方法技巧专题09 直线与圆锥曲线 (解析版)

；方法技巧专题9直线与圆锥曲线解析版一、知识框架二、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系：1.代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立，消去(也可以消去)，整理得到关于（或者）的一元方程.（1）当时：计算.若Δ＞0，则与相交；若Δ＝0，则与相切；若Δ＜0，则与相离；当且时：即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点。若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断与的位置关系．1.例题【例1】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（）相离 B．相交 C．相切 D．不确定【解析】直线：化为，可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交，故选：B.【例2】已知点为曲线上两个不同的点，的横坐标是函数的两个极值点，则直线与椭圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定【解析】由，得，因为的横坐标是函数的两个极值点，所以是方程的两根，因此，又点为曲线上两个不同的点，所以因此直线的方程为：，即，即直线恒过定点，又点显然在椭圆内，因此直线与椭圆必相交.故选：C.【例3】已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数__________.【解析】依题意椭圆，则，，又因为，是直线上一点，若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.故答案为：.【例4】直线与曲线（）A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点【解析】当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：，此时直线与曲线有两个交点当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点故选：【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.故选：D.【例6】已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【解析】如图，由题可知，，则，又，，，又，作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得解得，双曲线的离心率为【例7】若直线是抛物线的一条切线，则_________【解析】联立直线和抛物线得到．故答案为：.【例8】已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.【例9】过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解析】画出图像如下图所示，由图可知，这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线，故符合题意的直线有条，故选C.2.巩固提升综合练习【练习1】已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】双曲线的方程为，所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，将代入方程，整理可得.①当时，满足题意；②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，，且是方程的根，则，解得.所以，当时，.根据对称性可知，当时，可求得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【练习2】对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.【解析】由消去得，当时，，此时直线与椭圆相交；当，此时直线与椭圆相切；当，此时直线与椭圆相离.【练习3】过点和双曲线仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【解析】直线斜率不存在时,不满足条件；直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意∴过点和双曲线仅有一交点的直线有2条故选:B．【练习4】已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是，渐近线斜率，而，由此得不等式，即，故，所以，故选：C．【练习5】已知抛物线，直线l过定点(-1,0)，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率是__________.【解析】由题意可设直线方程为：y＝k（x+1），联立方程可得，，整理可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0（*）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根①k＝0时，y＝0符合题意②k≠0时，△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0整理，得k2＝1，解得或k＝﹣1．综上可得，或k＝﹣1或k＝0．故答案为﹣1或0或1【练习6】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，过作直线与抛物线相切，切点为，则的面积为（）A．32 B．16 C．8 D．4【解析】抛物线的焦点为,椭圆的焦点为,所以,即,所以抛物线方程为:,则为,设直线为,则联立,消去,可得,因为直线与抛物线相切,所以,则,当时,直线为,则点为,则,由抛物线的对称性,当时,,故选:C三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题【一】弦长公式弦长公式：弦长公式：（1）题设：若斜率为的直线与圆锥曲线方程有两个不同的交点，则或；（2）通径：=1\*GB3①过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：eq\f(2b2,a)；=2\*GB3②过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：eq\f(2b2,a)；（3）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；（4）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；1.例题【例1】斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)【解析】选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，当t＝0时，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).【例2】已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，焦距为2eq\r(2).斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．【解析】(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,2c＝2\r(2)，))解得a＝eq\r(3)，b＝1.所以椭圆M的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(3m,2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,4).所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2x2－x12)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\f(12－3m2,2)).当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为eq\r(6).【例3】椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝eq\f(1,2)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为eq\r(3)，求△ABF2的面积．【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(8,5)，所以y1＝eq\r(3)，y2＝－eq\f(3\r(3),5).所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\f(3\r(3),5)))＝eq\f(8\r(3),5).【例4】已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为()A． B． C． D．【解析】，∴.【例5】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由题设知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.【例6】已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.【解析】不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4eq\r(2)，所以直线AB的斜率为k＝eq\f(4\r(2),2－4)＝－2eq\r(2)，所以直线方程为y＝－2eq\r(2)(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：12【例7】已知斜率为1的直线l与双曲线y2＝1的右支交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为（）y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x【解析】设斜率为1的直线的方程为，联立双曲线方程，可得，设，，，，可得，，则，解得，由于直线与双曲线的右支交于两点，可得，则直线的方程为．故选：．【例8】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为______.【解析】当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点作弦只与双曲线左支相交，使；直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的.故答案为：2【例9】已知双曲线（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？【解析】（1）设直线与的交点联立方程组，化简得：，解得，所以，所以弦长（2）假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.设,,易知,由两式相减得,又,，所以,所以,故直线的方程为,即.由,消去得,因为,方程无解,故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.2.巩固提升综合练习【练习1】已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2))).(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，求直线l的斜率k的值．【解析】(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，,a2＝b2＋c2，,c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)＋4))y2－eq\f(6,k)y－9＝0，则Δ＝eq\f(144,k2)＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(6k,3＋4k2)，y1y2＝eq\f(－9k2,3＋4k2)，又eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±eq\f(\r(5),2)，又k＞0，所以k＝eq\f(\r(5),2).【练习2】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.【练习3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为．（1）若，求的方程；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．【练习4】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（）A． B． C． D．【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得：，，解得：，本题正确选项为B.【练习5】已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点.（1）求的轨迹；（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积.【解析】（1）由于复数满足：（），所以在复平面上的对应点到、两点的距离之差为常数，且.所以的轨迹是双曲线的右支.且.设轨迹的方程为，将点代入上式得，解得或（舍去），所以的轨迹方程为.（2）依题意，直线的方程为，由消去得.设，则.所以.到直线的距离为.所以.【练习6】已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点．(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．【解析】(1)设双曲线C：，点代入得：

∴双曲线C：在△PF1F2中，设

，∴

，由②得：，，

，∴；(2)∵

∴

，1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）2°当直线AB斜率存在时，设AB：

，联立：

，∴，解得：，此时

，∴直线l方程：或.【二】面积问题面积问题：面积问题：涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.(1)椭圆焦点三角形面积：(2)双曲线焦点三角形面积：(3)抛物线：=1\*GB3①题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则：.=2\*GB3②题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则：.1.例题【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．【例2】已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形面积的最小值【解析】（1）由得,设直线的方程为,由得,因为直线与抛物线相切,故,解得.故所求直线的方程,即.（2）设切线的方程为,,,又由,,三点共线,故,,,化简可得,,,由得,因为直线与抛物线相切,故,即,故直线的方程为,,因此点到直线的距离为,由得,,,故,所以等号成立当且仅当,即时等号成立.此时三角形面积的最小值为16.【例3】已知点，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则_______【解析】,的面积为9，设，．则可得：，即，解得．【例4】已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【解析】（1）设，因为直线的斜率为，所以，.又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.2.巩固提升综合练习【练习1】抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,,垂足为K,则的面积是()A．4 B． C． D．8【解析】由抛物线可得,因为斜率为,则直线方程为,联立,消得,解得,,因为交点在轴上方,所以,则,则,则由抛物线定义可得,因为直线斜率为,即倾斜角为,因为,所以轴,即,所以,故选:C【练习2】已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，，则的面积为________．【解析】由椭圆方程得：，，设，，则在中，由余弦定理得：解得：【练习3】如图所示,直线与椭圈交于A､B两点,记面积为S;(1)求在,的条件下S的最大值;(2)当,,时,求直线的方程;【解析】设,,（1）当时,,联立,即,所以,,所以,则,因为,所以设,则,,则,因为,所以,则的最大值为1（2）因为,,所以,即,联立,则,所以,,则,整理可得,解得,所以或（舍）,则,所以或,所以直线的方程为或【练习4】已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.【解析】（Ⅰ）由题意知，得，，所以，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，所以，，椭圆的标准方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，令，得，，当直线的斜率存在时，设:，，，，由，得，则，，所以，，将代入，得，又因为，原点到直线的距离，所以.当且仅当，即时取等号.综上所述，面积的最大值为1.四、课后自我检测1.已知直线与抛物线交于，两点，则等于（）A． B．6 C．7 D．8【解析】方法一：设为,为,联立得,因为,则,所以方法二：故选：D2.已知直线y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是()A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(4\r(2),3)C.eq\r(2)D．2【解析】选B由条件知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)，b＝1，椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq\f(4\r(2),3).3.已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．【解析】因为椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)的焦点在x轴上，所以c＝eq\r(a2－1)，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得eq\f(c2,a2)＋y2＝1，则y＝±eq\r(1－\f(c2,a2))，又|AB|＝1，所以2eq\r(1－\f(c2,a2))＝1，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，所以该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（）A. B. C. D.【解析】方法一：当直线垂直于轴时，，不符合题设；当直线不垂直于轴时，设方程为，即.点到直线距离.联立得，设,则由韦达定理得,,,所以由弦长公式得,,因为的面积为,所以，所以，所以.故选C.方法二：，所以，所以5.若直线l交双曲线的左，右两支于A，B两点，