2024秋高中数学第一章常用逻辑用语1.1.3四种命题间的相互关系学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-1.1.3四种命题间的相互关系自主预习·探新知情景引入在商品大战中，广告成了一道漂亮的风景线．几乎全部的广告商都熟识这样的命题变换艺术：“拥有的人们都华蜜，华蜜的人们都拥有”．初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不华蜜”．哪个家庭不希望华蜜呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样奇妙的命题变换达到了目的．本节我们将学习命题的四种形式及其相互之间的关系．新知导学四种命题的真假关系1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，肯定与原命题真假性相同的是__逆否命题__.2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__没有关系__.3．一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种状况：原命题逆命题否命题逆否命题真真__真____真__真__假__假__真____假____真__真假__假__假__假__假预习自测1．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[解析]一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D．2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是(D)A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确[解析]其等价命题为原命题的否命题，“若p正确，则q正确．”故选D．3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“若a>－6，则a>－3”不正确，其否命题也不正确，故选B．4．(山西太原2024－2024学年高二期末)命题“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是__假如x≤1或y≤2，则x＋y≤3__.[解析]命题“假如x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是“假如x≤1或y≤2，则x＋y≤3”．5．命题“已知不共线向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__已知不共线向量e1、e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0__，是__真__命题(填“真”或“假”)．[解析]互为逆否的命题为等价命题，同真同假．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶四种命题间的相互关系典例1下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0 B．1C．2 D．3[规范解答]①中命题的否命题为“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，易知为真命题．②中，当a＝2，b＝－3时，a2<b2，则原命题为假命题，故它的逆否命题为假命题．③中命题的否命题为“若x>－3，则x2－x－6≤0”．当x＝4>－3时，x2－x－6＝16－4－6＝10>0，故它的否命题为假命题．④中命题的逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．易知为假命题．『规律总结』1.命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是肯定的．2．探讨命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q”形式，再依据相关概念作出推断．┃┃跟踪练习1__■设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是(A)A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，明显为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3，故选A．命题方向❷原命题与逆否命题的等价应用典例2推断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否命题的真假．[思路分析]推断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再推断，也可以利用互为逆否命题的等价性来推断．[规范解答]解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2推断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与x∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2解法二：先推断原命题的真假：∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4∴a<eq\f(7,4)<2.∴原命题是真命题．由原命题和它的逆否命题等价，知它的逆否命题为真命题．┃┃跟踪练习2__■求证：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3.[证明]构造命题p：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a，b都小于3，则a＋b<6.而当a<3，且b<3时，必有a＋b<6，所以逆否命题为真，从而原命题p为真命题．学科核心素养等价性命题在证明中的应用典例3求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不行能都是奇数．[思路分析]可将要证明的问题看作一个命题，只需证明这个命题是真命题即可，若证明这个命题本身比较困难，则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题．[规范解答]证明：构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不行能都是奇数．该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明逆否命题是真命题．由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．『规律总结』正难则反思想的利用：我们在干脆证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．┃┃跟踪练习3__■已知a、b、c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a、b、c中至少有一个小于eq\f(1,3).[证明]原命题的逆否命题为“已知a、b、c∈R，若a、b、c都大于或等于eq\f(1,3)，则a＋b＋c≥1”．由条件a≥eq\f(1,3)，b≥eq\f(1,3)，c≥eq\f(1,3)，三式相加得a＋b＋c≥1，明显逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a、b、c∈R，若a＋b＋c<1，则a、b、c中至少有一个小于eq\f(1,3).易混易错警示典例4命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的否命题是(D)A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数 B．若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数C．若a，b都不是奇数，则a＋b不是偶数 D．若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶数[错解1]B[辨析]在写一个命题的否命题时，只对结论否定是不正确的．应当对条件和结论同时否定，即“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”．[错解2