶点为坐标原点，以角α的始边方向为x轴正方向建立直角坐标系xOy，P（x，y）为角α终边上不同于O的任一点，r=,则sinα=_____________________，cosα=____________________________，tanα=_______________,cotα=_______________，secα=_______________,cscα=_______________.答案：2。sinα的定义域为_________________，cosα的定义域为_________________，tanα的定义域为_______________.答案：RR｛α｜α≠kπ+，k∈Z｝3.已知点P（4，—3）是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（)A。tanα=—B。cotα=-C.sinα=-D。cosα=思路解析：由三角函数的定义，知x=4，y=-3，r=5，cotα==-，A、C、D均错.答案：B4。如果cosα=-，则下列是角α终边上的一点的是（）A。P（1，）B。P（，1）C。P（,—1）D.P（—1，）思路解析：排除法：由余弦函数的定义cosα=及cosα=—，知x＜0，检验B、D，知D正确.直接法：也可以把A、B、C、D四个选项中的点的坐标代入求出cosα的值,易知D正确。答案：D10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.(2001全国)若sinθcosθ>0，则θ在（)A.第一、二象限B.第一、三象限C。第一、四象限D.第二、四象限思路解析：∵sinθcosθ>0，∴sinθ,cosθ同号。当sinθ>0，cosθ>0时，θ在第一象限；当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限。答案:B2.(2004全国卷Ⅲ）已知函数y=tan（2x+φ）的图象过点（，0），则φ可以是（）A．-B．C．-D．思路解析:将(,0）代入原函数可得y=tan(+φ）＝0，再将A、B、C、D的值代入检验易得结果.答案：A3。已知点P在角α的终边上且｜OP|=1，则点P的坐标是(）A.（，）B.（，）C。（，）D.（cosα，sinα)思路解析：由三角函数定义及｜OP｜==1，得cosα=x，sinα=y.∴P点坐标为（cosα，sinα）。答案:D4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(）A.sinB.cosC。tanD。cos2θ思路解析：∵2kπ＜θ＜2kπ+（k∈Z)，∴kπ＜＜kπ+（k∈Z），4kπ＜2θ＜4kπ+π（k∈Z）.可知是第一、三象限角，sin、cos都可能取负值,只有tan能确定为正值.2θ是第一、二象限角,cos2θ可能取负值.∴应选C.答案：C5.函数y=的定义域是_______________。思路解析：依题意,得故x的范围是2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z）。答案：［2kπ+，2kπ+π］（k∈Z）6.如果sinα〈0且cosα〈0,则角α是()A。第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D。第四象限角思路解析：由sinα＜0，则α终边位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上。由cosα＜0，则α终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴上。所以角α的终边只能位于第三象限。答案：C7。设α为第二象限角,其终边上一点为P（m，）且cosα=m，则sinα的值为_______________.思路解析：设点P(m，）到原点O的距离为r，则=cosα=m，∴r=2，sinα===.答案：志鸿教育乐园悔改某人（到教堂)：“神父,我……我有罪。”神父：“说吧，我的孩子，你有什么事?”某人：“二战时，我藏起了一个被纳粹追捕的犹太人。"神父:“这是好事啊,为什么你觉得有罪呢？”某人：“我把他藏在我家的地下室里……而且……我让他每天交给我1500法郎的租金。”30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.（2004辽宁)若cosθ>0,且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是（）A。第一象限B.第二象限C。第三象限D.第四象限思路解析:sin2θ〈0，所以2kπ+π<2θ<2kπ+2π,kπ+〈θ<kπ+π.所以θ在第二或第四象限。又cosθ〉0,θ在第一或第四象限，所以θ在第四象限.答案：D2.（2002全国)在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是()A.(，）∪（π，）B.(，π）C。(,)D.（,π）∪（，）思路解析:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选C，如图所示。答案:C3.（2002北京)已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f(x)的图象如图1—图1-2A。(0，1）∪(2,3)B。(1，）∪（,3）C.（0，1）∪(,3）D.(0,1)∪（1，3）思路解析：解不等式f(x）cosx<0或∴或∴0<x〈1或〈x〈3。答案：C4.已知点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限,则在(0,2π)内α的取值范围是（）A。（，）∪（π，）B。(,）∪(π，）C.（，)∪（,D。（，)∪(，π)思路解析：由题设知〈α〈或π〈α<.答案:B5.使tanα≥cotα成立的角α的一个取值区间是（)A.(0,]B。［0，］C.［，］D.［,)思路解析:α∈[,）tanα≥1，cotα≤1tanα≥cotα.答案:D6。已知点P(tanα,cosα)在第三象限，则角α的终边在第_______________象限。思路解析：由P(tanα，cosα）在第三象限,所以tanα〈0①，cosα〈0②。由①得α终边在二、四象限，由②得α终边在二、三象限，故α终边在第二象限．答案：二7.已知α、β均为锐角,且满足关系式12sin2（π+α）+20sin2（—β）+12sin（3π+α)-sin(-β）+13=0，求α与β的值.解:化简等式，即12sin2α+20cos2β-12sinα—20cosβ+13=0。整理得（12sin2α-12sinα+3）+（20cos2β-20cosβ+10）=0，即3(2sinα-1）2+5（2cosβ-)2=0.解得sinα=,cosβ=。又α、β均为锐角，故α=，β=.8.当α∈｛α｜2kπ+〈α〈2kπ+，k∈Z｝时，试比较sinα与cosα的大小.解：（1）当2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z，即α的终边位于第二象限时，sinα〉0,cosα＜0。故sinα〉cosα.（2）当α=2kπ+π，k∈Z，即α的终边位于x轴非正半轴时，sinα=0,cosα=—1.故sinα〉cosα。（3)当2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z，即α的终边位于第三象限时，-＜sinα＜0，而cosα＜-.故sinα>cosα。综上，当α∈｛α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z＝时,恒有sinα〉cosα。9。已知关于x的方程（2sinα—1）x2—4x+4sinα