数学课堂探究：几何概型（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究古典概型和几何概型的异同剖析：如表所示:名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P（A）＝0⇐A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1⇐B为必然事件因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：(1)确定一次试验中每个结果(基本事件）的可能性（概率)是否均等,如果不均等,那么既不属于古典概型也不属于几何概型;（2）如果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．题型一长度型的几何概型【例题1】一只蚂蚁在三边边长分别为3，4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为__________．解析：如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5,则△ABC的周长为3＋4＋5＝12。设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A）＝eq\f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB）＝eq\f（3＋2＋1,12）＝eq\f（1,2).答案：eq\f(1，2）反思如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度,这种概率称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P(A）＝eq\f（事件A构成的区域长度，全部试验结果构成的区域长度)。题型二面积型的几何概型【例题2】取一个边长为4a分析：由于是随机丢一粒豆子,因此可认为豆子落入正方形内的任一点都是等可能的，故豆子落入圆内的概率应等于圆的面积与正方形的面积之比．解：记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)＝eq\f(圆的面积,正方形的面积)＝eq\f(π(2a）2,（4a)2)＝eq\f(π,4)。故豆子落入圆内的概率为eq\f(π，4).反思如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率:P(A）＝eq\f(构成事件A的区域面积,全部试验结果构成的区域面积)。题型三体积型的几何概型【例题3】有一杯2升的水,其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率．分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型．解：设小水杯中含有这个细菌为事件A,则事件A构成的区域体积是0。1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P（A)＝eq\f(0.1，2)＝0。05.反思如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型,可按下列公式来计算其概率:P(A）＝eq\f（构成事件A的区域体积,全部试验结果构成的区域体积）。题型四易错辨析【例题4】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于eq\f(S,4)的概率．错解：如图1所示,设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，则当P点到底边BC的距离小于eq\f(1，2)EF时，即0＜PF＜eq\f(1，2）EF，有0＜eq\f（1，2）BC·PF＜eq\f（1,4）BC·EF，则0＜S△PBC＜eq\f(S，4).设“△PBC的面积小于eq\f(S，4）”为事件A,则A表示的范围是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(S,4））)，所以由几何概型求概率的公式得P（A）＝eq\f（\f(S,4），S)＝eq\f（1,4).所以△PBC的面积小于eq\f（S，4）的概率是eq\f（1,4)。错因分析：如图2所示,P为矩形ABCD内任意点，△PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足△PBC的面积小于eq\f(S,4)。当△PBC的面积等于eq\f(S,4)时，即eq\f（1,2）BC·PF＝eq\f（1，4）BC·EF，所以PF＝eq\f(1，2)EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.点P的轨迹是线段GH，满足条件“△PBC的面积小于eq\f(S,4）”的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三角形区域PBC内．出错的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形．正解：如图所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当△PBC的面积等于eq\f（S，4)时，即eq\f（1,2）BC·PF＝eq\f(1，4)BC·EF，有PF＝eq\f(1,2）EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H。则满足S△PBC＝eq\f(S，4)的点P的轨迹是线段GH。所以满足条件“△PBC的面积小于eq\f(S，4)”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“△PBC的面积小于eq\f（