2024-2025学年上海市奉贤区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市奉贤区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个等腰三角形B.两个等边三角形C.两个矩形D.两个梯形

2.若升与中。，则恶|的值是（）

A4B.TC.|D.-|

3.已知D、E分别在△力BC的BA、C4的延长线上，下列给出的条件中能判定ED〃BC的是（）

AAAE，-AB卜HAB-AC（、DE-ADI一jDE-BD

AD~ACBD~CEBC~ABBC~CE

4.把抛物线y=/-4%+2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）

A.(5-4)B.(5,0)C.(-1-4)D.(-1,0)

5.如图所示：抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的对称轴是直线％=1,

则下列说法正确的是()

A.abc<0B,a+Z)+c>0

C.b>a+cD,b=-2a

6.如图，在△ZBC中，点。、E分别在边43、ZC上，四边形DEGF是平行四边形，点F、G在边BC上,

2N〃。产交BC于点N.甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①器+券=1；②

Dl\L/V

株+株=1•那么下列说法中，正确的是（）

DC.AN

A.①正确②错误

B.①错误②正确

C.①、②皆正确

D.①、②皆错误

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

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7.如果在比例尺为L1000000的地图上，4、B两地的图上距离是4.2厘米，那么4、B两地的实际距离是

______千米.

8.已知线段b是线段a,c的比例中项，a-4cm,b-6cm,那么c=cm.

9.已知抛物线y=x2+bx+4经过(-2,ri)和(4,ri)两点，则6的值为.

10.在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念.如图，一架小提琴中AC、BC、

AB各部分长度的比满足彩=%，则我=_____.

DC71JD/iD

n.已知点4(1,%)、B(-2,y2)>c(一",为)在函数y=］必的图象

上，则月、丫2、乃的大小关系是-

12.如图，已知如B//CD//EF,BD-.DF=1：2,AC=5,那么

CE=_

13.已知△ABCs相似比为1：4,若△力8c的面积为2,则△DEF的面积为

14.图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面48=

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18.定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高

底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

如图，已知A与，2之间的距离为2.“等高底”△48C的“等底”BC在直线h

上，点力在直线6上，△ABC有一边的长是BC的也倍.将△ABC绕点C按顺时针方向

旋转45。得到△4'B'C,A'C所在直线交勿于点。，贝北。=.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题10分)

已知a：b：c=2：3：4,且a+2b-3c=20,试求a-2b+3c的值.

20.（本小题10分）

如图，已知直线0、如b分别截直线〃于点4B、C,截直线卜于点。、E、F,S.I1//I2//I3.

(1)如果4B=3,BC=6,DE=4,求EF的长;

(2)如果OE：EF=2：3,AC=25,求2B的长.

21.（本小题10分）

如图，力。是△ABC的中线，E是力。上一点，5.AD=4AE,联结BE并延长交力C于点F,过点力作4G〃BC交

BF的延长线于点G.

（1）求力G：BC的值;

（2）求GF：BE的值.

22.（本小题10分）

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7根，水柱在

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距喷水头P水平距离5nl处达到最高，最高点距地面3.2小；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的

表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(zn)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求抛物线的表达式.

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3nl.身高1.6爪的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接

触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

23.(本小题12分)

如图，在Rt△ABC中，ABAC=90。，CD平分NBC4作4E1CD交BC于点、E,垂足为尸.作BG1AE,垂

足为G.

(1)求证：AC2^CF-CD.

(2)求证：AE-AG=2BG-CF.

24.(本小题12分)

如图，在直角坐标平面xOy中，点4在y轴的负半轴上，点C在%轴的正半轴上，AB//OC,抛物线y=a久2

-2a久一4(a力0)经过4、B、C三点.

(1)求点4、B的坐标；

(2)联结AC、OB、BC,当4c1OB时，

①求抛物线表达式；

②在抛物线上是否存在点P,使得S4p4c=4S44BC?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存

在，请说明理由.

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25.(本小题14分)

如图，RtAABC^,ZC=90°,CD是斜边力B上的高，BD=1,CD=2,点E为边AC上点(点E不与点4、

。重合)，联结DE,作CF1DE,CF与边4B、线段DE分别交于点尸、G.

(1)求证：AECDsACBF；

(2)当CD=£。时，求S^ECD的值；

(3)联结EF,当aFFG与△CDG相似时，求线段CE的长.

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参考答案

1.5

2.D

3.5

4.C

5.D

6.C

7.42

8.9

9.-2

10.^^

ll.yi<y3<72

12.10

13.32

14.3cm

15.4：5

16.3或3#

17.3<x<4

19.解：•••a：b：c=2：3：4,

设a=2k,b—3k,c—4k(kW0),

•・,a+2b-3c=20,

・••2/c+2x3fc—3x4/c=20,

解得k=-5,

a=-10,b=-15,c=-20,

a—2b+3c=-10—2x(-15)+3x(-20)=-10+30-60=—40.

20.解:⑴

.AB_DE

''~BC~~EF9

•・•AB=3,BC=6,DE=4,

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34

J6=EF,

解得EF=8；

(2)vh//l2//^

.ABDE

••丽一斤

•••DE：EF=2：3,AC=25,

.AB-2

25—43=H，

解得48=10.

21.解：⑴•・•AG/IBC,AD=4AE,

.AG_AE_GE_1

't~BD~~ED~~BE~^

・・・D为BC的中点,

...BD=DC=^BC,

•・・AG"BC,

.AG_GF_1

••丽―丽—％'

(2)根据(1»E=3(GF+FE),BF=6GF,

・•・6GF-EF=3GF+3EF,

・•.EF=4GF,

4

・•・GF：BE=4：21,

故答案为:(1)1;(2)4：21.

22.解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2),

设抛物线的表达式为y=a(%-5)2+3.2,将(0,0,7)代入得:

0.7=25a+3.2,

1

解得：a=)

-117

•••y=一而(久-5)2+3.2=x2+x+—,

所以抛物线的表达式为y=-42+x+R

17

(2)当y=1.6时，一行久2+%+而=1.6,

解得：x=1或x=9,

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•••她与爸爸的水平距离为3-1=27n或9一3=6m,

答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2血或6M.

23.证明：(1)丁乙BAC=90°,AE1CD,

・•.ABAC=^AFC=90°,

又•・•A.ACF=^LACD,

ACF^ADCA,

.号喑，即=

(2)­■•CD平分N8C4,

AAACF=乙ECF.

AE1CD,

・•・/,AFC=/.EFC=90°,

在△ZFC和△ETC中，

(A.ACF=乙ECF

CF=CF,

^AFC=乙EFC

・•・△”3△EFCQ4SZ),

...FA=FE='E,

•••^BAC=90°,

・•.A.DAF+Z.CAF=90°.

又AE1CD,

・•・^CAF+Z.ACF=90°,

•••Z-DAF=Z-ACF.

BG_LAGf

・•・(G=^BAC=90。，

AGB^△CFA,

rpApi

芸=黑，即以E・AG=CF・BG,

/iUDUZ

・•・AE-AG=2BG-CF.

24.解：(1)抛物线的对称轴为：%=-A=i,

对于y=a%2—2。%—4,令％=0,则y=-4,即点A(0,—4),

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根据抛物线的对称性，则点B(2,-4),

即点2、B的坐标分别为：(0,-4)>(2-4)；

AC1OB,

则tanzO/C=2,

•・•OA=4,贝UOC=8,即点C(8,0),

将点C的坐标代入抛物线表达式得：64a-16a-4=0,

解得：a=表,

则抛物线的表达式为：y=各2_宗_4①；

②存在，理由：

过点B作直线n〃4C交y轴于点N,在点4的上方取点M,使AM=4AN,

贝4c=4S44BC，过点M作直线

则直线的表达式为：y=，(久-2)-4,

当x=0时，y=—5,即点N(0,—5),

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贝IjAN=1,贝IjAM=4,

即点M(0,0),

则直线nt的表达式为：y②，

联立①②得：击-4=1x,

解得：%=4±4々，

即点P的坐标为：(4±4々,2±2")

25.解:(1)ZC=90°,

Z-A+Z-B=90°,

・•・CD是斜边AB上的高，

・•・2LADC=4JDB=90。，

.•・+Z.ACD=90°,(FCD+乙CFD=90°,

Z..ACD=乙B,

•・•CF1DE,

・•・乙FGD=90°,

・•・乙GFD+Z.GDF=90°,

•••Z.GDF=Z.FCD,

,•*Z.CED=Z-A+乙GDF,乙FCB=Z.GCD+乙DCB,

•••Z.ECD=乙CBF,Z.CED=Z-BCF,

ECDs△CBF.

(2)作O”1ZC交/。于U,

•・•/.ADC=CCDB=90°,BD=1,CD=2,

1

tanZ.DCB=-,

DH1AC,

・•・乙DHC=90°,

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•・•乙ACB=90°,

・•.DH//BC,

・•・乙HDC=ABCD,

1

•••tanZ.H£)C=-,

设C”=x,则。”=2x,

在中，有C”2+D“2=CO2,

.•・x2+(2x)2=22,

...CH=年，DH=喂

•・•CD=ED,DH1AC,

・•.EC=2CH=/

•­-SAECD=^EC,DH=*警x喈=|.

(3)①当△EFGS