导数的综合应用答案

专题三导数及其应用

第八讲导数的综合应用

答案部分

2019年

1.解析当x=l时，/(1)=1-2a+2a=1>0恒成立：

当工<1时，f(x)=x2-lax+laffiO<=>la恒成立,

x-1

A,2(I(1-x)~-2(1-x)+l

令g(x)二一；——=—=—=

X—1\-x\-x\-x

所以2。…晨)1ax=0,即a〉0.

当x>l时，/(x)=x-“Inx屋0<=>aX恒成立,

-Inx

一;--------r-----

inx-x-

令人(x)="则"(x)=xJnxT

Inx(inJr)2(inx)2

当x〉efbj,，h'(x)>0,k(x)递增，当l<x<e时，”(x)<0,〃(x)递减，

所以当工=e时，取得最小值/?(e)=e.

所以明,A(x)m.n=e.

综上，a的取值范围是[0,e].

2.解析(1)f'M-6x2-2ax=2x(3x-

a).令八x)=0,得4。或工=".

"尸\

若a>0,则当X£(y,0)「,+8时,fM>0；当xe0,时，r(x)<0.故J.(x)

_I3J_I3J

在(一8,0),[",+8；单调递增，隼'O,单调递减；

若“0,/(幻在(-8,+8)单调递增；

若K0,则当乂'<0,",(°，*°)时，，(x)>0；当xe“，0、时，/UX0.故/(X)

在'-8,"］,(0,+8)单调递增，单调递减.

1可〔31

(2)满足题设条件的a,b存在.

(i)当<区0时由(1)知，/")在［0,1］单调递增，所以f(x)在区间［0,1］的最小值为/(0尸〃，

最大值为了。)=2-4+〃.此时“，〃满足题设条件当且仅当人=一1,2-。+人=1,即，『0,

b=-\.

(ii)当位3时，由(1)知，/W在［0,1］单调递减，所以/(x)在区间［0,1］的最大值为

/(0)=b,最小值为/(1)=2-。+人.此时3b满足题设条件当且仅当2-a+b=-\,M,

即4=4,h=\.

f(a^=-a\b

f(x)

(iii)当0<。<3时，由(1)知,在［0，1］的最小值为1-1—,最大值为b

或2-a+b.

a,

若一27+b=-1»b=\,则a=3^"，与0<a<3矛盾.

ay

若一4+人=-］,2—。+0=1,则〃=3产a=-3，■或a二°，与矛盾.

综上，当且仅当。二0,〃二一1或。=4,〃=1时，/(工)在［0,1］的最小值为-1,最大值为1.

a3

3.解析：(I)当。=一时，f(x)=-\nx+1+x,x>0.

1&L

f'(x)=-3+1_(1+x—2)(21+x+l)

4x2J4x

所以，函数/(x)fid调递减区间为XTT，单调递增区间为(3,+oo).

1?

(II)由/(1)<,得OvaW

2a3

当0<。42时，'等价于X-21+X-21nx>().

4近旺工―

令f=1,则/N22.

即对任意XW।,+8］均有/(X),,丁.

算J五

综上所述，所求。的取值范围是

4.解析：(1)设g(x)=/'(x),则g(x)=cosx-」一，g<x)=-sinx+/、、.

1+x(1+x)-

时，8«)单调递减，而/(0)>0,短(兀)<0,

22-

,兀、有唯一零点，设为打

可得g'a)彳—1

7

则当尢£(-1,二)时，g'(x)>0：当x

所以g(x)在(-l,a)单调递增，在「仔吟科调递减，故g(x)在。1,兀、,在唯一极

1I

大值点，即在'-1,汽〕存在唯一极大值点.

0

(2)/⑺的定义域为㈠,+8).

(i)当xw(-l,O］时,由(1)知，尸(x)在(-1,0)单调递增,而尸(0)=0,所以

当xe(-l,0)时，:(x)<0,故/(x)在(-1,0)单调递减，又/(0)=0,从而x=0是

/(X)在的唯一零点.

(ii)当x时，由(1)知，/Q)在(0。)单调递增,单调递减,

-22

所以存在勺'打死

而/''(0)=0，使得/'(丹=0,且当xe(0,历时,

(6兀］时,外工)<0.故在｛0Q单调递增,

/U)>0；当了£

递减.

又/（0）=0,/p=l-n,l+:>>0'所以当xjp,/时,/（X）>0.

⑺I句

从而/（X）在fo，：没有零点.

（iii）当x/兀，兀］时，/。）<0,所以/⑴在单调递减.而/「］>（），

/（兀）<0,所以在3有唯一零点.

匕1

（iv）当xe（兀,+8）时，ln（x+l）>l,所以/（x）vO,从而/（x）在（兀,+8）没有零点.

综上，有且仅有2个零点.

5.解析：⑴/⑺的定义域为（0,l）U（l,+8）.

因为r（x）=_+1八2>°，所以/⑴在（0,1）,（I,+oo）单调递增.

X（1）-

fe=l-e+1<0/（e2）=2-e2+1=e2-3>0

因为（）----，-----.....，

e-1e“Te~-1

所以f（X）在（1,+8）有唯一零点XI,即f（X!）=0.

又/（_L）=—ln++%+1=—/（卡）=0,

XXX-1

1

故/（x）在（0,1）有唯一零点一.

综上，/（X）有且仅有两个零点.

（2）因为一=e加”，故点B（-law,

一）在曲线产e*上.

•%

由题设知/（x）=0,即Inx_%+1

0o..1

_/+1

故直线AB的斜率1=两"0_x0-l_1_

一所/一厢/+1丫X

曲线产e'在点B（-ln%）」）处切线的斜率是,，曲线y=lnx在点A（小，In用）处切线的

%为

1

斜率也是一，

所以曲线）'二,n”在点Aa。/11%）处的切线也是曲线产甘的切线.

6.解析(I)因为。=/?=c,所以f(x)=(x-a)(x-/?)(x-c)=(x-

a)".因为f(4)=8,所以(4一4)3=8,解得。=2.

(2)因为人=c,

所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x}-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,

从而/"(x)=3(上一。)，一.令/1'(1)=0,得工=〃或x=2。；，.

因为〃力，驾2都在集合［—3,1,3}中，且。工〃，

所以空L1,4=3*=—3.

此时fM=(x-3)U+3尸，f(x)=3(x+3)(x-1).

令/。)=0,得工=-3或x=l.列表如下：

X(-8,-3)-3(-3,1)1（1，+8）

f'M+0—0+

/(x)□极大值□极小值□

所以/’(工)的极小值为/(l)=(l-3)(I+3)2=-32.

(3)因为a=0,c=1,所以/。)二犬(工-〃)(九-1)=/-(〃+\)x1+bx,

f'(x)=Sx2-2(b+1)A+/?.

因为0<W1,所以44(/7+I)2-12/?=(2b-1)2+3>0,

则/'(x)有2个不同的零点，设为N，W(N〈4).

2

.r,,.A用6+1-亚一〃+1b+\+y/b-b+\

由〃幻=。，得犷§--------'々)3-------

列表如下:

X(F再)%(不X2)X,(9,+8)

+0—0+

□极大值□极小值□

所以/‘(X)的极大值M=f5).

解法一：M=/(再)=£_(〃+1)/+Zzx]

)..(x〃+1)2(Z?2-Z?+l)帅+1)

=[3-V—2(Z?4-1)x)+b\[——X|+

1U-o"J9-9

3

—2(〃2_b+i)s+i)b(b+l)2

解法一：因为Ov〃<1,所以七€(0,1).

当xw(0,1)时,f(x)=J(X-Z?)(x-1)<x(x-l)2.

令g(x)=x(X-1)2,x£(0,1),则gQ)可Q-1J(4-1).

令g'a)=o,得x=’.列表如下:

3

(o，l)1(L1)

X

333

g'(x)+0—

g(x)□极大值□

//、

所以当x=I时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)―=g'"=4

44

所以当(0,1)时，f(x)<g(x)<一，因此MW一

2727

13

7.^flf：(I)由f(x)=_x3一x2+x,得/'(x)=_x2-2x4-1.

44

令/'(幻=1，即_幺-2工+1=1，解得x=0或x=_-

Q4Q3

X/(0)=0,/^)=_,

327

所以曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程是y=x与>—_!_=%—_!，

773

.64

即nily="与y=x—-.

27

<n)令g(x)=/(x)7,xe[-2,4].

i,3

由g(x)=_x3-x2得g'(x)=_x2-2x.

44

Q

令g'(x)=0得x=。或x=_•

3

g'(x),g(x)随A-的变化情况如表所示

X-2(TO)08尸4〕

4

3r

\7

g\x)*-+

64

z0

g(x)-6z0]一百

所以g(x)的最小值为-6：最大值为0,所以一6Wg(x)W0,BPx-6<f(x)<x.

(Ill)由(ID知,

当时，M(a)2广(0)卜g(0)-|a=—〃>3;

当〃>一3时，M(o)>F(-2)=^(一2)—《|=6+4>3；

当。=一3时，M(a)=3.

综上，当M(a)最小时，a=—3.

8.解析(I)由已知，有/'(x)=ev(cosx-sinx).因此，当

XG2攵兀+兀，2k兀''(攵£Z)时，有sinx>cosx,得/'(x)<0,则/(x)单调递减:

44

当xe2左兀一，2%兀+：(ZEZ)时、有sinxvcosx，得/'(犬)>0,则/(X)单调递

增.

所以，/Q)的单调递增区间为「2人兀-3兀，2kn+7cl

(kGZ),/(x)的单调递减区间为

Lw4J

「2力立+”,2"五+'I伏至z).

U4TJ]

(H)记〃(戈)=f(x)+g(x)i-x1依题意及(I),有gW=e'(cosx-sinx),从而

2

\/

g'(x)=-2e'sinx.

当x牛-71曾时，g'(大)<(),

【42)

故〃'(x)=f\x)+g汽一/+g(x)(-1)=g0)'兀n

-x<0.

bJI2

因此，〃口)在区间「衣，房上单调递减，进而/?(A-).../l

=t=0.

行列⑸⑸

所以，当xe171,71]时，/(x)+g(x)'7l-x'

0.

2」[2

\/

(HI)依题意，u(x„)=f(xJ-l=0,即

2sXtl=1.

i己尤=五-2〃兀,贝ij久《左()

且/(y)=ev,,cos>;=e'n-2,mCOS(AJ-2〃兀)=e4Hl(刀eN).

由/(3)=e叱,1=/(%)及(I)，得％•%

由(II)知，当xe,"时，g'(x)<0,所以g(x)在「九，兀〕上为减函数，因此

匕2-J

g(y)，，g(y)<J眉=o.

n0

<4J

又由(II)知，f(y)+g(y..0,

〃〃)”

71/(汽)=_)<sinJ；os1

故——cju(sin)>-cosy

2g(y)

00000

..7ie2"n

所以，2〃兀+--x„<----一cos-

2sinx。o

2010・2018年

1.A【解析】Vf\x)=［x2+(a+2)x+a-1,Vff(-2)=0,：.a=-1,

所以f(x)=(^-x-\)ex~\(。)=(父+1-2)-7,

令/'(x)=0，解得工二-2或x=l，所以当x£(-oo,-2)，f\x)>0,/(x)单调递

增；当不£(一2,1)时，/'(x)<0,/(x)单调递减；当xe(l,+oo),f\x)>0,/(x)

单调递增，所以/(幻的极小值为川)二(1一1一1)/7=-1,选A.

2.D【解析】由导函数的图象可知，)，=/(x)的单调性是减f增f减f增，排除A、C；

由导函数的图象可知，y=/(x)的极值点一负两正，所以D符合，选D.

In4)上单调递增，在［In4,2］上单调递减,又八0)=-1<0,/(□=2-&>(),

，(1)=4-6>(),f(2)=8-修>0,所以存在x£((),1)是函数/(用的极小值点，

°2

即函数/(x)在(0,%)上单调递减，在(4,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合

条件的图像为

〃一8

D.4.B【解析】(解法一)加工2时，抛物线的对称轴为x=_.据题意，当加〉2

时，/-----

----vV-----rn-2

-n即2m4-//<12.2mn<W<6:.mn<18.由2m=〃且

tn-22

2〃?+〃=12得m=3,〃=6.当机<2时，抛物线开口向下，据题意得，一2*KL

八-rn—22

+tlQ1

即m+2n<18.../TTHTT<<9/.mn<_.由2〃=加且加+2〃=18得

'2T

m=9>2,故应舍去.要使得〃?〃取得最大值，应有机+2〃=18（〃?<2,〃>8）.所以

〃z〃=（18—2，?）〃<（18—2x8）x8=16,所以最大值为18.选B.

（解法二）由己知得/'（八）=（，〃-2）八十〃一8,对任意的人£「一2],广⑴£（）,所

‘r（1）W0加2（）,心（）

以12，即・6+2〃<18.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分

[r（x）WOI2,〃+〃W2

所示，

令〃w=f,则当〃二°时，[二°,当〃工°时，m=_f由线性规划的相关知识，只有

1

n

当直线2〃z+〃=12与曲线，〃=相切时，，取得最大值，由；,解得n=6,

7T1

9一一〃=

2n

f=18,所以（如选B.

5.A【解析】令/?（幻=上上，因为/（幻为奇函数，所以力（工）为偶函数，由于

x

="⑶/⑶,当x>0时，xf\x）-f（x）<0,所以〃⑴在（0,+s）

JT

上单调递减，根据对称性"（X）在（一8,0）上单调递增，又/（-1）=0,/（1）=0,

数形结合可知，使得/（幻>0成立的X的取值范围是（70,-1）U（0，l）.

6.D【解析】由题意可知存在唯一的整数天，使得0%（2%一1）〈说一。，设

g（x）=ex（2xZ?（x）=ax-a,由g'（x）=e'（2x+1）,可知g（x）在（一oo-）

2

上单调递减，在（-L+8）上单调递增，作出8。）与〃（X）的大致图象如图所示，

2

故,(0)>\(0)1,所以三.<].

[M-l)Wg(T)-2aW-—2e

e

7.D[解析]..・/(x)="—Inx,・•./'CE)=A_J，'J/G)在(l，+8)单调递增，

x

所以当x>i时，ra)=&-22o恒成立，即t与i在a,+8)上恒成立，

XX

1

Vx>l,.-.0<-<1,所以攵21,故选D.

X

8.A【解析】法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0),(2,0),在(0,

0)处的切线方程为尸-X,出2,0)处的切线方程为j=3x-6,以此对选项进行检验.A

113

选项，y=x3-x2-x,显然过两个定点，Xy='x2-x-1,

222

则y'Lo=T，VlE=3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.

法二设该三次函数为f(x)=ax'+bx2+cx-^-d,则/'(x)=3ax^+2bx+c

1

।f®=8,hl,c\,d0

由题设有>(0)=T,解得a=2=F=-=.

/2)=3

故该函数的解析式为y=_d——x,选人.

22

9.C【解析】由正弦型函数的图象可知：/(x)的极值点/满足/(与)=±妒

则犯)=「2攵万(女三2),从而得x=(k+1MkeZ).所以不等式

m71T\

x2+[f(x)]2<m2,即为(&+)2/w2+3<m2,变形得一伙+)1>3,

00r爹

其中AwZ.由题意，存在整数Z使得不等式〃?2口_伏+1月>3成立.

2

当攵¥-1且攵工0时，必有伙+L)2>1,此时不等式显然不能成立，

2

故Z=-1或4=0,此时，不等式即为3nr>3,解得m<-2或加>2.

4

10,A【解析】设所求函数解析式为y=/(x),由题意知/(5)=-2,/(—5)=2,

Iq

且r(±5)=o,代入验证易得)，=[丫符合题意，故选人.

(255

11.C【解析】当xu(0,1]时，得a>-3()3-4£^)2+}»令,贝

xxxx

a^-3r3-4/2+/,令gQ)=-3/一4广+z,tG[1,+OO),

则(。)=-9/-8/+1=-(，+1)(%-1),显然在[1,+8)上，g'(/)<0,

g")单调递减，所以g(t)max=g(l)=-6,因比〃2-6；

同理，当XE[—2,0)时，得〃W-2.由以上两种情况得一6W。W

-2,显然当x=0时也成立，故实数a的取值范围为[―6,-2].

12.C【解析】设/(x)=e-lnx,则=故在(0,1)上有一个极值点，

x

即/(X)在(0,1)上不是单调函数，无法判断了(修)与/(々)的大小，故A、8错・；构造

函数g(x)=e：g，a)=e、a-i),故8(幻在Qi)上单调递减，所以以工)>8(工)，

7,2

选C.

13.[解析】B当。=()，可得图象D；记/(/)=av2-七F,^(x)=a2x3-2ax2+

[]]22

x+a(aG/?),取。=,f(x)=(x-1)2-.令g'(x)=O,得x=,2,易知

2243

g(x)的极小值为g(2)=],又/(2)=J,所以g(2)>/(2),所以图象A有可能；

24

同理取a=2,可得图象C有可能；利用排除法可知选B.14.C

【解析】若c=()则有/(0)=0,所以A正确.由/(幻=./+ar?+/zr+c得

/(x)-c=r+aF+A，因为函数y=1'+4/2+汝的对称中心为(o,o),

所以/(幻=炉+成：2+云+，的对称中心为(0,0),所以B正确.由三次函数的图象可

知，若不是的极小值点，则极大值点在七的左侧，所以函数在区间(-8,小)单调

递减是错误的，D正确.选

C.15.A【解析】法一：由题意可得，jo=sinx()

J--------

而由/(x)=，

当a=()时，f(x)=e'+.E/曾函数，

二光£［0,1］时,

•••/(/(No))，”1>L

・•・不存在券1］使/J(如))三即成立，故B,D错；

当。=e+l时，/*)=e'+x-e-1,

当)，oW［O,l］时，只有%=1时/(x)才有意义，而/(1)=0,

・•・/(/(D)=/(0),显然无意义，故C错.故选A.

法二：显然，函数/(x)是增函数，/(幻20,从而以题意知必直0』］.

于是，只能有/()，0)=)’0・不然的话，若/()，0)>%，得/(/(丁0))>/()'0)>%，

与条件矛盾；若/(必)<%，得/(/(%))</(%)<%，与条件矛盾.

于是，问题转化为=f在［0,1］上有解.

由/=e'+t-a,得产=d+f—a,分离变量，得。=g(f)=d—〃+/,/$［0/］

因为g\t)=e,-2t^\>0,rG［0,1J,

所以，函数g(f)在［0,1］上是增函数,于是有l=g(0)Wg⑺Wg(l)=e,

即〃£H,eJ，应选A.

16.D【解析】A.VXGR,/(X)</(X0),错误.公(工0工0)是/(x)的极大值点，并不是

最大值点；B.-凡是/(-用的极小值点.错误.f(r)相当于/(幻关于y釉的对称

图像，故一X。应是/(-x)的极大值点；C.-%是-/(用的极小值点.错误.-/(外相

当于/(X)关于x轴的对称图像，故/应是一/(好的极小值点.跟-见没有关系；D.-x0

是-f(-幻的极小值点.正确.-/(-外相当于fix)先关于y轴的对称，再关于x轴

的对称图像.故D正确.

17.B【解析】•・•丁=_炉一皿尤・・・)，'=工—_,由)，',，0,解得—1麴k1,又x>0，

2x

・•・0<X„1故选B.

18.D【解析】/(x)=xel,f'(x)=ex(x+1),e、>0恒成立，令则尤=-1

当大<一1时，F(x)<0,函数单调减，当x>-l时，f\x)>0,函数单调增，

贝ijx=—l为/(x)的极小值点,故选D.

19.D【解析】f,(x)=\2x2-2ax-2b,由/(1)=(),即12—2〃-26=0,

得。+〃=6.由a>0,b>0所以abW('£52=9,当且仅当。=〃=3时取等号.选

2

D.20.

D【解析】若x=—1为函数f(x)ex的一个极值点，则易知a=c,•・•选项A,B的函数

为/(x)=a(x+l)2,/.[/(x)ex]=[f\x)+f(x)]ex=a(x+1)(x+3)e\

・•・x=-1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x=-八°,

2a

且开口向下，<。<0力>0,・•・/(-1)=2。一8<0,也满足条件；

选项D中，对称轴工=-0,且开口向上，,a>0,b>2a,

2a

•・・f(-1)=2a-b<0,与题图矛盾，故选

D.21.D【解析】由题|MN|=V-Inx,(x>0)不妨令〃(x)二炉一In

1?2

则”。))2工一，令〃(E)=0解得/=,J3AG(0,)时，h\x)<0,

VX2±_2

22

当X£(L，+8)时，"'。)>°，所以当x=时，|MN|达到最小.

V22

即，=2

2

22.①©©⑤【解析】令/(1)=/+。工+4/'(幻=3/+。，当时，f\x)>0,

则/(x)在R上单调递增函数，此时d+or+〃=0仅有一个实根，所以(4)(5)对：

当。=一3时，由/'次)=3/-3<0得Tvxv1,所以x=1是的极小值点.

由/(1)>0,得13-3」+〃>0,即〃>2,(3)对.工二一1是/(x)的极大值点，

由/(—1)<0,得(一1)3—3・(-1)+力<0,即人<一2,(1)对.

23.①④【解析】(1)设5>玉，函数2V单调递增，所有2、>2"，M-占乂)，

则"?二色匕△")=2±2二X),所以正确；

x-X,X|-x2

(2)设M>/，则占-占>0，则〃二以再)"。2…J枷区・")

X]-x2X]-X,

二°「♦‘°t'*')-=可+毛+々，可令再=1,x,=2,〃=一4,

-2

贝I」H=-l<(),所以错误；

(3)因为加二〃，由(2)得：八、)*")=x+x+。，分母乘到右边，

七一々

右边即为g(Xj-g(&)，所以原等式即为/(演)-/。2)=8(M)一。2)，

即为了(再)一以工2)=/(2)・晨修)，令〃(X)=/(/)-&*)，

则原题意转化为对于任意的。，函数/7(x)=/(X)-g(x)存在不相等的实数司,

当使得函数值相等，h(x)=2x-x2-ax,贝ijh\x)=2x]n2-2x-a,

则〃'。)=2«1112)-2,令〃'(x0)=0,且可得"(%)为极小

值.若〃=—10000,则〃'(心)>0,即〃'(x0)>0,〃(x)单调递增，不满足

题意，所以错误.

(4)由(3)得/(再)一/a2)=g(H])-g(x2)，则/(%))+g(X[)=g。2)+/。2)'

设〃(X)=/(%)+g(x),有和W使其函数值相等，则〃(X)不恒为单调.

/?5)=2'+12+内,〃'(x)=2'ln2+2x+a,6'口)=2%ln2)2+2>0恒成立，

“(X)单调递增且〃(-8)<0,h'(+00)>0.所以Mx)先减后增，满足题意,所以正

确.

24.4【解析】当0<xW1时,/(x)=-Inx,g⑴=0,此时方程If(x)+g(x)|=1

即为lnx=l或lnx=-l,故x=e或x=l，此时尤=：符合题意，方程有一个实根.

ee

当lvx<2时，/Or)=Inx,^(X)=4-X2-2=2-X2,方程|/(x)+g(x)|二1

2

即为1g+2・/=1或mx+2・W=-1,即L工+1・/=()或］11工+3・；1=0,

令)，=Inx+l-f,则法=一-2%<(),函数)，=1111+1-寸在/1(1,2)上单调递减,

x

且x=l时y=(),月f以当l〈xv2时，方程lnx+1-工2=()无解；令)，=hix+3•/,

则y^=_-2x<0,函数y=lnx+3・x2在xi(1,2)上单调递减，且大=1时)，=2>0,

x

x=2时y=ln2-1<0,所以当l<x<2时，方程lnx+3-x2=0有一个实

根.当x22时，f(x)=\nx,g(x)=f-6,方程|/(x)+g(x)|=l即为Inx+x2-

6=1

sElnx^x2-6=-1,BPlnx+x2-7=0sElnx+X2-5=0,-^y=lnx+x2-7,

x

y=In2-3<0,x=3时y=ln3+2>0,所以当x/2时方程Inx+V-7=。

)有1个实根.

故方程|/W+g(x)|=1实根的个数为4个.

25,2【解析】由题意/'比)=3/-6x=3工(,E-2),令/(x)=。得汇=0或x=

2.因柒<0或x>2时，7(x)>0,0vxv2时，/(x)<0.

x=2时/(x)取得极小值.

26(D/U)(0,+8)尸(幻二一111"W-or+1

.【解析】的定义域为，.

x

(i*W2,则/a)W0,当且仅当4=2,x=l时八/=0,所以/。)在(0,+8)

单调递减.

/-4cr-4

(ii)若。得或工=

22

/JJo

当X£(0,“一4)u(〃+,+00)时，f'M<0；

22

当甲)时/W>(),所以/⑴在((),匕手)，

(竺叵三,一)单调递减，在("必三，”®三)单调递增.

222

(2)由(1)知，/。)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于/(X)的两个极值点X1,W满足V-aY+1=0，所以再入2=1，不妨设再<々，

则1.由于

〃阳)-/(々)__1_1+fl1g-1匹__2+/呼-1眸__2+a-21nx2,

X.-XoX,x,x,-x-yX|-X,1_Y

一人2

X2

月〒以J--11一,"J2等价于-招+21nxW0.

外一4七

设函数g(x)=--x+21nx,由⑴知,g(x)在(0,+8)单调递减,又-1)=0,从而

x

当X£(l,+oo)时，g[X)<0.

所以,一々+2皿%40,即/因)_"“2)<4_2.

X2-X1-x2

27.【解析】(1)当4=1时,f⑴21等价于d+i)eT_lW0.

设函数g(x)=(f+1)夕'-1,则屋(#=一(/一21+1)二=一(工一1)2溶

1当xwl时，g'a)〈o,所以g(x)在(0,+8)单调递减.

而g(0)=0,故当x20时，g(x)W0,即/(x)2l.

(2)设函数A(x)-\-ax2e~x.

/(X)在(0,+QO)只有一个零点当且仅当〃(X)在(0,4-00)只有一个零点.

(i)当aW0时，/?(x)>0,h(x)没有零点：

(ii)当〃>0时，h'(x)=ax(x-2)eK

当xG(0,2)时，/?V)<0；当x£(2,+8)时，h\x)>0.

所以/?(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.

故爪2)=1-兰_是〃(x)在［0,+00)的最小值.

e2

2

e

①若力(2)>0,即〃(屋，力(幻在(0,+oo)没有零点；

^2

②若〃(2)=0,即〃=丁，〃(外在(0,+m)只有一个零点；

4

③若力(2)<0,即〃>一，由于力(0)=1,所以力(劝在(0,2)有一个零点,

4

由⑴知,当x>0时,el>^2,

\6a16/16/1

所凄曲口一一诉"一砌

故力。)在(2,4a)有一个零点，因此人⑴在(0,+oo)有两个零点.

2

综上，/(X)在(0,-HO)只有一个零点时，。三士.

4

28.【解析】⑴当4=0时,f(x)=(2+x)\n(l+x)-2x,f(x)=ln(l+x)-

1+x

xX

设函数g(x)-/(％)-ln(1+x)--一，则/@)一——h

1+x(i+xy

当一IvxvO时，g'(x)<0：当x>0时，g\x)>0.

故当在>一1时,g(x)故g(0)=0,且仅当x=01,g(%)=0,从而广(x)20,且

仅当x=0时，ff(x)=0.

所以f(X)在(-1.+00)单调递增.

又/(0)=0,故当一1<XVO时，<0；当x>0时，f(x)>0.

(2)⑴若420,由⑴知,当x>0时，/(x)2(2+x)In(l+x)—2x>0=/(0),

这与x=0是的极大值点矛盾.

f(x)2x

(ii)若〃<0,设函数〃(x)=1f.=ln(l+x)-----------

2+x+ax~2+x+ar

由于当|x|<min{1,时，2+x+ax2>0,故〃(x)与/(x)符号相同.

又〃(0)=/(0)=0,故工=0是/。)的极大值点当且仅当工=0是人。)的极大值点.

,12(2+x+ax2)-2r(l+2ax)x2(«2x2+4ax+6a+1)

h(x)=——.