新高考数学二轮复习讲义专题11 导数在不等式恒等式和零点问题综合应用（讲义）（原卷版）

专题11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用【考点专题】考点一：利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：考点二：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．【方法技巧】方法点睛：与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相关的常见同构模型：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0）；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0）；（3）SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0）.方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用,属于难题,主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0;(4)SKIPIF1<0.【核心题型】题型一：导数在不等式恒成立问题1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则满足题意的SKIPIF1<0的取值集合为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·统考一模）已知SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：利用导数研究能成立问题4．（2023·广西柳州·二模）设函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，e为自然对数的底数），若存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·江西新余·统考二模）若存在两个正数SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：利用导数研究函数零点问题7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：利用导数研究函数的根问题10．（2022·四川南充·统考一模）已知函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则关于x的方程SKIPIF1<0的不同实根个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．511．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象交点的横坐标，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．212．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型五：利用导数研究函数的图像和性质问题13．（2022·广东汕头·统考三模）已知函数SKIPIF1<0，若关于x的方程SKIPIF1<0有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022·天津·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有6个零点，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型六：利用导数研究双变量问题16．（2022·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知函数SKIPIF1<0．若对任意的SKIPIF1<0，都存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2020·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．SKIPIF1<0题型七：利用导数解决实际问题19．（2022春·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是SKIPIF1<0的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2022·全国·模拟预测）如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上（不包含端点），且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．621．（2022·河南开封·统考二模）如图，将一块直径为SKIPIF1<0的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型八：导数的综合问题22．（2023·浙江·统考一模）设函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时,证明:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,求a的取值范围．23．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.24．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，求SKIPIF1<0的最小值；(2)已知SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【高考必刷】一、单选题25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设命题p：“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的必要不充分条件.命题q：若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0．下列命题是真命题的（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0恰有两个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数），若曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．529．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长SKIPIF1<0，则其体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<030．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有两个不等实根SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<031．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的导函数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也存在导函数，则称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在二阶导函数，简记为SKIPIF1<0.若在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为“凹函数”.已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为“凹函数”，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极值，且极值为8，则（

）A．SKIPIF1<0有三个零点B．SKIPIF1<0C．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0为奇函数33．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列正确的是（

）A．若函数SKIPIF1<0有且只有1个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若函数SKIPIF1<0有两个零点，则SKIPIF1<0C．若函数SKIPIF1<0有且只有1个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0有两个零点，则SKIPIF1<034．（2023·全国·模拟预测）设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则满足条件的正整数SKIPIF1<0可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．435．（2023·湖南永州·统考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题36．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）关于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则a的取值范围是______．37．（20