数学课堂探究：古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．古典概型的概率公式与频率计算公式的异同剖析:古典概型的概率公式与频率计算公式的共同点有：（1）形式上都是eq\f（m,n)；（2)范围都是0≤eq\f(m,n）≤1.但是，这两者有着本质的区别,其中P(A）＝eq\f(m,n)是一个定值，且对同一个试验的同一事件，不管什么人做，什么时间做，m，n都应该是一样的,而频率计算公式中的m，n总是随着试验次数的变化而变化的，不同的人，不同的时间得到的结果不一定相同．2．无放回抽取与有放回抽取的区别剖析：在进行古典概型试验时常有两种抽取的方式，一种是无放回地抽取，另一种是有放回地抽取．顾名思义，无放回地抽取是指前一次抽取的元素，不再放回原处，即前一次抽取时有n个元素，那么紧接着的下一次只有n－1个元素;有放回地抽取是指前一次抽取的元素，放回原处,搅拌均匀后，再一次抽取,即前一次抽取时有n个元素，那么紧接着的下一次抽取时还有n个元素．显然，有放回抽取是依次进行的，是有顺序的,即我们在计算基本事件的个数时,顺序不同的基本事件应该看作是不同的基本事件；而无放回抽取有时可不计顺序．3．抽签先后不影响游戏的公平性剖析：在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情．例如，在5张票中有1张奖票，5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票．下面我们来分析这5个人中的每个人得到奖票的概率相等与否．第1个抽票者得到奖票的概率显然是P1＝eq\f（1,5）;前两个人抽票的情况总共有5×4种，而第2个人抽到奖票的情况有4×1种，故P2＝eq\f(4×1，5×4)＝eq\f(1，5)；前三个人抽票的情况总共有5×4×3种，而第3个人抽到奖票的情况总共有4×3×1种,故P3＝eq\f(4×3×1，5×4×3)＝eq\f(1，5)；依次类推，P4＝eq\f（1,5)，P5＝eq\f(1,5），由此可见,这5个抽票者中的任何一个人抽到奖票的概率都相等且为eq\f(1,5）.通过对上述简单问题的分析，我们看到在抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽人知道先抽人抽出的结果,那么各个抽签者中奖的概率是相等的，也就是，并不会因为抽签的顺序不同而影响到游戏的公平性．题型一古典概型的定义【例1】判断下列命题是否正确．(1)掷两枚硬币,基本事件为“两个正面”“两个反面"“一正一反”；（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（3)从－4,－3，－2，－1，0，1，2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同；（4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同;（5）5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到中奖签的可能性肯定不同．解：（1)应有4个基本事件，还有一个是“一反一正”；(2)摸到红球的概率为eq\f（1，2），摸到黑球的概率为eq\f（1，3)，摸到白球的概率为eq\f（1,6)；(3)取到小于0的数字的概率为eq\f（4，7），取到不小于0的数字的概率为eq\f(3，7)；（4)男同学当选的概率为eq\f(1，3），女同学当选的概率为eq\f（1,4)；（5)抽签有先后，但每人抽到中奖签的概率是相同的．所以以上命题都不正确．判断一个随机试验是否为古典概型，主要看以下两个方面：（1)基本事件的个数是否有限；(2)每个基本事件发生的概率是否相等。题型二古典概型的概率求法【例2】(2013山东高考，文17）某小组共有A,B，C，D，E五位同学,他们的身高（单位：米)及体重指标（单位：千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691。731。751。791.82体重指标19.225。118.523。320.9(1）从该小组身高低于1。80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在［18.5，23.9)中的概率．分析：（1)注意身高的限制，先列出基本事件空间，再求概率;（2)5选2问题,先列出基本事件空间,再求概率,且要注意所求事件的双重要求．解:（1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有：(A,B），（A,C)，（A，D)，（B,C），(B，D),（C，D）,共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B），（A，C),(B，C），共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝eq\f(3，6）＝eq\f（1，2)。（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B）,（A,C)，(A,D)，（A，E），(B，C），(B，D)，(B,E)，(C，D)，（C，E），（D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1。70以上且体重指标都在[18。5,23。9)中的事件有：(C，D），(C，E），（D,E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在［18.5,23.9)中的概率为P＝eq\f(3，10)。利用古典概率公式首先要判断试验是否为古典概型，其次求出公式P（A）＝eq\f(m,n)中m与n的值是关键;再者要将基本事件尽量全部列出，这样避免重复和遗漏,并且能有效地解决所求事件的概率.题型三概率的一般加法公式（选学）【例3】从1,2,3，…，10中任选一个数,求下列事件的概率．(1）它是偶数;（2）它能被3整除；(3)它是偶数且能被3整除；（4）它是偶数或能被3整除．分析：解答本题可先由古典概型求得(1）（2）(3)问，再由概率的一般加法公式解决第（4)问．解:基本事件空间Ω＝｛1,2，3,4，…，10},总基本事件个数n＝10。(1)设“是偶数”为事件A,即A＝｛2，4，6，8，10｝，∴P(A)＝eq\f(5，10）＝eq\f(1，2）。(2）设“能被3整除”为事件B，即B＝｛3，6，9｝，∴P(B)＝eq\f（3，10)。（3）设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝｛6｝,∴P(C）＝eq\f(1,10)。(4）设“是偶数或能被3整除"为事件D，则D＝A∪B,根据概率的加法公式得P(A∪B）＝P(A)＋P(B）－P(A∩B）＝P（A)＋P（B）－P(C)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3，10)－eq\f(1，10)＝eq\f(7,10）。概率的一般加法公式同概率的加法公式在限制条件上的区别：①在公式P（A∪B)＝P(A)＋P（B)中,事件A，B是互斥事件．②在公式P(A∪B）＝P(A)＋P(B）－P(A∩B）中,事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.题型四易错辨析【例4】有1号、2号、3号3个信箱和A，B，C，D4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止,其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？错解:每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A信投入1号或2号信箱的概率为e