2024-2025学年德州市高一数学上学期期中考试卷及答案解析

高一数学试题

主考学校：宁津一中

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷1-2页，第n卷3-4页，

共150分，测试时间120分钟.

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.

第I卷选择题(共58分)

一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.)

1,已知集合"3=卜，―2%—3<0},则zn5=()

A.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】先解集合8中的不等式，再根据交集的定义计算即可.

【详解】由2x—3<0,得(x+l)(x—3)<0,解得—l<x<3,

所以408={0,1,2},

故选：D.

2.命题TaeR,函数/(x)=必-是奇函数”的否定是()

A.VaeR,函数/(x)=x，-口必是偶函数

B.VaeR,函数/(x)=/—不是奇函数

C.3aeR,函数/(x)=x，-口必是偶函数

D.3aeR,函数/(x)=d—不是奇函数

【答案】B

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定的定义，可得结果.

【详解】FaeR,函数是奇函数”的否定是：

“VaeR,函数/(x)=d—a/不是奇函数”.

故选：B.

3.用二分法研究函数/(x)=/—2x+2的零点时，通过计算得：/(-1)>0,/(-2)<0,则下一步应

计算/(xj,则玉=()

537

A.0B.----C.----D.----

424

【答案】C

【解析】

【分析】根据二分法的原理即可判断即可.

【详解】因为/(-1)>0,/(-2)<0,且函数/(力=》3—2X+2图象连续不断，

所以函数/(力=/一2x+2在区间(一2,—1)内有零点，

_i_2Q

所以下一步应计算/(xj，X]=---=--,

故选：C.

4.已知函数/(x)=j〃x_2),x20.则/⑴=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.

【详解】由题意，/(1)=/(1-2)=/(-1)=-1-1=-2,

故选：A

5.下列命题中正确的是()

,tz+1a,11

A.若Q>b>0,则——>-B.右a>b,贝U—<一

b+1bab

,八ab

C.若Q>0,d>c>0,则一〉一D.若。>6,c>d,贝——d

cd

【答案】C

【解析】

【分析】举例说明可判断B,D；作差法结合不等式的性质可判断A,C.

b(a+l)-a(b+l)b-a

【详解】对于

A,b[b+\)b[b+\)

因为a>6>0,所以b—a<0,b(b+l)>Q,

对于B,若a=3,b=-2,则L；,-=所以_L〉L,故B错误；

a3b2ab

-—abad-be

对于C,-------=----------,

cdcd

因为Q>6>0,d>c>0,所以Qd>bc>0,所以〃d—bc>0,

dhnh

所以----->0,即一〉一，故C正确；

cdcd

对于D,若Q=5,b=4,c=3,d=1,

则Q—C=2,b—d=3,所以〃——故D错误.

故选：C.

6.已知/(x)是定义在(—8,0)U(0,+8)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x--,则不等式犷'(x)20

X

的解集是()

A.(-l,0)U(0,l)B.[-l,0)u[l,+<z>)

C.(-cc,-l]o[l,+oo^D.(-co,-l)u(l,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数的性质完善函数解析式，根据定义域分段解不等式即可.

【详解】当x>0时，#(x)=x^x-1^|=x2-l,由题意得》2—120,解得X21;

设x<0,则—X>0,所以/(—x)=-x------=-x—，

-XX

因为/(X)是定义在(―8,0)U(0,+8)上的奇函数，

所以/(力=-/(一力=一—XH---二X——

XX

当x<0时，rf(x)=xx~T,由题意得好一120，解得x4-1；

所以力⑺之o的解集是(-OO,—I]3L+℃)，

故选：C.

7.若使4x+l—加20成立，则实数加的取值范围是()

A.(-8,6]B,C,(-w,-3]D.[1,6]

【答案】A

【解析】

【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可.

【详解】设函数/(x)=f—4x+l—加，

因为[-1,4],使X?-4x+l-〃z20成立，

所以/(x)在区间[T4]上的最大值»0,

因为二次函数/(x)=/-4X+1-机的开口向上，对称轴方程为X=2,

所以函数/(x)在区间上单调递减，在[2,4]上单调递增，

因为卜1-2|〉|4-2|,结合二次函数的对称性可知，

当x=—1时，函数/(X)取最大值，最大值/(x'x=620,解得加W6；

故选：A.

「n

—F3,x<0,

8.已知函数/(x)=x若存在实数左，使得函数g(x)=/(x)-上有4个不同的零点，则实

-x2+2x,x>0.

数上的取值范围是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】画出函数y=/(久)的图象，根据图象可求解.

1,1

--F3,X<—

x3

【详解】由题意，/(x)=j1,1--，

x3

-x2+2x,x>0

函数g(x)=/(x)-左有4个不同的零点，

O函数y=f(x)的图象和直线V=左有4个交点,

函数y=/(x)的图象如下：

由图可知，当x<-g时，函数/(X)单调递减，

当—g<x<0时，函数/(X)单调递增，且/［一；］=0，

当OWx<l时，函数/(x)单调递增，

当x>l时，函数/(x)单调递减，且/。)=1；

所以实数上的取值范围是(0,1).

故选：B.

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.)

9.下列说法正确的是()

91

A.命题“\ZXER,厂一%+—>0”是真命题

4

B.命题“上:cR,使得/+1=O”是假命题

C.4=8是=4的充要条件

D.是集合/=卜|分+》+1=0｝中只有一个元素的充要条件

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,由X=1时，不等式不成立可判断；对于B,根据实数的平方的非负性可判断；对于C,

2

根据集合间的包含关系和交集的定义可判断；对于D,易得。=0时，集合A中只有一个元素，进而判断.

【详解】对于A,x1-x+—=[x-^-\,显然x=1时，不成立，故A错误;

42）24

对于B,因为方程必=_1在实数集R上无解，所以不存在xeR,使得必+1=（）,故B正确;

对于C,当4口8时，可得Nn5=N,当幺口5=幺时，可得故C正确；

对于D,当。=—时，方程-1+》+1=（）的解为》=—2,此时集合A中只有一个元素，

44

当。=0时，方程a/+%+1=o为x+i=o,解得％=一1,

当QWO时，由A=l—4。=0,解得a——,

4

故集合/={x|渥+x+l=o}中只有一个元素，等价于。=0或。=,；故D错误;

4

故选：BC.

10.若x>0,y>0,且x+2y=l,则（）

21

A.孙的最大值是:B.一+—的最小值是8

4xy

C.必+4『的最小值是g1X„r-

D.一+1的最小值是1+2近

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式逐项判断即可.

【详解】对于A,因为x>0,y>0,由基本不等式得x+2y>2j9],即J再,

解得孙三,，当且仅当》=工，y=L时，等号成立，

824

所以孙的最大值是W，故A不正确；

对于B,因为x>0,y>0,

所以2+L(x+2/2+口」+电+422E^+4=8,

%yVxyJyxNyx

当且仅当V,V时，等号成立,

21

所以一+一的最小值是8，故B正确；

xy

对于C,因为x〉0,y>0,由x+2y=l,得(x+2y)2=i,

即x2+4y2+4xy=1,因为4盯<x2+4y2,

所以一+4_)?+》2+4>221,gpX2+4/>1,

当且仅当工=l，y=!时，等号成立，

2'4

所以—+4/的最小值是g,故C正确;

对于D,因为x>0,y>0,

1+£=1+1-2,=1+1_2

XyXyXy

(11](、、

=(x+2y)—+—-2=二+殳+3-2

x

vy))

>2昌殳+3-2=2拒+1,

VJx

当且仅当》=五—1，y=l—注时，等号成立,

.2

1X/—

所以一+―的最小值是1+2也，故D正确.

xy

故选：BCD.

H.设xeR,歹=国称为高斯函数，其中[可表示不超过尤的最大整数，例如：[-2.3]=-3,

[2.3]=2.若〃x)=x—[x],则()

A.7(2024.25)=0.25

B.函数/(x)的值域为[0,1)

C.若—l4[x|w3,则—l〈x<3

D.点集|(x+[刃2=1)所表示的平面区域的面积是4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义和函数的值域，分段函数的性质逐一分析即可.

【详解】对于A：f(2024.25)=2024.25-[2024.25]=0.25,故A正确;

对于B：/(x)=x-[x]e[0,l),故B正确;

对于C：当x=3.8时，[3.8]=3,满足—l4[x]<3,但x=3.8>3,故C错误;

[x]=o[%]=±1

对于D：[xT+[y]2=1的解为,或«

1刃=±1、3=0，

[x]=0

当《「11时，0<％<1,14歹<2或—14歹<0,

〔3=±1

w=±i

l〈x<2或一0<y<1,

当W=o时,

所以点集｛（》4）1［》『+［匕|2=1｝所表示的平面区域的面积是4,故D正确.

故选：ABD.

第n卷非选择题（共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.函数八x）=曲二匚的定义域为

x-1

【答案】［—2,1）。（1,2］

【解析】

【分析】由题可列出不等式组，解之即得.

【详解】要使函数有意义,

4—X**...0

须满足《

X—1H0

解得-2<x<2且xwl,

故函数/（X）的定义域为[-2,-1）口（-1,2].

故答案为：[-2,1）U。,2].

13.若关于x的不等式必+（°-1）》+1>0的解集为区，则实数a的取值范围为.

【答案】（-1,3）

【解析】

【分析】利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可.

【详解】由题意，对于方程f+（a—l）x+l=O,A=（G-1）2-4<0,

解得—1<"3,则实数。的取值范围为（—1,3）,

故答案为：（-1,3）.

14.把一个集合“分成若干个非空子集4，4，L，4,如果满足：①4n②

4Uau…U4=",那么这些子集的全体称为集合〃的一个〃*划分，记为{4,4，…，4}•若集合

M={1,2,3）,则集合四的一个2*划分为;利用余数构造集合的划分是解决子集中元素

整除问题的常用手段.设S为集合四={1,2,3,…,2024}的子集，并且S中任意两个元素之和不能被3整

除，贝”中元素个数的最大值为.

【答案】①.{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}}（作答时，写出一个即可）②.676

【解析】

【分析】根据“〃*划分”的定义直接求集合川={1,2,3}的一个2*划分即可；利用集合

初={1,2,3,…,2024}中元素被3除的余数构造集合的划分，进而根据题意得S中元素个数的最大值。

【详解】根据题意，若集合四={1,2,3},则集合/的2*划分有：

{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}）（作答时，写出一个即可）；

对于集合"={1,2,3,…,2024},

所有被3除余数为1的元素组成的集合为4={1,4,7,…,2023},元素个数为675；

所有被3除余数为2的元素组成的集合为4={2,5,8…,2024},元素个数为675；

所有能被3整除的元素组成的集合为4={3,6,9,­­•,2022},元素个数为674；

由题意，5cTl/={1,2,3,•••,2024},且S中任意两个元素之和不能被3整除，

又因为，集合4中任意一个元素与集合4中任意一个元素之和能被3整除，

所以集合4中的元素和集合4中的元素不能都属于集合S,

因为集合4中任意一个元素与集合4或与集合4中任意一个元素之和都不能被3整除，

且集合4中任意两个元素之和都能被3整除，

所以当集合S中元素个数最多时，

集合s=4。{加}，其中^64；或者s=4。{机}，其中机©4；

故集合S中元素个数的最大值为676.

故答案为：{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}}（作答时，写出一个即可）；676.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.）

15.已知集合2={引212-7x+320},j?={x|m+l<x<2m}.

（1）求集合QN；

（2）若ZU8=N,求实数制的取值范围.

【答案】（1）=

（2）加W1或机22.

【解析】

【分析】（1）解不等式化简集合A,再由补集运算即可得结果；

（2）根据集合间的包含关系对集合3是否为空集进行分类讨论解不等式即可得出结果.

【小问1详解】

解不等式2必—7x+3之0可得N=[xIx23或x<；

所以可得QN=xg<x<3:.

【小问2详解】

由NU8=Z可得

当8=0时，可得机+122机，解得机W1,满足题意；

当3/0时，可得机+1<2m,即加>1,

由3uZ可得m+123或2加〈,，解得7〃，2；

一2

综上可得，实数切的取值范围为加W1或机>2.

16.已知/(x)是二次函数，〃0)=-3且不等式/(x)<0的解集是｛x|—l<x<3｝.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)令g(x)=/(x)+(27)x,若函数g(x)在区间［-3,3］上的最小值为-15,求实数/的值.

【答案】(1)/(X)=X2-2X-3

(2)/=-7或/=7

【解析】

【分析】(1)根据/(x)<0的解集是｛N—l<x<3｝得a>0,/(-1)=/(3)=0,以及/(0)=—3,列

方程组，求解即可；

(2)由g(x)=/(x)+(2-。x,得g(x)=/-/x—3,根据对称轴与区间［-3,3］的位置关系进行分类讨

论即可.

【小问1详解】

由题意，设/(%)=a/+力％+c,Q=0,

因为/(x)<0的解集是｛x|—1<X<3｝,所以a〉0,且—1和3是方程/(x)=0的解，

a>0

c=-3

又〃0)=-3,所以1,八，解得a=l,b=-2,c=—3,

''a-b+c=O

9a+3b+c=0

所以/(x)=x2-2x-3.

【小问2详解】

22

g(x)=/(x)+(2-?)x=x-2x-3+(2-r)x=x-tx-3，

所以二次函数y=g(x)开口向上，对称轴方程为：x=-,

①当;<—3,即/<—6时，函数y=g(x)在区间［—3,3］上单调递增，

所以g(x)min=g(-3)=6+3f,由6+3/=—15,解得f=—7；

②当-3J<3,即一6<f<6时,

2

函数y=9。)在区间-3,；上单调递减，在区间1,3上单调递增，

所以g(x)mm=g］£|=-彳―3,由—j—3=—15,

解得Z=±4#\不满足—6<，<6,故舍去；

③当;23,即96时，函数y=g(x)在区间［—3,3］上单调递减，

所以g(x)min=g(3)=6-37,由6-37=-15,解得/=7；

综上所述，/=—7或f=7.

17.为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在校门口利用原有墙体，建造一间墙高为3米，

底面面积为40平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费

用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米500元，左右两面新建墙体报价为每平

方米400元，屋顶和地面以及其他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为尤米6).

(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队整体报价最低，并求出最低整体报价；

(2)现有乙工程队也要参与此警务室建造竞标，其给出的整体报价为240°。°+%)元(°>0),若无论

x

左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求。的取值范围.

【答案】(1)当左右两面墙的长度为5米时，甲工程队整体报价最低，最低整体报价为28800元

(2)(0,476)

【解析】

【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值即可；

(2)不等式恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可.

【小问1详解】

设工程队的总造价为V元，

则y=312x400x+500x竺］+4800=2400、+力+4800,(1<%<6)；

25

因为x>0,—>0,所以由基本不等式得,

x

25

j=2400|x+—1+4800>24002x--4800=28800,

xx

25

当且仅当工=—,即x=5时，等号成立；

所以当左右两面墙的长度为5米时，甲工程队整体报价最低，最低整体报价为28800元.

【小问2详解】

由题意得，24001x+—1+4800>2400a(1+x)口R

------------对任意xG[1,6]成山

x

日n+2x+25_(X+1)2+24

即a<--------------

x+1x+1

令f=x+l,贝

t2+2424i

所以a(土工^=/+上，对任意/«2r,7］成立;

74?4I-24「

又/+兰22、/•2兰4=4指，当且仅当/=一，即/=2卡时，等号成立;

24广

贝|"+—的最小值为4加；

6.

18.定义在(—8,0)11(0,+℃)上的函数/(x)满足：/(x)+/(j)=/(xj),当x>l时，/(x)<0.

(1)求/(-1)的值，判断函数/(x)的奇偶性，并说明理由;

(2)判断函数/(x)在(0,+。)上的单调性，并用定义证明;

(3)若/(2)=-4,解关于x的不等式/(2x-l)+8<0.

【答案】⑴/(-1)=0,函数/(x)为偶函数，理由见解析;

(2)函数/(x)在(0,+8)上单调递减，证明见解析;

【解析】

【分析】⑴利用赋值法可求解〃-l),通过赋值构造/(X)和/(-X)的关系式，结合函数奇偶性的定义

可判断奇偶性；

(2)利用赋值法构造/(苞)-/(%)的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性;

(3)利用赋值法得/(4)=-8,结合函数/(x)的单调性和奇偶性可解不等式.

【小问1详解】

由题意知，函数/(x)满足：/(x)+/(j)=/(%7)＞

令x=y=1,则/。)+/(1)=/(1)，解得/。)=0，

令x=y=—l,则/(一1)+/(—1)=/(1),解得/(—1)=0,

函数/(x)为偶函数，理由如下：

由题意，函数/(x)的定义域为(-s,O)U(O,+s),

令)=一1,则/(x)+/(-l)=/(-x),即/(x)=/(-X),

所以函数/(X)为偶函数.

【小问2详解】

函数/(x)在(0,+4)上单调递减，证明如下：

任取电>再>0,令x=x-y=—

X]

/、(\

则/«)+/三

=f西•三即—

XX

\1JIxi7ll7

因为％2＞玉＞0,则二＞1,由题意知f—<0,

再lXl7

所以/(%)—/($)=/—<0,即/(%2)</(西)，

所以函数/(X)在(o,+力)上单调递减.

【小问3详解】

由/(2x—1)+8<0,得/(2x—1)<-8；

令x=y=2,则/(2)+/(2)=/(4),所以/(4)=—8,

因为函数/(x)为偶函数，所以/(—4)=一8,

当x>0时，因为函数/(x)在(O,+e)上单调递减，

所以由/(2x—1)<—8,得/(2x—1)</(4),即2x—1>4,解得x〉:；

因为函数/(x)为偶函数，且函数/(x)在(0,+。)上单调递减，

所以函数/(x)在(V,0)上单调递增，

当x<0时，由—8,得—4),

3

所以2x-1<-4,解得％<-于

综上所述，不等式—1)+8<0的解集为1|x<-|或x〉：｝.

19.不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数

/(X)在其定义域内存在实数%,使/(x0)=Xo成立，则称X。是/(X)的一个不动点.

已知函数/(x)=ax2-(b+l)x+2-b(aw0),g(x)-mx-1.

(1)当a=l,6=2时，求函数/(x)的不动点；

(2)当。=2时，若函数/(x)有两个不动点为占，x2,且0<西<1,x2>1,求实数b的取值范围；

(3)若函数/(x)的不动点为—1,2,且对任意王€[1,2],总存在々e[—1,1],使得/(xjg(x2)=l成

立，求实数切的取值范围.

【答案】(1)0和4

⑵(1,2)

33

(3)m<——或加>—

22

【解析】

【分析】(1)由不动点的定义解方程——4%=0即可求解；

(2)由不动点的定义可得2必—优+2)x+2-6=0有两个不相等的实数根不，x2,设

A(x)=2x2-(b+2)x+2-b，根据根的范围列不等式组即可求解；

(3)由已知可得-1,2为方程ox?—伍+2)x+2-6=0的两根，根据韦达定理可求解/(x)的解析式，

由/(xjg(%)=l可得卡J的值域是g(%)值域的子集，分机=0，机>0，机<0三种情况分别求解

即可.

【小问1详解】

函数/(X)的不动点即为，(X)—X=。的实数根，

当。=1,6=2时，转化为方程必―4x=o的实数根,

解得x=0或x=4,所以函数/(x)的不动点为。和4；

【小问2详解】

由题意可得方程2x2-(b+l)x+2-b=