2024年1月上海市春季高考数学试卷（含答案详解）

2024上海春考数学试卷

一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5

分)

L10g2》的定义域为.

2.直线x-y+i=o的倾斜角.

7_

3.已矢口-~~；=i,贝！Iz=___-

1+1

4.(x-1)6展开式中/的系数为.

TVJT

5.三角形ABC中，BC=2,A=-,B=-,贝|AB=

6.已知ab=l,4a2+9b2的最小值为.

7.数列{%},%="+c,$7＜。，c的取值范围为.

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离

心率为.

9.已知/(x)=x2,g(x)=，y：一°,求g(x)42-x的X的取值范围___.

10.已知四棱柱ABCD-A4G2底面ABC。为平行四边形，M=3,应)=4且

ABXBC-ADXDC^5,则异面直线M与BD的夹角余弦值为.

11.正方形草地ABCZ)边长12E到距离为0.2,尸到BC,C。距离为0.4,有个圆形通

道经过瓦尸，且经过AD上一点，求圆形通道的周长.(精确到0.01)

DC

F

E

4B

12.%=2,%=4,%=8,%=16,任意4,4,Z?4$R,满足

{ai+a.|l<i<j<4}=也+=4},求有序数列抄■，4也}有一对.

二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每

题5分)

13.a,b,c&R,b>c,下列不等式恒成立的是()

A.a+b1>a+c2B,a2+b>a2+c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空间中有两个不同的平面c,，和两条不同的直线〃2,“，则下列说法中正确的是()

A.若a_1_尸,"2_1__1_/，则〃B.若aJ_⑸m_La,〃z_L〃，贝。

C.若a〃分，加//a,〃///7,则〃D.若a11B，m11a,m11n,则〃//月

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品

都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件3:所选盒中有记事本,

事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件A与事件3互斥B.事件A与事件3相互独立

C.事件A与事件3uC互斥D.事件A与事件BcC相互独立

16.现定义如下:当彳«〃,〃+1)时("eN),若/(x+l)=/'(x),则称为延展函数.已知

当xe(O,l)时,g(x)=e*且无(x)=/,且g(x),〃(无)均为延展函数,则以下结论()

(1)存在y=Ax+6(左力eR,Z,bwO)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=Ax+b(£beR,左力wO)与y=人⑺有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

试卷第2页，共4页

_兀

17.已知/(x)=sin(s:+,),a)>0

⑴设(y=l,求解:y=y(x),xe[0,7r]的值域；

(2)4>7imeR)J(x)的最小正周期为兀，若在xe[7t,句上恰有3个零点，求。的取值范围.

18.如图，PA,PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

(1)证明:R4JLBC；

(2)若圆锥侧面积为后,BC为底面直径，BC=2,求二面角8-P4-C的大小

19.水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；

二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，

并预估果园中单果的质量.

22

20.在平面直角坐标系中，已知点A为椭圆「土+乙=1上一点，F、、F,分别为椭圆

62

的左、右焦点.

⑴若点A的横坐标为2,求|A耳|的长；

⑵设「的上、下顶点分别为陷、加2，记的面积为S^AM,M2的面积为邑，若SR邑,

求|。4|的取值范围

⑶若点A在x轴上方,设直线AB与:T交于点B,与，轴交于点K,KF{延长线与「交于点C,

是否存在x轴上方的点C,使得£1+那+居=2(豆+*+E0(2eR)成立?若存在，

请求出点C的坐标;若不存在，请说明理由.

21.记Af(a)={dt==t=f(x)—f(a)^<a^

⑴若/(x)=/+L求M⑴和”1);

⑵若"x)=x3_3f,求证:对于任意aeR,都有加㈤0口+⑹，且存在。，使得

-4eAf(a).

(3)已知定义在R上/(x)有最小值，求证”/(%)是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数c,

均有Af(-<?)=£©”.

试卷第4页，共4页

1.(0,+oo)

【分析】由对数函数性质即可得.

【详解】由题意可得尤>0,即10g2》的定义域为(。,+8).

故答案为：(0,+oo).

2.-

4

【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.

【详解】设直线x-y+i=o的倾斜角为兀)，

易知直线x-y+l=。的斜率为1,

所以tan9=l,

解得。

4

故答案为：—

4

3.

【分析】借助复数的乘法运算与共辗复数定义计算即可得.

【详解】由题意可得z=i(l+i)=-l+i,故［=

故答案为：-1-i.

4.15

【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.

【详解】(x-球展开式中令Y的项为。r4(-1)2=15尤4,

所以(x-l)6展开式中犬的系数为15.

故答案为：15

530+而

-3

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

TTJrSi?

【详解】三角形A5C中，・・・A+5+C=7I,A=Z，5=T，/.C=二,

3412

.一.(71兀、.717171.71V2+V6

sinC=sin—d--=sin—cos—+cos—sin—=-----------,

<46)46464

答案第1页，共13页

BCAB71

由正弦定理BC=2,A=—,

sinAsinC3

9V2+V6

,BCsinC2X-Z-3&+逝

得ZPA3=-----------=--------——=---------------

sinAyf33

~2

故答案为：3'+、.

6.12

【分析】利用不等式即可求解.

【详解】46+962=（2。y+（36）2W2x2qx36=12.6=12,

当且仅弋:‘，即"和邛或”*年/时，等号成立,

故44+9/的最小值为12.

故答案为：12.

7.（ff

【分析】先利用等差数列的定义判定｛4｝为等差数列，再利用等差数列性质即可求解.

【详解】因为%="+。，贝!|。“+1-4=(〃+1+。)一(〃+。)=1,

可知数列｛凡｝为等差数列,

则S7=7%=7（4+C）<0,解得C<-4,

所以c的取值范围为(re,-4).

故答案为：(-℃,-4).

8.3

【分析】利用双曲线的定义求解即可.

【详解】由双曲线的定义，2c=6,2a=7-5=2,

则e，=3.

a

故答案为：3

9.

【分析】分无20与x<0两段求解二次不等式可得.

答案第2页，共13页

【详解】根据题意知g(%)=2-7

[-X,x<0

2

当xNO时，g(x)<2-x,Bpx+x-2<0,解得一2<尤<1,则有OWxVl；

当x<0时，g(x)<2-x,BP-x2+x-2<0,xeR,即x<0时，不等式g(x)<2-x都成立.

综上所述，g(x)V2-尤的x的取值范围为(t』.

故答案为：(-也』.

10.—

12

【分析】将荏1,南用不共面的向量在，瓯，莅表示出来，从而得到招•前-丽・皮=5,

然后由公式计算夹角余弦值即可.

【详解】福=方+招，碣=而+瓯，

:.[AB+AA^-BC-(AD+A^-DC=5,

荏屈+招屈-屈衣-环觉=5,

底面ABCZ)为平行四边形，所以福.阮=而.觉，

所以福・阮—醺■•觉=5,

丽初=招.(而-网=话莅-丽.丽=环前-丽衣=5.

所以c°s(M，幽=网网二芯=在

故异面直线AA与BD的夹角的余弦值为:1,

故答案为：—

11.2.73

【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.

【详解】如图，以A为原点建系，易知£(0.2,0.2),尸(0.8,0.8),连接所，

答案第3页，共13页

不妨设EF中点为M（0.5,0.5）,直线EF中垂线所在直线方程为丁-0.5=-（犬-0.5）,

化简得V=f+1,所以圆心为半径为。，且经过及厂点

即（口―0.2）+（—口+1—0.2）=a2,化简得a?—2。+0.68=0,

解得4=^^=]±7^二]±述，

25

结合题意可得a=1-2徨a0.434,故圆的周长为C=23B2.73.

5

故答案为：2.73

12.48

【分析】先确定{a,+«716,10,12,18,20,24},再结合{《+%11Vi<>4}={仿+勺11Vi<jV4},

设4<为<&<%，可得到4+a=6,a+&=10,b2+a=20,4=24,进而求出这四个数,

从而求得答案.

【详解】由题意知{《十%」6,10,12,18,20,24},

满足{q+a/lq•〈厂4}={伪+%|1"<厂4},

不妨设仇<4<%<&，

则必有4+匕2=6,bx+b3=10,b2+b4=20,Z?3+Z?4=24,

若。+4=12,a+b4=18,解得％=2也=4也=8也=16；

若。+。=18,。=12,解得4=-1,b2=7,Z?3=11,/?4=13,

由此可知此时有2种情况，

结合任意4,白，为NeR，共有2P：=48对，

故答案为：48

答案第4页，共13页

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合｛《+/11v，</<4｝=｛伪+勺11Vi<j<4｝推出

仇时，这四个数的值，进而结合题意求得答案.

13.B

【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.

【详解】对于A,若c<b<0,则廿<°2,选项不成立，故A错误；

对于B,因为b>c,故q2+b>q2+c,故B成立，

对于C、D,若。=0,则选项不成立，故C、D错误；

故选：B.

14.A

【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性

质结合线线以及线面的位置关系可判断CD；

【详解】对于A,若则根//6或根u£,

又〃_L/,当以〃尸时,在夕内必存在直线/和机平行，贝I]"，/".”_L机；

当mu，时，显然有"J_w,所以相_L〃，故A正确；

对于B,若。_1/?,777_1_。，则"Z〃尸或mu/,由〃2_LW,则九与月斜交、垂直、平行均有可

能，故B错误；

对于C,若。//月，m//。，则机〃尸或根u/5,由"〃夕，则机与W相交、平行、异面均有

可能，故C错误；

对于D,若a"B，mlla,则〃z//月或〃zu/,又mlln,则"//"或"u，，故D错误.

故选：A.

15.B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可.

【详解】选项A,事件A和事件8可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记

事本，事件A与事件8不互斥，A错误；

选项B,••-P（A）=1,P（B）=1,P（AB）=1,

.■.P（A）P（B）=P（AB）,B正确;

选项C,事件A与事件BUC可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本

或笔袋，C错误；

答案第5页，共13页

选项D,••-P(A)=1,P(Bp|C)=；,尸(ACGBpOX；,

P(A)P(BnC)*P(An(BnC)),

，A与Bp|C不独立，故D错误.

故选：B.

16.D

【分析】由延展函数的定义分段求出g(x)，〃。)解析式，作出函数图象，数形结合可得.

【详解】当x«l,2)时，x-le(0,l),则g(x-l)=ei,

又g，(x-1)=e-,则由延展函数定义可得g(x)=g'(x-l)=e^；

同理可得，当x«2,3),g(x)=e-；L；

任意〃wN,当xw(",〃+l)时，g(x)=e'-".

当xe(l,2)时，x-le(O,l),IJJljTz(x-l)=(x-l)10,则〃(x)=10(x-iy；

同理可得，当xe(2,3)时，/i(x)=10x9(x-2)8；L；

当xe(9,10)时，依尤)=10!(x-9)；

当xe(10,n),A(x)=10!；当xe(ll,12),h(x)=0;L.

则任意〃eN,〃211时，当x€(〃,〃+l),/z(x)=0.

如图,作出g(x)与h(x)大致图像，

因为人,6片0,如图可知，不存在直线y=Ax+6与g(x)图象有无穷个交点，故(1)不成立;

又因为当xe(9,10),h(x)=10!(x-9),

故当上=10!,b=-9xl0!时，

答案第6页，共13页

直线y=10!x-9xl0!与无0)的图象在区间(9,10)的函数部分重合，

即有无穷个交点，故(2)成立；

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数

在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.

r6.

17.(1)---,1;

7兀17兀

(2)^e

【分析】(1)利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.

(2)利用三角函数的性质求解参数即可.

【详解】⑴因为°=1,所以〃x)=sin、+1,

因为xe[0,可，所以令f=x+;，手,

jrjr冗47r

由正弦函数性质得＞=8(。=加力在上单调递增，在上单调递减,

(2)由题意得7=.兀，所以/=2,可得〃x)=sin"+g

当/'(x)=。时，2x+——ht,keZ,即》=—‘+keZ,

当左=2时，]=詈＜兀，不符合题意，

当左=3时，％=¥＞兀，符合题意，

11兀

当左=4时，X=—＞71,符合题意，

6

7兀

当左=5时，x=—＞7l,符合题意，

4TT4it3

所以把+T＜〃＜竺+2丁

332

口口7兀/17兀,,7兀17兀

即—K。＜---,故aG

3636

18.(1)证明见解析

(2)7i-arccos—

答案第7页，共13页

【分析】（1）取BC中点。，连接49、PO,则A0L3C,尸OL8C,故可得BC_L面尸AO,

从而得到24,3c.

（2）利用向量法可求面尸AC、面上钻的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角

的余弦值.

【详解】（1）取BC中点0,连接A。、PO,

因为AB=AC,P3=PC,所以AO_L3C,PO_L3C,

又因为尸Ou面PAO,AOu面PAO,POcAO=。，所以3<?_1面240,

因为E4u面PAO,所以B4L3C.

（2）因为BC为直径，故。为底面圆的圆心，故尸平面8AC,而AOJ_3c

故可建立如图所示的空间直角坐标系，

因为圆锥侧面积为g/r,BC为底面直径，BC=2,所以底面半径为1,母线长为百，

所以PO=JPT-AO?=0,

则可得尸（0,0,忘）,4（0,1,0）,3（1,0,0）,C（T,0,0）,

故丽=（0,1,-夜）,丽=（1,0「血），冗=卜1,0,-3）,

设%为平面钻的法向量，贝"上一n”「

-PB=0[%]_A/2Z]=0

令玉=夜，则乂="4=1,所以々=（0,后,1）.

设晨=（%2，%/2）为平面PAC的法向量,

令赴=一逝，则%="22=1,所以%=卜0,3,1）.

答案第8页，共13页

4•几2—2+2+1

则cos(4,〃2

y/Sxs/55

设二面角3-PA-C为。，则。为钝角，

所以二面角3—PA—C的大小为兀-arccos].

17

19.(1)—

45

(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱

(3)方差1427.27克2,平均数285.44克，预估平均质量为287.69克

【分析】(1)利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；

(2)利用分层抽样的定义进行求解；

(3)根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.

【详解】(1)设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，

样本空间的样本点的个数〃=q=四产=9180,

A事件的样本点的公式机=C%-Cl=3468,

(2)因为一级果箱数：二级果箱数=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一级果抽取8x不=6箱，二级果抽取8x「=2箱；

3+13+1

(3)设一级果平均质量为1方差为S；,二级果质量为亍，方差为听,

总体样本平均质量为乙方差为整，

因为天=303.45,了=240.41,S；=603.46,=648.21,

12048

所以云=------x303.45+-----------x240.41=285.44克,

120+48120+48

12048

S2=]20~48X[603.46+(303.45-285.44)。]+⑵疝x[648.21+(240.41-285.44)。]=1427.27克2.

预估平均质量为1岩02下+若34•歹=287.69克.

20.⑴平；

⑵(立率];

答案第9页，共13页

⑶存在，C(--,

4

【分析】（1）根据给定条件，求出点A的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得.

（2）设A（x,y）,个40,求出岳，邑，再利用给定关系求出，的范围，进而求出|QA|的范围.

（3）设A（%[,y）,%>0,B,％），利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得%+2%=0,

再联立直线A8与椭圆方程，结合韦达定理求解即得.

22,22,

【详解】（1）设4（2,y）,由点A为椭圆「工+匕=1上一点，得上+工=1,即又

62623

耳（-2,0）,

所以|A耳上^[2-（-2）]2+（y-0）2=当.

（2）设4x,y）RW0,而|%|=4,|MMI=20，

则S[=：|片可|4=2刨，S2=^\MtM2\\x\=^/2\x\,由HNS2,得21yl20国，

即2y又乙+21=1,则2/^6-3/，解得工4/<2,

625

22

侬=yjx+y=J（6_3y2）+y2=击-2（e（衣,

所以的范围是（在粤）.

（3）设A（%，x），x>0,8@2，%），由图象对称性，得A、C关于y轴对称，则c（f,yj,

又耳（-2,0）,6（2,0）,于是率=（X|+2,凶）,耶=伍+2,%），房=（一%+2,%）,

答案第10页，共13页

则耳A+耳3+耳。=(%2+6,%+2%),同理区4+月；3+与。=(%2-6,y2+2yJ,

由和+率+就=2(及1+孽+笆)，得(耳1+耶+竹〃(11+磔+笆)，

因此(々+6乂％+2%)=(*2-6)(%+2%),即12(%+2%)=0,则为+2%=。,

设直线4K：*=阳+2,由，?「消去尤得(苏+34+4b2=0,

[%+3y=6'/

-2y；=Y^£r-

则:，即m,3,而％>。，解得”7=也，%=叵,

4mAm54

%+丫2=__F77f=F77

Im+3Im+3

由占=根％+2,得尤|=:,所以c(_j,手).

【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)

建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系;

涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.

21.(l)M(l)=[0,+a>);L(l)=[-l,+(»);

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】⑴将〃力=1+1代入求解即可;

(2)根据函数8(力=%3一3炉-4+3/的单调性，对。进行分类讨论，然后求出M⑷即可

证明；

(3)利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用M(-c)=L(c),得出两个集合中最小的元

素相同，从而f(c)=/(—c),即可证明充分性.

答案第11页，共13页

2

【详解】(1)由题意得：/⑴=,r=x+l-2^>l}=[0,+(»);

"1)=,Z=x2+1-2,x<1j=[-1,+oo);

(2)由题意知M(a)={/jr=%3-3%2-。3+36/2。},记g(x)=%3-3f一^+3/,有

g'(x)=3x2-6x=0nx=0或2,

(-8,0)0（0,2）2(2,+00)

g'(x)正0负0正

g(x)