黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数（为虚数单位）的虚部为3，则（）A. B. C.1 D.5【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数的概念即可得解.【解析】因为，又的虚部为3，则，故.故选：C.2.已知全集,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式与一元二次不等式,再根据集合的交集与补集运算计算即可.【解析】由得或，或，由得所以故选:B.3.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（）A.6 B.8 C.12 D.24【答案】C【解析】【分析】设出点后，求出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长【解析】设点、，抛物线的焦点为，由于直线过点，且该直线的倾斜角为，斜率为1，则直线的方程为，联立方程，消去并整理得，，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得故选：C.4.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，设圆柱的底面半径为，计算出椭圆的长轴长和短轴长，可取得的值，由此可求得椭圆的离心率.【解析】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，如下图所示，设圆柱的底面半径为，可知，截面为直角梯形，不妨设、为直角腰，过点作，垂足为点，由题意可知，椭圆的短轴长为，则，“切面”所在平面与底面所成的角等于，所以，，则，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.5.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.【解析】以底面圆弧的圆心O为原点，CD为x轴，BA为y轴，过圆心O垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，，则有，，，在上且为靠近的三等分点，则，，，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D6.已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的上，下焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴右侧交双曲线于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件求出以及，再直接求即可.【解析】因为一条渐近线方程是，所以，设，又，得，所以.故选：A.7.已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解.【解析】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则，因为在中，，所以，即，则，即，所以，即，由柯西不等式得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时满足，所以的最大值为.故选：D.8.正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解.【解析】如图建立空间直角坐标系，设，则,,则，.因为，所以，所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段.易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，所以动点的轨迹长度为故选：A二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9.直线，圆，下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆必有两个交点C.直线与圆的相交弦长的最大值为D.当时，圆上存在3个点到直线距离等于1【答案】ABD【解析】【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；利用相交弦最长的是直径即可判断C；利用圆心到直线的距离为1，再结合图形即可判断D.【解析】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确；圆的方程化为，圆心，半径2，直线恒过定点到圆心的距离为，所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确；直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误；当时，直线，圆心到直线的距离为1，如图所示，x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2，所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确.故选：ABD10.设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（）A.若向量，向量，则B.若向量，向量，则C.若向量，向量，则当且仅当时，D.若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为【答案】BD【解析】【分析】根据题意直接计算进而判断A；通过空间直角坐标系数量积的运算法则计算B；根据题意直接判断C；根据题中的概念判断得到三棱锥是棱长为1的正四面体，再结合二面角定义法求解方法进行求解判断D.【解析】对于A，若向量，向量，则，故A错误；对于B，若向量，向量，此时在空间直角坐标系中，故B正确；对于C，若向量，向量，当时，，则，此时，显然不成立，故C错误；对于D，若向量，向量，向量，则三棱锥是棱长为1的正四面体，如图所示，取中点，连接，在等边中，易知，,则即为二面角的平面角，在中，由余弦定理得，，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选：BD11.经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（）A.B.面积的最小值为8C.以焦半径为直径的圆与直线相切D.【答案】BC【解析】【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，显然直线斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，设直线为，联立方程，消去x得，则，，对于选项A：，故A错误；对于选项B：，原点到直线的距离，所以面积，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为8，故B正确；对于选项C：由题意可知：线段的中点，则到y轴的距离为，所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；对于选项D：因为，即，故D错误；故选：BC.12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数且点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（）阿波罗尼奥斯A.若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为B.若点只在平面内运动,则△的面积最小值为C.类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分D.若点在平面内运动,则点到平面的距离最小值为【答案】BC【解析】【分析】当点只在平面内运动时,可简化为平面直角坐标系内的距离问题,通过两点间的距离公式化简运算即可判断项；当点在长方体内部运动时,通过空间直角坐标系得相关点的坐标,借助空间中两点的距离公式,化简整理可得点的轨迹方程,即可判断项；当点在平面内运动时,可借助项中点的轨迹方程得此时的轨迹方程,再根据空间中点到平面的距离运算即可判断项.【解析】在平面内,设点由得即所以若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为且当点时,△的面积最小为故错误,正确；当点在长方体内部运动时,设,由得即的轨迹为球面的一部分,故正确；当点在平面内运动时,设由得即设平面的法向量为则令则所以点到平面的距离为由得所以点到面的距离最小值为故错误.故选：BC.【小结】本题考查空间动点轨迹问题,考查了转化思想,计算能力,属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上13.已知直线与直线平行，则实数_______．【答案】##【解析】【分析】由两直线平行的条件，列方程求实数的值并检验.【解析】直线与直线平行，则有，即，解得或.经检验：当时，两直线重合，舍去，符合题意，所以.故答案为：.14.若空间三点，则点到直线的距离为_______．【答案】【解析】【分析】借助空间向量求点到直线的距离即可得.【解析】，，则，则.故答案为：.15.线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围_______．【答案】【解析】【分析】根据数量积的线性运算可得，计算圆心O到直线CD的距离，根据点P在线段CD上，求出的取值范围，即可求解.【解析】由题意知，连接，为的中点，则，可得，又因为，则圆心O到直线CD的距离为，由点P在线段CD上可知，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.16.已知是双曲线的左，右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为3，为的第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则_______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合渐近线的知识可得，再利用角平分线的性质以及双曲线的定义可得，结合余弦定理运算求解即可.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，取其中一条渐近线为，即，到渐近线的距离，由题意可得：，可得，则，因为为的平分线，则，即，又因为，可得，所以.故答案为：四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.已知（1）过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程；（2）若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，结合中点坐标公式求，进而可求直线方程；（2）先求线段的垂直平分线方程，进而结合圆的性质求圆心和半径，即可圆的方程.【小问1解析】设直线与直线交点，直线与直线交点，由题意可得：，解得，即，所以直线的方程为，即.【小问2解析】由题意可知：直线的斜率，线段的中点为，可知线段的垂直平分线方程为，即，联立方程，解得，可得圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为.18.在中，角的对边分别为.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定理结合基本不等式运算求解.【小问1解析】因为，即，可得又因为，则，可得，且，可得.【小问2解析】法一：由正弦定理可得，则，可得，因为，则，可得，所以周长的最大值为法二：由余弦定理可得，可得，当且仅当时，等号成立，解得，所以周长的最大值为.19.《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入决赛．已知甲同学能答对A类中问题概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．（1）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件，求事件的概率；（2）求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件，设事件表示“星队能进入决赛”，可知，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解.【小问1解析】因为甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，所以，，．【小问2解析】设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件，因为乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，可得，设事件表示“星队能进入决赛”，可得，所以“星队”能进入决赛的概率为.20.已知双曲线的离心率为，过点．（1）求双曲线的方程；（2）若过点的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合双曲线的性质列式求即可；（2）设直线方程为，，联立方程可得韦达定理，不妨设，由，整理得，结合韦达定理即可得结果.【小问1解析】由题中条件可知，解得，所以双曲线方程为．【小问2解析】由题意直线斜率存在，设直线方程为，，联立方程，消整理得，显然，则，可得，，由题意可得：，解得，不妨设，因为，即，可得，解得，所以在直线上.【小结】方法小结：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21.图1是直角梯形，，，，，，在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．（1）求证：平面平面（2）在棱上存在点，使