艺考生专题讲义10 函数的图象

考点10函数的图象知识梳理1．函数图象的作法(1)直接法(2)图象变换法(3)描点法2．描点法作函数图象(1)基本步骤：列表、描点、连线．(2)注意事项：①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点．③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点．3．基本初等函数的图象(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)(5)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)4．函数图象的变换(1)平移变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.口诀：左加右减，上加下减．(2)伸缩变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(0<ω<1，伸长为原来的eq\f(1,ω)倍,ω>1，缩短为原来的eq\f(1,ω)))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，伸为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，缩为原来的A))y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\do5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|口诀：绝对值作用在x上，右翻左；作用在y上，下翻上．精讲精练题型一函数的图象识别例1下列所给图象是函数图象的个数为________．答案2解析：选①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.举一反三函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是________．②③④答案①解析容易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除④.当0<x<eq\f(π,2)时，y＝xsinx>0，当x＝π时，y＝0，可排除②、③，故选①.方法总结函数图象的识别要点：(1)对于函数的图象，一个x只有一个y值与之对应；(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(6)从函数的特征点，排除不合要求的图象．题型二作函数的图象例2画出下列函数的图象．(1)y＝2x－1，x∈Z，|x|≤2；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)；答案：(1)(2)举一反三作出下列函数图象(1)y＝x2－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))>1))；(2)y＝x|2－x|.解析(1)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))>1，∴x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图.(2)∵y＝x|2－x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x（x≥2）,－x2＋2x（x<2）))，∴图象由两部分组成，如图.题型三函数图象的变换例3作出下列函数图象：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝|－x2＋2x＋1|解析(1)由于y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x＜0，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x＜0.))画出函数图象如图所示，(2)函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．举一反三作出下列函数图象(1)y＝2x＋2；(2)y＝eq\f(x＋2,x－1).解析(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如下左图(2)因y＝eq\f(x＋2,x－1)＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的图象，如上右图.题型四函数图象的应用例4方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．答案(1，eq\f(5,4))解析方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：易知－eq\f(1,4)<1－a<0，∴1<a<eq\f(5,4).举一反三：已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．答案(eq\f(1,2)，1)解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x