数学优化训练：投影与直观图

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1。4投影与直观图5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是（)A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴，长度不变B。原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D。在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：由直观图的画法规则可知选项C中∠x′O′y′可以是45°或135°。答案：C2。图1-1—4—1中斜二测直观图所示的平面图形是()图1—1—4-1A。直角梯形B.等腰梯形C。不可能是梯形D.平行四边形解析：由图可知，A′D′∥x′轴，B′C′∥x′轴，B′A′∥y′轴，因而AD∥x轴，BC∥x轴，BA∥y轴，即AD∥BC,BA⊥BC，所以该图形表示的是直角梯形。答案:A3。中心投影是指_____________的投影，它能形成一个与物体逼真的直观图；平行投影是指_____________的投影，按投射方向与投射面是否_____________,分为_____________和_____________两种。答案：投射线交于一点投射线相互平行正对着（或垂直)斜投影正投影10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。利用斜二测画法得到的以下结论，其中正确的是（）①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形.A.①②B.①C.②④D.①②③④解析:由规则1知,直观图中∠x′O′y′=45°，知③不正确；由规则3知，直观图中与x轴平行的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的,故④不正确;由直观图画法中的平行性知②正确。故选A。答案:A2.用“斜二测画法”作正△ABC的水平放置的直观图得△A′B′C′,则△A′B′C′与△ABC的面积之比为（）A。B。C。D.解析：由斜二测画法知，|A′B′|=｜AB|，高h′=h··，所以S′=｜A′B′|·h′=｜AB|·，即.故选B。答案:B3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是_____________。解析：由题意知，直观图下底长为,如图,可得直观图高h′=。故可计算出直观图的面积为S′=(）·.又,得S=.答案：4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1—1—4-2所示，已知A1C1=3，B1C1=2，则AB边上的中线的实际长度为图1—1—4-2解:由于在直观图中∠A1C1B1答案：2。55.图1—1—4—3表示水平放置的直观图,画出它们原来的图形.图1—1-4—3解析：斜二测画法的关键一是“斜”,即将互相垂直的Ox、Oy轴画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′=45°;二是“二测”，即“横不变,纵减半”。还原直观图只要将这两个步骤逆过来就可以了，即一是要将O′x′、O′y′轴画成互相垂直的Ox、Oy轴,二是“横不变,纵加倍”.作法:（1）①作直角坐标系x′O′y′；②在x′轴负半轴上,取A′，使O′A′=OA；③在直观图中过B作BC∥y轴交x轴于C点；④在x′轴负半轴上取C′，使O′C′=OC；⑤过C′作B′C′∥y′轴，并使B′C′=2BC；⑥连结A′B′、O′B′，则图甲中△O′A′B′即为图（1）中直观图的原来图形。（2)①作直角坐标系x′O′y′；②在x′轴上取H′、E′，分别使O′H′=OH，O′E′=OE；③在y′轴上取G′，使O′G′=2OG；④作FK∥x轴，交y轴于K；⑤在y′轴上取K′，使O′K′=2OK；⑥作K′F′∥x′轴，并取F′，使K′F′=KF；⑦连结H′G′、G′F′、F′E′，则图乙中四边形E′H′G′F′即为图（2)中直观图的原来图形。30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1。下列说法正确的是(）A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C。矩形的直观图可能是梯形D。正方形的直观图可能是平行四边形解析：两条垂直的直线在直观图中不一定画成垂直，如两条直线一条平行于x轴，一条平行于y轴，则这两条直线可以画成夹角为45°或135°，所以A选项错误；原图中平行的线段在直观图中平行,直观图中平行的线段在原图形中也是平行的，所以B、C选项错误.答案：D2.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且长方体上底面尺寸与四棱锥底面一样，已知长方体长20m，宽5m，高10m,四棱锥高8m。若按1∶1000的比例画它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为(）A。4cm，1cm,2cm，1。6cmB。4cm,0。5cm,2cm，0。8cmC.4cm，0。5cm，2cm,1。6cmD.2cm，0。5cm，1cm，0。8cm解析:由比例尺可知长、宽、高和锥高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图,图形的尺寸应为4cm，0.5cm,2cm,1。6cm。故选C。答案：C3。以正方形一组邻边为x轴、y轴的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()A。8B.16C。64解析：若直观图中与x轴平行的那条边为4，则此正方形的面积是42=16；若直观图中与y轴平行的那条边为4，则此正方形的面积是82=64。答案：D4.一个三角形用斜二测画法画出来是一个正三角形，边长为a，则此三角形的面积是()A。B。C。D。解：如图所示，∵△A1B1C1的高A1D1=,∴O1A1=A1D1=。∴OA=2O1A1=a。∴S△ABC=·BC·OA=。答案：C5。下列说法正确的是()A。正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°B.水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形C.不等边三角形的水平放置的直观图是不等边三角形D。水平放置的平面图形的直观图形是平面图形解析：对于A,若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“‘二测’——横不变，纵减半”的规则，因而答案不正确;对于B,水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于C，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形。答案:D6.如图1—1-4—4所示的直观图中，O′A′=O′B′=2,则其平面图形的面积是（)A.4B.C.D。8图1-1-4-4图1—1-4—5解析：作出原来的平面图形,易知OA=4，OB=2，故其面积=×2×4=4.答案:A7。图1-1-4-5所示的是水平放置的三角形ABC的直观图,D是△ABC中BC边的中点，那么AB、AD、AC三条线段中最长的是____________，最短的是____________。解：∵∠ABC=∠xOy=90°，∴AB⊥BC，AD、AC均为斜线段,中垂线段＜斜线段.∴AB是最短的.∴AB＜AD＜AC。答案：ACAB8.对于以下结论：①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形;③两条相交的直线的投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的中位线.其中正确的结论是_________________.解析：根据平行投影的实际情况，如投影线和投影面的角度改变，则①②均不正确.两条相交直线的投影一定不可能是两条平行线，故③不正确.由平行投影的含义知④正确.答案：④9。试判断下列各命题是否正确。（1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形;（3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形;(4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形;（5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；（6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形。解析：由斜二测画法过程可以看出这种画法并不会改变直线和直线间相交及平行的关系，也不会改变三点是否共线的关