【19题结构】 第一学期高二数学期末模拟试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一学期高二数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知直线与.若，则（

）A． B．1 C． D．22．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则（

）A． B．0 C．5 D．43．设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（

）A． B． C． D．4．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则与平面的夹角余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或6．已知为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C．23 D．7．已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．以下几个命题中，其中真命题的序号为（

）.①双曲线与椭圆有相同的焦点；②在平面内，到定点2,1的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆.A．① B．①② C．①④ D．③④二、多选题9．已知直线和圆，则（

）A．存在使得直线与直线垂直B．直线恒过定点C．直线与圆相切D．直线被圆截得的最短弦长为10．下面四个结论正确的是（

）A．空间向量，若，则B．对空间中四点，若存在点，使，则四点共面C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．任意向量满足11．已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（

）A．直线过点 B．直线的倾斜角为C． D．是等边三角形第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．若圆与圆外切，则实数m＝．13．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值.14．“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为.四、解答题15．已知三角形的三个顶点分别为，求：(1)边所在直线的方程；(2)边上高线所在直线的方程．16．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知直线l：和圆C：．(1)求证：直线l恒过一定点M；(2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短；(3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．18．如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.

(1)求异面直线与所成的角；(2)求的取值范围；(3)求四面体的体积的最大值.19．已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．(1)求双曲线的方程；(2)若直线的斜率为，求；(3)当时，求的最小值．关注公众号《品数学》参考答案：题号12345678910答案BACBCBDAADABC题号11答案ABD1．B【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.【解析】由于，所以，此时两直线方程分别为，不重合，符合题意，所以.故选：B2．A【分析】根据线面垂直，则线与法向量平行，利用坐标运算即可求解.【解析】因为，所以，所以，解得，故选:A.3．C【分析】由抛物线标准方程可得焦点2,0，再由离心率可得，可求得椭圆方程.【解析】根据题意易知抛物线的焦点为2,0，可得；椭圆离心率为，可得，即；椭圆可化为，因此可得；因此，所以椭圆的方程为.故选：C4．B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面的夹角的正弦值，再转化为余弦值.【解析】底面ABCD为等腰梯形，，，，如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，两式相减可得，令，解得，，则平面的一个法向量为，，则到平面的夹角正弦值，.故选：B5．C【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果.【解析】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为；点和到直线的距离相等可知，解得或.故选：C6．B【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案.【解析】如图，由，，所以，，所以是直角三角形，又BF1+BF2，所以，即，即，所以.故选：B.

7．D【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.【解析】连接，如图，

则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形，又，所以点到直线的距离必须小于或等于，即，所以，故选：D.8．A【分析】根据圆锥曲线的概念、基本性质，圆锥曲线中的轨迹问题，逐一判断即可.【解析】①双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故①正确；②因为定点在直线上，所以到定点2,1的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，故②错误；③若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离，当大于或等于两个定点间的距离时动点的轨迹不是双曲线，故③错误；④由知是线段的中点，所以，所以在以为直径的圆上，即动点的轨迹为圆，故④错误.故选：A.【小结】关键点小结：本题主要考查了圆锥曲线的概念、性质及轨迹问题，解题的关键是要准确掌握圆锥曲线的概念，及对基本知识的理解与应用.9．AD【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，结合垂直关系分析判断；对于B：将直线方程化为，即可得定点；对于C：判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：根据题意结合圆的性质分析求解.【解析】由题意可知：圆：的圆心为O0,0，半径，对A：因为直线：的斜率为，当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确；对B：由可得，，令，解得，所以直线恒过定点，故B错误；对C：因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C错误；对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确；故选：AD10．ABC【分析】A选项，根据向量数量积公式得到；B选项，由题目条件推出，从而四点共面；C选项，设，得到方程，方程无解，C正确；D选项，举出反例即可.【解析】对于A选项，空间向量，若⊥，，夹角为，则，故A正确；对于B选项，若对空间中任意一点，有，即，所以，故，则四点共面，故B正确；对于C选项，是空间的一个基底，则不存在使得，设，即，即，此等式不成立，故不共面，则也是空间的一个基底，故C正确；对于D选项，不妨设，则，，此时，故D错误.故选：ABC.11．ABD【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D.【解析】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，所以，即直线的倾斜角为，故B正确；因为，故C错误；因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，又，所以是等边三角形，故D正确.故选：ABD.

12．【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.【解析】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.由于两圆外切，所以，由于，故解得.故答案为：13．【分析】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可.【解析】如图，设，，，，由题意易知，则，因为，，，所以，所以,所以向量与夹角的余弦值为，故答案为：14．【分析】利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解.【解析】因为椭圆，所以，，即，如图，延长、交于点，由题意可知，又因为，则为的中点，且，所以，又因为为的中点，则，故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为，易知点到圆心的距离为，所以的最小值为.故答案为：.【小结】关键点小结：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解.15．(1)(2)【分析】（1）根据直线的两点式方程即可求出；（2）先求出的斜率，即可得到高线所在直线的斜率，再由点斜式方程即可解出．【解析】（1）边所在直线的方程为：,即．（2）∵的斜率∴边上的高所在直线的斜率∴边上的高线所在直线的方程为：即．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）由于为棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）依题意可知平面，而平面，所以，，所以.而，由此可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立联立即可求得直线恒过的定点；（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值；（3）由（2）得，直线：，画出图形，可知所求圆的圆心，联立直线方程求得圆心坐标，再求出所求圆的半径，则圆的标准方程可求．【解析】（1）由直线l：，得，联立解得∴直线l恒过一定点．（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C：为，可得，则，∴，解得．（3）由（2）得，直线：，即．

如图，过C与直线垂直的直线方程为，即．联立解得而C到直线的距离，∴所求圆的半径为．故圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为．18．(1)(2)(3)【分析】（1）过点作的平行线，过点作的平行线交于点，可得是异面直线与所成的角，再根据几何关系求解即可；（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，进而可得的取值范围；思路二：由空间向量的线性运算可得，进而可得范围.（3）先求得，思路一：设，，根据基本不等式求得，范围，进而可得最大值.思路二：直接根据结合基本不等式求解即可.【解析】（1）如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，

则有是异面直线与所成的角或其补角.因为，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因为，，所以，所以，，所以异面直线与所成的角为.（2）如图，过的中点分别作，的平行线，，以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴，过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.

由题意可知，，设,，则，，从而，且.所以.思路一：因为，，，所以，，所以，即.所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为.点，所以.思路二：设在，上的投影分别为，则且，则、分别为平行四边形的两条对角线，则为中点.故，可得，因为，则，所以.（3）由题意异面直线，所成角为，则到平面的距离，故，

思路一：不妨设，，则，故，从而，此时.思路二：因为，故，从而，此时，.19．(1)(2)(3)【分析】（1）先根据条件确定的值及双曲线经过点，可求双曲线的标准方程.（2）先根据直线与圆线切和与直线垂直，求出直线的方程，代入双曲线方程，可求，利用求弦长.（3）求出弦长AB和点坐标，再结合直线斜率的取值范围确定的最小值.【解析】（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：，又根据题意，双曲线过点，所以，所以双曲线的标准方程为：.（2）如图：因为直线的斜率为，且直线与直线