第15小题 圆锥曲线问题-2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第15小题园锥曲线问题

国"导发

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第15小题圆锥曲线问题.................................................................1

一、主干知识归纳与回顾.............................................................3

15.1椭圆........................................................................3

15.2双曲线.....................................................................4

15.3抛物线.....................................................................5

（一）命题角度剖析.................................................................6

（二）考情分析......................................................................6

（三）高考预测......................................................................6

二、题型分类与预测.................................................................7

命题点一：圆锥曲线的定义.......................................................7

1.1母题精析（三年高考真题）..............................................7

一.椭圆的定义（共1小题）............................................7

二.抛物线的定义（共6小题）.........................................7

三.圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）..................................10

1.2解题模型...............................................................11

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................13

一.椭圆的定义（共1小题）...........................................13

二.抛物线的性质（共10小题）.......................................13

三.双曲线的定义（共1小题）........................................19

四.圆与圆锥曲线的综合（共1小题）..................................20

命题点二：求圆锥曲线的方程...................................................21

1.1母题精析（三年高考真题）.............................................21

一.椭圆的方程（共2小题）...........................................21

二.抛物线的方程（共1小题）........................................22

三.双曲线的方程（共7小题）........................................22

第1页共127页

1.2解题模型...............................................................26

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................27

一.椭圆的方程（共3小题）...........................................27

二.抛物线的方程（共1小题）........................................29

三.双曲线的标准方程（共1小题）....................................30

四.双曲线的方程（共3小题）........................................30

命题点三：圆锥曲线的性质......................................................33

1.1母题精析（三年高考真题）.............................................33

一.椭圆的性质（共11小题）.........................................33

二.抛物线的性质（共1小题）........................................40

三.直线与抛物线的综合（共1小题）.................................41

四.双曲线的性质（共20小题）.......................................41

五.直线与双面线的综合（共1小题）.................................55

1.2解题模型...............................................................56

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................58

一.椭圆的性质（共8小题）..........................................58

二.抛物线的性质（共8小题）........................................64

三.直线与抛物线的综合（共2小题）.................................73

四.双曲线的性质（共11小题）.......................................75

五.直线与双曲线的综合（共1小题）.................................84

三、类题狂刷（五年区模、校模）：.................................................86

一.椭圆的性质（共9小题）..........................................86

二.抛物线的性质（共17小题）.......................................95

三.直线与抛物线的综合（共2小题）................................110

四.双曲线的性质（共16小题）......................................112

五.直线与双曲线的综合（共1小题）.................................124

六.圆锥曲线的综合（共1小题）......................................125

七.圆与圆锥曲线的综合（共2小题）.................................126

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一、主干知识归纳与回顾

嚼方依何触

15.1椭圆

平面内与两个定点片、区的距离的和等于常数2〃（大于|耳巴|=2（?）的点的

定义

轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

J

图形k.

1

二+亡=

标准方程l(67>b>0)/+奈=（7＞八。）

a2b2

范围一且一方一人Wx4b且一。WyWa

4（-。,0）、4（。，。）4(0,-a)、4(0,a)

顶点

耳（0,询、员（0小）B卜b,0)、层色,0)

轴长长轴的长=2。短轴的长=26

对称性关于x轴、y轴对花，关于原点中心对称

六隹、、，占门、仆0)、6(c,0)£(0,-c)、6(0,c)

焦距阳同=2。

a、b,c关系c2=a2-b2

-a=E=Q/=J->(。<

离心率e<1)

10

焦点三角形面积2

S^F2=btan-(O=^MF2)

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：\HHr\=—

弦长公式4(4州),8(/)2),=J1+左［阳一刍=J1+/J(2XX

x}-x2)-4)2

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15.3抛物线

平面内与一定点/和一条定直线/（/不经过点歹）的距离相等的点的枕迹叫做抛物线.点尸叫

定义

抛物线的焦点，直线/叫抛物线的准线.

>

图形1a

y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

（P>°）（P>°）（P>°）（P>°）

顶点（0,0）

离心率e=\

对称轴x轴y轴

范围x>0x<0y>0y<0

/

河Fj—£,o]小用尸D

焦点F

I2）

准线方程x=Ry=-f

2

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：=

焦点弦长

|JB|=%1+x+p

公式2

参数P的

参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔

几何意义pP

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炒显学有茎记

4年短H点

（-）命题角度剖析

1.圆锥曲线的定义★★★★☆2.求圆锥曲线的方程★★★★☆

3.圆锥曲线的性质★★★★★

k播考情今新

（二）考情分析

高考频率：100%试题难度：中等较难呈现形式：以选择题或填空题

小龙考我谢

（三）高考预测

圆锥曲线在高考中一般有一大二小的题型设计，小题侧重圆锥曲线的定义、标准方程、几

何性质的考查，其中离心率是考查的重点，另外，小题多与平面几何或平面向量结合，有一定

的难度。

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二、题型分类与预测

驾校方”

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命题点一：圆锥曲线的定义

1.1母题精析（三年高考真题）

一.椭圆的定义（共1小题）

I.（2021•上海）已知椭圆/+1=1（0<6<1）的左、右焦点为耳、F,,以。为顶点，尺为焦点作抛物线

卜

交椭圆于P，且NP£&=45。，则抛物线的准线方程是_x=l-g_.

【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物浅方程联立，

求出点尸的坐标，由此可得次1月工，进而可以求出尸石，尸工的长度，再由椭圆的定义即可求解.

【解答】解：设片（一0,0）,6（。,0）,则抛物线V=4u,

cx

直线P£:y=x+c,联立方程组~^f解得工=。，y=2c>

y=x+c

所以点尸的坐标为（c,2c）,所以尸名上4鸟，又PF?=咐=2c,所以PF、=2梃c

所以户石+桃=（2+2收竺=2〃=2,

则c=&-1,

所以抛物线的准线方程为：x=-c=\-6,

故答案为：x=1-x/2.

【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学牛.的运算推理能力，属于中档题.

二.抛物线的定义（共6小题）

2.（2023•北京）已知抛物线C:-8x的焦点为尸，点”在。上，若“到直线x--3的距离为5,贝U|MF|-（

）

A.7B.6C.5D.4

【分析】本题只需将点M到x=-3的距离，转化为到准线x=-2的距离，再根据抛物线定义即可求得.

【解答】解：如图所示，因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5,

点M到直线x=-2的距离|MN=4.

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由方程/=8x可知，x=-2是抛物线的准线，

又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点少的距离相等,

故|MF|=|MN|=4.

3.（2022•乙卷）设厂为抛物线C:/=4x的焦点，点力在。上，点4（3,0）,若［4?|=|4歹|,则|44|=（）

A.2B.2y/2C.3D.3^2

【分析】利用己知条件，结合抛物线的定义，求解力的坐标，然后求解即可.

【解答】解：/为抛物线C:/=4x的焦点（1,0）,点力在C上，点3（3,0）,|力尸|=|8用=2,

由抛物线的定义可知力（1,2）（力不妨在笫一象限），所以|月例=，（3—»十（-2）?=m.

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题.

4.（2021•新高考II）若抛物线j，2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+1的距离为正，则p=（）

A.1B.2C.272D.4

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：抛物线产=2/似〃>0）的焦点或，0）到直线y=x+l的距离为

可得――尸---=V2,解得p=2.

V2

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题.

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5.（2023•乙卷）已知点力（1,石）在抛物线C:/=2px上，则/到C的准线的距离为_2一

4

【分析】根据已知条件，先求出尸，再结合抛物线的定义，即可求解.

【解答】解：点/（I,右）在抛物线C：V=2px上，

则5=2p，解得png,

由抛物线的定义可知，4到。的准线的距离为+

故答案为：—.

4

【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题.

6.（2021•新高考・I）已知。为坐标原点，抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，尸为。上一点，PF与x

轴垂直，。为X轴上一点，且PQLOP.若|尸0|=6,则C的准线方程为_工=-；一

【分析】法一：求出点P的坐标，推出尸0方程，然后求解。的坐标，利用|产。|=6,求解”，然后求解准

线方程.

法二：利用射影定理，转化求解p，然后求解准线方程.

【解答】解：法一：由题意，不妨设尸在第一象限，则尸（5,p）,kop=2,PQLOP.

所以所以PQ的方程为：y-p=-^（x-^）,

y=（）时，x=,|FQ|=6>所以=6»解得〃=3,

所以抛物线的准线方程为：x=-3.

2

法二：根据射影定理，可得|PF『=|尸01尸01，可得p2=5x6,解得p=3,

因此，抛物线的准线方程为：故答案为：x=--.

22

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

7.（2021•北京）已知抛物线/=4x的焦点为尸，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N,若尸|=6,

则点M的横坐标是5:户的面积为.

【分析】由抛物线的标准方程，求出焦点和准线，过点M作垂足为E，设M（%,为），由抛物线

的定义求出不，从而得到A/N=2石，再利用三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：抛物线C:./=4x,则焦点21.0）,准线方程/为X=-1,

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过点〃作MEJJ,垂足为E,设加（见，必），则M〃=M£=6,所以/+1=6,则凡=5,

所以点"的横坐标为5；点M在抛物线上，故%2=4x5=20,所以|典|=2万，即MV=2x^,

所以SARMM=；x|PN|x|MN|=；x[5-l）x2石=4石・故答案为：5；4M.

【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的应用以及几何性质的运用，考查了逻辑推理能

力与运算能力，属于中档题.

三.圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）

8.（2020•上海）己知椭圆上+V=],作垂直于x轴的垂线交椭圆于4、8两点，作垂直于u轴的垂线交

2-

椭圆于。、。两点，且/8=C。，两垂线相交于点尸，则点P的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线

【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可.

【解答】解：•・•/!&2,.•.CA.2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线,设力。〃/）,£>&〃），所以尸（叫〃）,

【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题.

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初履便支恢

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1.2解题模型

1.圆锥曲线的定义与拓展

(1)椭圆的定义

①第一定义:｛P||PFi|+|PF,|=2a(2a>|FiF?|=2c)淇中F.F,为两个定点｝.

②第二定义：｛尸附=e,e〉l,其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F《I,d为点P到直线1

的距离.

③第三定义：［P|kpA-kpR=e2・l,0<c<l,其中kPA.kpB分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，c为

离心率｝(注意：椭圆的第三定义中的定点在x轴上，且利用椭圆的第三定义得出的轨迹方程不

包吊这两个定点).

(2)双曲线的定义

①第一定义：｛P|||PB卜呼2||=2av|BF2|=2c,其中又，F2为两个定点｝.

②第二定义：｛p|PF=e,e>l,其中F为定点，1为定直线，e为离心率，F《L为点P到直线1的距

离(注意：当F为左焦点时，1为左准线工二-三；当F为右焦点时，1为右准线工=土)

cc

③第三定义：(P|kpA.kpR=e2-l,e>l,其中kpA.kpB分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离

心率｝(注意：此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上).

(3)抛物线的定义

抛物线的定义可归结为“一动三定“一动”即一个动点，设为M;“三定”即一个定点F、一条定

直线1、一个定值(即动点M与定点F的距离和动点M到定直线I的距离的比值为常数1).

2.圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内与定点有关的轨迹是否为椭圆、双

曲线、抛物线；二是利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决与焦点有关的问题.

类题通法：

(1)解决椭圆焦半径的最值问题的常见思路：①与焦耳径乘积有关的最值问题，一般利用椭

圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件；②与焦半径和、差有关的最值问题，

一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题解决.

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(2)解决双曲线焦半径的最值问题的思路：利用双曲线的定义及正、余弦定理得出焦半径的

关系式，进而求出与之相关的最值.

(3)解决抛物线隹半径的最值问题的思路：利用抛物线上某点到焦点的距离与该点到准线距

离相等进行转化，再根据平面几何的相关知识求解.

3.轨迹方程的求法

(1)直接法

直接法是将圆锥曲线中满足的几何关系或者等量关系的动点直接坐标化，列出等式后化简即可

得到动点轨迹方程.当所求动点要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入

坐标、整理化简、限制说明“五个基本步骤求轨迹方程.要注意用直接法求轨迹方程时，在化简

的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视

的.

(2)定义法

若从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲

线的要素，求出曲线方程.要注意在利用定义法求轨迹方程后，还要看轨迹是否是完整的圆、

椭圆、双曲线或抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x或y进行限制.

(3)相关点法(代入法)

若所求点P(x,y)与某已知曲线F(x(),yo)=O上一点Q((x(),yo)存在某种关系，则可根据条件用

x,y表示出x。，yo,然后代入到点Q所在曲线的方程中，即可得到关于x,y的方程.

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求出点P的轨迹方程：

①某个动点Q在已知方程的曲线上移动：②另一个动点P随点Q的变化而变化；③在变

化过程中点P和点Q满足一定的规律，

(4)参数法

从条件中无法直接找到x,y的联系，但可通过辅助变量k,分别找到x,y与k的关系，从而

x=f(k)

得到x,y,k的方程组即曲线的而得到x,y和k的方程组参数方程，消去参数k后即可

.尸g(%)

得到关于x,y的方程.在选择参数时，要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

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1.3对点训练(四年省市模考)

椭圆的定义(共1小题)

1.(2023•南平模拟)设P(x,y)是曲线C:后+柏=1上的点,6(-3,0),8(3,0),则|产币+1Pg|的最

大值等于10.

【分析】根据题意可得：曲线。的方程可化为.+.-1,再作出曲线。的图形，再数形结合，根据对称

54

性及运动变化思想，即可求解.

【解答】解：•.•曲线C的方程可化为区+3=1,

作出曲线C的图形，如图所示，

当户为(0,4)时，|尸印+|尸玛卜5+5=10,

当尸为(5,0)时，1m|+|尸玛|=2+8=10,

由对称性及运动变化思想可得

|产耳|+|尸手|的最大值等于1(),

故答案为：10.

【点评】本题考查曲线上的点到两定点的距离和的最值问题，数形结合思想，运动变化思想，属中档题.

抛物线的性质(共10小题)

2.(2023•莆田模拟)已知广为抛物线C:_/=4x的焦点，力为。上的一点，/尸中点的横坐标为2,则|力/|=(

)

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据4户中点的横坐标求出力点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.

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【解答】解：由题意得：尸（1,0）,准线方程为x=-l,

设,则AF中点的横坐标为画里,

2

故"+'=2,解得：???=3,

2

由抛物线的焦半径可知：|JF|=3+1=4.

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

3.（2023•三明三模）设抛物线焦点为产，准线与对称轴交于点E,过尸的直线交抛物线于4,B两点、,

对称轴上一点C满足9=3而，若&4C/的面积为为3,则尸到抛物线准线的距离为（）

4

A.V6B.如C.递D.正

233

【分析】根据题意不妨以抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，作出图形，由已知可得团=3=也，

\BF\\EF\

设|8”|=机，则|力”|=3制，据此计算可求p.

【解答】解：根据题意不妨以抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，

过4，8分别向准线作垂线，垂足为K,N,取48的中点”，过〃向准线作垂线，垂足为G,

由后=3诟，可得四11=3=0］，设|8叩=〃？，则|力"|=3/〃，

I8用|七尸1

过8作8W_L4K于M,可得|4M|=2/〃，\AB\=4m,「.NE4K=60。，ZAFC=60°,

•；H为AB的中点,GH=2m,

2

可得BH=2m,/为44的中点，/.2|EF|=2m+m,:.2p=3m,=,

.・.|//H=2p,又|C用=3p,

SMFC=；I。『卜14尸|-sin600=—•2px3px~~=，解得P=•

故选：B.

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【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题.

4.（2023•宁德模拟）已知抛物线C:『=4y的焦点为尸，尸为扼物线上一个动点，力（-1,3）,则|尸川+1户用

的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，求解即可得出答案.

【解答】解：由题意得抛物线/=4），的焦点坐标为尸（0,1）,准线/的方程为y=T,

过点尸作P0_L/于点。，如图所示：

由抛物线定义得|P/”=|尸。|,

:\PF\+\PA\=\PQ\+\PA\,

则当4,P,0共线时|P0|+|P.4|取得最小值,即|P用+|P川最小值为3-（-1）=4.

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

5.（2023•泉州模拟）己知抛物线C的焦点为/，准线为/,点力在C上，点台在/上.若|/|=|而|=4,

万•（而+而）=0,则尸到/的距离等于（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意可得B与4点在准线上的投影/重合，可得&4防为等边三角形，可得尸到准线的距离.

【解答】解：设焦点在x轴上的抛物线的方程为V=2px,

因为万•（而+而）=0,设力厂的中点为。，则加+初=2而，

所以力尸_L8。，设力©J./交准线于4,准线交x轴于E,

可得/等腰三角形，即48=8"，而|力用=|8用=4,

所以MBF为等边三角形，可得B点与力'点重合，

所以48〃x轴,

所以必=/产切=60°,

第15页共127页

所以|E产1=1BF\cos60°=4x-=2,

即焦点厂到准线的距离为2,

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题.

6.（2022•泉州模拟）抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光

线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知产是抛物线C:/=4x的焦点，

从r发出的光线经C上的点M反射后经过点（4,2百），则|FM\=（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由题意可得反射光线过点（4,2石），可得〃的纵坐标，代入抛物线的方程可得”的横坐标，由

抛物线的性质可得的值.

【解答】解：抛物线C：V=4x的准线方程为x=-l,因为反射光线平行「抛物线的对•称轴，再由从发出的

光线经少C上的点M反射后经过点（4,2方），

可得〃的纵坐标为，代入抛物线的方程可得（2百>=4x”,

可得33,由抛物线的性质可得1f+1=3+1=4,

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的性质的应用及反射光线的性质的应用，属于中档题.

7.（2022•厦门模拟）已知抛物线C:_/=2px（p>0）的准线被圆/+炉=4所截得的弦长为2白，则p=（

）

A.1B.x/3C.2D.4

【分析】先求出抛物线的准线方程，再根据勾股定理列方程可解得“=2.

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【解答】解：因为抛物线『=2"（〃>0）的准线方程为工=-勺

/.（X/3）2+（^）2=4,解得p=2.

故选：C.

【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题.

8.（2022•荔城区校级模拟）过抛物线产=4%焦点厂的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依

次为A,B,C.若方=及砺，则线段8。的中点到准线的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由向量的关系可得线段|48|,|8产|的关系,由平行线分线段成比例可得|5用的值,进而可得|力用

的值，求出直线/出的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率，设更线48的方程，与抛物线的方程联立，求

出8,C横坐标之和，进而求出线段8c的中点到准线的距离.

【解答】解：由抛物线的方程可得焦点户（1,0）,准线方程为：x=-l,

由而=双游，可得四=五,由题意如图所示：作4"垂直于准线于*,

IS

而殴）=也，..NHB8，=45。，所以直线48的斜率为1,所以直线48的方程为工=卜+1,

1倜2

设8（玉，yJ,C（x2»y,）,联立•'，整理可得：x?一6工+1=0,可得可=6,

x=y+1

所以线段4c的中点到准线的距离为土*+1=4,故选：B.

【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.

9.（2021•福州一模）若抛物线），=〃£上一点0,2）到其焦点的距离等于3,则（）

A.m=?—B.m=?—C.m=2D.w=4

42

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【分析】利用抛物线方程求解准线方程，结合抛物线的定义，求解.加即可.

【解答】解：抛物线丁=加，上一点亿2),所以加＞(),

抛物线的准线方程为：y=-—,

4m

抛物线y=心2上一点(/2)到其焦点的距离等于3,

可得12———3,为吊得"？一」.

4m4

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

10.(2021•厦门二模)已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为尸，P是C上一点,且|巴十4,以P尸为

直径的圆截x轴所得的弦长为2,则p=()

A.2B.4C.2或4D.2或6

【分析】设以尸产为直径的圆与x轴交点为力，则|4加=2,|尸"|=4,连接A4,则/0/叱=90。，由勾股

定理可得|尸川=2#，

解得力，小，由抛物线的定义可得|尸产|等于点尸到准线的距离，得$-(-4=|相即可解得

P2

【解答】解：设以月产为直径的圆与x轴交点为

贝“力尸|=2,|PF|=4,

连接PA,则/PAF=90°,

所以|PA\=^PFf-\AF^="F?=2石，

所以乃＞=2\/i，

把y=2百，代入y2=2px,

得X」，

P

所以“J

P

所以自一(一与=|尸用,

P2

即且+旦=4,

P2

所以//-8/?+12=0

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解得〃=2或6,

【点评】本题考查抛物线的性质，解题中需要•定的计算能力，属于中档题.

11.（2022•龙岩模拟）抛物线/=4），上一点4（2夜，2）到焦点的距离为二

【分析】利用抛物线的定义转化求解即可.

【解答】解：抛物线f=外上一点4（2立，2）到焦点的距离就是4到准线的距离，准线方程为：y=-\,

所以抛物线上一点/（2及，2）到焦点的距离为2+1=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

三.双曲线的定义（共1小题）

22

12.（2021•厦门模拟）双曲线三-工=1的焦点到渐近线的距离是（）

54

A.2B.3C.V5D.6

【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距

离.

【解答】解：双曲线工-匕=1的焦点为（3,0）或（-3,0）.

54

渐近线方程为y=土包x.

5

由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，

|-2V5x3|

2.

20+25

故选：A.

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【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式.考套了考生对双

曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题.

四.圆与圆锥曲线的综合（共1小题）

13.（2021•莆田二模）己知抛物线/二2期（2工0）的准线与圆/+（＞,一2）2=9相切，则p=（）

A.2B.6或-6C.-2或10D.2或-10

【分析】求得抛物线的准线方程，圆的圆心和半径，山直线和圆相切的条件，可得p的方程，解方程可得

所求值.

【解答】解：抛物线/=2/少（〃工0）的准线方程为），=-勺

圆/+（歹一2）2=9的圆心为（0,2）,半径为3,

由连线与圆相切，可得|2+5|=3,

解得〃=2或-1（）,

故选：D.

【点评】本题考查抛物线和圆的方程和性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于

基础题.

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命题点二：求圆锥曲线的方程

1.1母题精析（三年高考真题）

椭圆的方程（共2小题）

1.（2022•甲卷）已知椭圆C:二+4=1伍>6>0）的离心率为L4，4分别为。的左、右顶点，B为C

a-b-3

的二顶点.若可•西=7,则C的方程为()

A.—+^-=1B.—+^=1

181698

C.—+^-=1D.—+/=1

322

【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量枳运算法则可.得椭圆方程.

v-22

【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为J+」v1=l（〃?>0）,

9m8w

则4（-3%0），4（3，〃,0）,8（0,2万〃）,由平面向量数量积的运算法则可得：

22

1232

BA-BA2=（-3m,-2\f2ni）•（3w,-272m）=-9m+8w=-l»m~=1,则椭圆方程为'+/■=1.故选：B.

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题.

2.(2019•新课标【)已知椭圆C的焦点为£(-1,0),5。,0),过点6的直线与椭圆。交于力：8两点.若

|/巴|=2|下8|,|/用=|5叶则C的方程为()

x22x2y2,x2y2.—x2y2,

A.-----1-y'=1B.-----1--=1C.r--=1D.-----1=1

2324354

【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得〃=百，b=垃,可得椭圆的方程.

【解答】解:v|AF\=2\BF\,/.|AB\=3\BF\,又|明=|明

222:\BFX\=3\BF2\,

又l+WE|=2a,:]BF2\=^,:\AF2\=a,\BF,\=^a,\'\AF,\+\AF21=2a,:]AF,\=af

.\|AF|=|AF^\,「.力在y轴上.在即△力工。中，cosZJF,(?=—,

1