北师大版九年级数学上册全册教案

课1.K你能证明它们吗（一）课新授课

题型

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步

教学目骤和书写格式。

标2、经历“探索-发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法

证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学重了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤

点和书写格式。

教学难

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

点

教学方

观察法

法

教学后

记

教学内容与过程学生活动

一、复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽

剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

二、新课讲解：

在《证明(一)》一章中，我们已经证明了有关平行线的

一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以

证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

♦本套教材选用如下命题作为公理：

♦1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这

两条直线平行；

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)这个推论

♦4.两角与其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)虽然简

♦5.三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)单，但也

♦6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.应让学生

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：进行证

推论两角与其中一角的对边对应相等的两个三角形全明，以熟

等。(AAS)悉的基本

证明过程：要求和步

已知：ZA=zD,zB=zE,BC=EF骤，为下

求证：△ABC々ADEF面的推理

证明：・.・NA=ND,NB=NE（已知）证明做准

VZA+ZB+ZC=180°,ZD+ZE+ZF=180°(三角形备。

内角和等于180°）

ZC=180°-(ZA+ZB)学生充分

ZF=180°-(ZD+ZE)讨论问题

ZC=ZF（等量代换）1,借助

BC=EF（已知）等腰三角

△ABC^ADEF(ASA)形纸片回

这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的忆有关性

基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。质

三、议一议：

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？让学生尽

（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？可能回忆

等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，出来，然

这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证后再考虑

明。哪些能够

定理：等腰三角形的两个底角相等。立即证明

这一定理可以简单叙述为：等边对等角。

已知：如图，在中，让同学们

ABCAB=ACO

求证：ZB=ZC通过探

证明：取BC的中点D,连接人入索、合作

交流找出

-•/AB=AC,BD=CD,AD=B;ACEAA其他的证

AD,/A明方法

BDC

・••AABCA^AACD(SSS)

AZB=ZC(全等三角形的对应边角相等)学生回顾

四、想一想：前面的证

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能明过程，

得到什么结论？思考线段

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性AD具有

质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。的性质和

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上特征，讨

的高互相重合。论图中存

五、随堂练习：在的相等

做教科书第4页第1,2题。的线段和

六、课堂小结：相等的

通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内角，发现

容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索一发现一等腰三角

猜想一证明'’的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性形性质定

质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。理的推

七、课外作业：论，从而

教科书第5页第1,2题。得到结

论，这一

板书设计：结合通常

§1.1、你能证明它们吗（一）简述为

公理：SAS

ASA!“三线合

SSS/

一，，

推论：AAS*O

三线合一/

R\

课题1.1、你能证明它们吗（二）课新授课

型

1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学目

2、经历“探索-发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法

标

证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重

等腰三角形的关性质定理和判定定理。

点

教学难

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

点

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、等腰三角形性质的探究

1.让学生回忆上节课的教学内容,1.积极思考，回忆以前所学知识,

引导学生思考从等腰三角形中能联想新问题。

找到哪些相等的线段。

2.播放课件，结合刚才的问题讲2.认真观看例1图形中线段的关系,

解例1的命题，并为后面将此性质积极思考，认真听讲。

拓展埋下伏笔。3.对于课件的演示很感兴趣，凭直

3.分别演示:观感觉可以猜测，不管k为何值,

BD=CE总成立。基于前面例题的启

发，想要给出证明。一部分学生可以

D

自己给出证明，一部分学生需要老师

中，N的帮助。

ABD=

-ZABC,ZACE=-Z

kk

ACB,k=l,1时,BD是否与CE相

34

等。引导学生探究、猜测当k为其

他整数时，BD与CE的关系。4.在已经探究了角的大小的改变对

4.引导学生探究，对于上述例题,于BD,CE的等长性没有影响，有

当AD=-AC,AE=-AB,k=-,-了一些成就感之后，又面临新的任

kk23

时，通过对例题的引申，培养学生务：BD=CE吗？因此学生会满怀热

的发散思维，经历探究一猜测一证情地进行这部分探究活动，而且有了

明的学习过程。前面的体验，探究也会比较顺利。

5.引导学生进一步推广，把上面5.兴致高涨，凭直觉猜测结论仍然

3、4中的k取一般的自然数后，成立。但有些学生给出全部证明可能

原结论是否仍然成立?要求学生说会有困难。

明理由或给出证明。6.认真听讲，在掌握结论的同时受

6.对学生探究的结果予以汇总、到老师的鼓励，有很高的热情进行后

点评，鼓励学生在自己做题目的时续学习。

候也要多思多想，并要求学生对猜7.较少接触这样的命题，因此会感

测的结果给出证明。到新鲜，有用已知公理和定理对命题

7.提出新的问题，引导学生从“等的真假性进行判断的欲望。在老师指

角对等边”这个命题的反面思考问导下完成证明。

题，即思考它的逆命题是否成立。8,积极动脑思考，认真听讲，获得

适时地引导学生思考可以用哪些对演绎证明的初步体会。

方法证明？培养学生的推理能力。

8.归纳学生提出的各种证法，清9.可以从直观上得出结论，但是此

楚的分析证明的思路，培养学生演处要求证明，体会到证明的必要性。

绎证明的初步的推理能力。遇到认知上的冲突，激起学习欲望。

9.启发学生思考：在一个三角形

中，如果两个角不相等，那么这两

个角所对的边也不相等，这个结论

是否成立?如果成立，能否证明。10.怀有强烈的求知欲听讲，对反

这实际上是“等边对等角”的逆否证法有了感性认识和一定的理解。

命题，通过这样的表述可以提高学11.体会老师的讲解，并根据小结

生的思维能力。记忆掌握知识。

10.总结这一证明方法，叙述并阐

释反证法的含义，让学生了解。

11.小结这两个课时的内容。（学生小结：掌握证明的基本步骤和

作业：书写格式。经历“探索一发现一猜想

1、基础作业：P9页习题1.21、一证明”的过程。能够用综合法证明

2、3o等腰三角形的两条腰上的中线（高）、

2、拓展作业：《目标检测》两底角的平分线相等，并由特殊结论

3、预习作业：P10-12页做一归纳出一般结论。等腰三角形的判定

做定理。了解反证法的推理方法。）

板书设计:

§1.1、你能证明它们吗（二）

探索一一发现——猜想一一证明

课题1.1、你能证明它们吗（三）课新授课

型

1、掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学目

2、经历“探索-发现一猜想一证明”的过程。能够用综合法

标

证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。

教学重

等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

点

教学难能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性

点质定理。

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、定理：一个角等于60°的等

腰三角形是等边三角形

1.引导学生回忆上节课的内容，1.积极地自主探索、思考等腰三角

让学生思考：等腰三角形满足什么形成为等边三角形的条件。可能会从

条件时便成为等边三角形?让学生边和角两个角度给出答案。

对普遍联系和相互转化有一个感

性的认识。2.积极思考，通过老师的点拨，分

2.肯定学生的回答，并让学生进类讨论当这个角分别是底角和顶角

一步思考：有一个角是60°的等的情况。

腰三家形是等边三角形吗?组织学

生交流自己的想法。渗透分类讨论3.认真听讲，体会分类讨论的数学

的思维方法。思维方法，理解定理。

3.关注学生得出证明思路的过程,

讲评。讲解定理：有一个角是

60°的等腰三角形

是等边三角形。

1.积极动手操作，并很快得到结果:

二、一种特殊直角三角形的性质可以拼出等边三角形。

1.让学生拼摆事先准备好的三角2.在拼摆的基础上继续探索，得出

尺，提问：能拼成一个怎样的三角结论。并在探索的过程中得到证明的

形？能否拼出一个等边三角形？并思路。

说明理由。3.认真听讲，体会从探索和尝试中

2.肯定学生的发现和解释，在此得到结论的过程和证明方法的步骤，

基础上进一步深入提问：在直角三掌握定理。

角形中，30。所对的直角边与斜边4.很有兴趣地折叠纸片，体会定理

有怎样的大小关系？的应用。

3.演示规范的证明步骤，同时引5.听讲，体会定理的应用。

导学生意识到：通过实际操作探索6.认真做练习。

出的结论还需要给予理论证明。

4.让学生准备一张正方形纸片一

按要求动手折叠。

5.讲解P15例题，应用定理。

6.布置学生做练习。

练习：课本12页随堂练习1

四、课堂小结：（学生小结：掌握证明与等边三角

通过这节课的学习你学到了什么形、直角三角形有关的性质定理和判

知识？了解了什么证明方法？定定理）

五、作业：

1、基础作业：P13页习题1.3

1、2、3题

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P15-17页读一

读“勾股定理的证明”

板书设计：

§1.1、你能证明它们吗（三）

有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,

是等边三角形。那么它所对的直角边等于斜边的一半。

课题1.2、直角三角形（一）课新授课

型

1、要求学生掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）和判定定

理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、了解逆命题、互逆命题与逆定理、互逆定理的含义，能结

教学目

合自己的生活与学习体验举出逆命题、互逆命题与逆定理、

标

互逆定理的例子。

3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养

思维能力。

教学重

直角三角形的性质和判定定理

点

教学难

勾股定理逆定理的证明方法。

点

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、勾股定理

1.让学生到黑板上画出他们观察1.踊跃地到黑板上画出自己收集

到的生活中的直角三角形，并分别到的直角三角形，并说出它们的用

说出它们的作用在哪里。处。

2.高度评价学生的参与热情和学

习成果，激励学生继续努力。可以2.受到老师的表扬和鼓励，很有

把其中很有创意的发现以该学生成就感，增加了学习数学、探索数

名字命名，以此保护学生的积极学、研究数学的兴趣。

性。

3,总结学生的“成果”，启发学生3.听取老师的分析，找出自己“成

思考既然学生所找的三角形同属果”的优缺点；积极思考直角三角

直角类，那么它们还有没有其他的形的共性，有些学生会有困难，不

共性？知从哪里人手。

4.动手用直尺和圆规画一个直角

4.启发学生回忆以前用数方格和三角形，并测量三边的长度，结合

割补图形的方法得到的关于直角以前的知识，验证勾股定理。

三角形三边关系的结论。让学生画

出一个直角三角形并测量三边长，5.学会勾股定理并对有关的数学史

验证结论的正确性。有所了解，对数学的兴趣增加。

5.讲解勾股定理，讲述有关的数学

史，让学生对勾股定理的发现有所1.试图找出理由说服别人自己找

了解。的就是直角三角形，但有些困难。

二、勾股定理的逆定理

1.利用学生画在黑板上的直角三2.在老师的启发下，“觉得”命题

角形提出问题：你如何证明你找的是正确的，但不能给出严谨的证明。

就是直角三角形呢？

2.引导学生思考勾股定理的反面：3.画三角形并测量三边长。

在一个三角形中，当两边的平方和4.进一步体会证明的必要性，知

等于第三边的平方时，这个三角形道要有意识地检查自己的思路，要

是不是直角三角形？3.让学生画做到说理充分，言必有据。知道这

三角形并测量三边长长度。4.借样做对逻辑思维的养成有一定的促

此机会向学生说明命题的正确性进作用。

一定要通过严格的逻辑证明来说

明，不能凭直观猜测，在做题的过5.因为所面对的问题比较有挑战

程中要注意监控自己的思路，做到性，因此学生很有参与的积极性，

步步有据，说理充分，培养学生的试图解决，说出自己的想法。

理性精神。6.受到鼓励的学生更加有参与教

5.对这个比较有挑战性的问题，学朗积极性，没有想出来的学生在

首先让“呼之欲出”的学生说说他其他同学的启发和老师的引导下继

们的思路；并让学生试着给出比较续思考。7.用到第一节学习过的

详细的说明。三角形判定定理，听取老师的讲解，

6.表扬学生的积极发言，保护学学会勾股定理逆定理的证明，知道

生的积极性，并对他们的回答予以逆定理的内涵，并为继续探索其他

剖析，引导学生继续思考。的证法作好了准备。

7.点评学生的证明，并作为和学8.跟随老师的思路，思考、分析

生平等的一分子给出证明，不把自两个互逆定理的条件、结论分别是

己的证明作为难一的权威和正确什么，它们之间的关系是什么。

的答案，让学生可以继续寻找其他

的证法。

1.非常愿意做这个游戏，参与热

8.比较勾股定理和勾股定理逆定情很高。在老师的指导下，知道游

理的表述方式有什么不同，让学生戏的规则，都在积极得思考自己手

分析它们各自的条件和结论分别里命题的“反面”是什么，想要找

是什么，蕴含的因果关系分别是什到与自己在同一组的同学。游戏开

么。始后，按规则去找自己的同伴，有

三、互逆命题、互逆定理的顺利，有的不顺利，因为教师的

1.把准备好的卡片随机地发给学特别用意，很可能会出现两位学生

生，学生按卡片的种类被分成A、与同一位学生组对的情况，这时候

B两组，要求拿A类卡片的学生a不光是。同学，其他同学也会积极

说出自己卡片上的内容，然后寻找地判断到底谁是谁非。

拿B类卡片的与自己的命题相反

的同学b。b要自己主动站起来，

并说出自己卡片上的命题是什么，2.回答老师的问题，也许不会说

由学生a来判断他（她）和自己是否的很清楚，但有感性的认识，如：

在一组。（注意：A、B类卡片上的会觉得那个命题的反面就是自己手

内容要出现适量的不能构成互逆里命题的意思。

命题、互逆定理的例子，但不能太3.在老师的总结之后，会说得比

多。这样既有利于学生分析、辨别较理性一些，但还是不能给出严谨

互逆命题、互逆定理，又有利于他的说明。4.刚开式会觉得自己的

们从正例中归纳、总结出互逆命命题和。同学的构成一组，但和真

题、互逆定理的内涵）。正的“反面”命题一比，又觉得自

2.对学生的表现予以表扬、肯定己的命题不太像，原因可能不清楚。

和鼓励。然后提问拿B卡片的找到5.总结概括互逆命题、互逆定理

组的学生：你是如何判断和谁在一的含义，除个别之外，对含义的理

组的？解基本正确。

3.提取学生回答中的合理性成分,6.认真听讲，加深理解。

总结归纳,然后提问拿A类卡片的

学生：你是如何判断b是否和你在7.在老师的讲解下知道如何应用

同一组？互逆命题、互逆定理的定义判断两

4.肯定学生的认识，提问拿B类个命题是否构成互逆命题、互逆定

卡片的但没找到组的学生：为什么理。

他们的命题和A类同学的命题不8.知道命题的条件和结论互换之

能互相构成反面？后命题不一定成立，对命题表述的

严谨性和正确性有了更深的认识。

5.肯定所有学生的发言和参与，9.比较顺利地说出答案并可以判

然后让学生试着自己归纳总结概断命题的真假。

括出什么是互逆命题、互逆定理。

6.肯定学生的回答，并在此基础10.记下作业和任务，愉快地下课。

上进一步升华，给出严谨的表述。

7.结合刚刚讲过的勾股定理与其

逆定理，应用互逆命题、互逆定理

的含义进行分析，加深学生对这一

方面的认识。

8.结合游戏中的命题向学生说明：

一个命题是真命题，它的逆命题不

一定是真命题。让学生体会命题变

换的辩证关系。

9.让学生回忆自己曾学到的互逆

命题和互逆定理，说出教师难备的

一些命题的逆命题并判断真假。

10.布置作业与下节课学生要准备

的东西。

作业

1、基础作业：P20页习题1.41、

2、3©

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P21-22页做一

做

板书设计：

1.2直角三角形

勾股定理：

互逆定理

课题1.2、直角三角形（二）课新授课

型

1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直

教学目角三角形有关的问题。

标2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养

思维能力o

教学重

直角三角形HL全等判定定理。

点

教学难

直角三角形HL全等判定定理。

点

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、直角三角形HL全等判定定理

1.向学生展示自己难备的两个全1.回答：全等三角形。

等的直角三角形，让学生根据直观

感觉回答两个三角形是什么关系？

2.进一步说明要判断两个三角形2.加深对证明必要性的认识，体会

全等，必须给出证明，继续培养学数学的严谨性。回忆SSS,SAS,

生理性思考问题的习惯。让学生回ASA,AAS等全等三角形的判定定

忆在第一节中都学习了哪些全等理。

判定定理。

3.因为所给出的两个直角三角形3.在老师的引导下，思考对应每个

没有附加什么条件，让学生思考：判定定理所需要的条件。回答老师的

如果要利用那四个全等判定定理，问题。

分别需要给这两个三角形附加什

么条件？培养学生养成在满足条件

下才能应用定理的习惯。4.思考刚才给出的条件是否可以减

4.肯定学生的问答，。启发学生进少，回答：对于SSS,根据勾股定理，

一步思考，对于直角三角形这样的只要有两条直角边或一条直角边和

一类特殊三角形，四个定理是否可一条斜边对应相等就可以了……类

以简化一些?还有没有其他的判定似地考虑其他情况。

方法？5.思考，结合直角三角形的特点，

想到：如果这个角是直角，那么命题

5.充分肯定学生的思考，在这时就是真命题。

适时地提出曾经被抛弃的一条假

名题：两边与其中一边的对角对应6.比较顺利地利用勾股定理和SSS

相等的两个三角形全等在现在成证明出来。

立吗？7.对比老师的讲解修正自己的书写

6.让学生自己写出条件并给出证和表达。听老师讲解直角三角形全等

明。让先写完的学生到黑板上板判定定理，知道HL是SSS的一种

演。特殊情况。

7.讲解学生的板演，借此进一步

规范学生的书写和表达。分析命题

的条件，既然其中一边和它所对的

直角对应相等，那么可以把这两个

因素总结为直角三角形的斜边对8.对于命题条件的特殊情况，知道

应相等，于是直角三角形有自己的相应的命题判定也会有特殊的判定

全等判定定理：斜边和一条直角边方法。学会HL定理。

对应相等的直角三角形全等，可以

简单地用“斜边、直角边”或“HL”9.按照要求比较熟练地作图，思考

表示。如何证明所作的射线就是已知角的

8.让学生动手按照课本上的步骤平分线。根据条件写出已知求证，并

作图，在此时训练学生熟练使用作给出证明。

图工具能力。让学生首先观察所作10.认真听讲，改进自己的思路和证

出的射线是否是己知角的平分线，明，体会HL定理的实际应用。根据

是的话，思考如何证明。条件写出己知、求证并进行证明的能

9.让学生把自己的证明过程到黑力得到提高。

板上讲给同学听，注意纠正他的不

规范表达和不严谨的地方，给全体

学生做示范，加强推理能力的训

练。11.展开积极的思考和激烈的讨论,

10.让学生分组讨论开放题，尽可得到各种不同的答案。通过开放题的

能从多个角度、多个侧面展开讨研究，意识到自己在学习中的自主

论。通过和同学交流想法，各小组性。

获得各种不同的答案。在这个思考

和交流的过程中，要给予学生必要

的提示和指导，为学生提供自主探

索的时间和空间，培养学生的创造

性思维和发散思维。

11.充分肯定学生的发现，让学生

有一种成就感。选取其中比较一般

和比较新颖的有代表的证明方法

进行讲评。其他课下写出证明。

小结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、还有那一些方面的收获？

作业：

1、基础作业：P23页习题1.51、

2o

课题1.3、线段的垂直平分线（一）课新授课

型

教学目1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能

标够利用这两个定理解决一些问题。

2.能够证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理。

3.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证

明意识和能力。

教学重

线段垂直平分线性质定理与其逆定理。

点

教学难

线段垂直平分线的性质定理与其逆定理的内涵和证明。

点

教学方

法

教学后

记

2.让学生说出他们观察猜测的结2.知道自己的猜想是正确的，有了

果是什么，肯定他们的发现，引导进一步怎样思考使之更加完善的动

学生思考：这样一个结论是比较直力。在老师的问题中，知道在数学中,

观和明显的，我们可以说出两组边光靠观察是不够的，还需要理性的证

分别是相等的，但是，我们可以用明，加强了学生理性思考问题的意

观察说服别人吗？识。

3.给学生留出时间和空间思考如3.按照要求写出已知求证，明确题

何把猜想变成事实。学生可以讨论意，积极思考命题的证法，与同学讨

交流不同的方法。提示学生在证明论交流思路，在交流中既学到别的同

之前，要把文字语言变成数学语学的证法，又对自己的证法进一步完

言，根据图形写出已知和求证。善和改进。

4.两位同学道黑板上板演，其他同

4.选取证明完成地较好和较差的学继续没有完成的证明。

两位同学到黑板上板演自己的证

明，其他同学在练习本上完成。5.针对老师的讲解，改进自己证明

5.针对两位同学的板书讲解证法,不严谨和表述不规范的地方，进一步

规范学生的证明过程，培养学生的培养自己监控自己思维的意识。

逻辑思维能力。6.从证明中跳出来思考命题的几何

意义，结合长度和距离的关系，知道

6.提升学生的几何认识：由证明三角形两条边对应相等意味着线段

过程可以看出，两组对应线段分别垂直平分线上的点到线段两个端点

相等，那么这个事实的几何意义是的距离相等。

什么呢？7.思考线段垂直平分线阶性质定理,

听老师的分析，一方面对性质的几何

意义有了深刻的理解，另一方面，也

7.让学生总结出线段垂直平分线对在图形上任取一点作代表进行证

的性质定理，进而告诉学生：命题明的思想方法有所体会。

中说线段垂直平分线上的任一点

到线段两个端点的距离都相等，但

是在证明过程中，我们只是随机地

选了几种情况来证明，这并不影响

命题的正确性，因为我们所选的点

是任意的。借此向学生渗透等价类

的性质与选取的代表无关的思想。1.回忆起在学习互逆命题和互逆定

理时做的游戏，比较容易浮现出了关

二、到一条线段两个端点距离相等于互逆命题和互逆定理的知识。联想

的点，在这条线段的垂直平分线上自己收集到的互逆命题和互逆定理，

1.引导学生回忆第二节课学过的回答老师问题。

关于互逆命题和互逆定理的知识，2.对于自己或同学说出的互逆命题

让学生说出自己收集的数学上的都能理解，部分学生不太会找非“如

互逆命题和互逆定理。果…那么…”形式命题的逆命题，认

真听发言的同学的分析；而发言的同

学处在“教”的位置，比较有成就感,

2.把学生的答案分成两类：一类会更加要求自己学好数学。

是“如果…那么…”形式的，一类3.体会把较难或没有解决的问题转

是非“如果…那么…”形式的。对化归结为简单的或已经解决的问题

于简单的情形，不予以过多阐释，的数学思维方法。

对于非“如果…那么…”形式的命

题，要求给出这组互逆命题的学生

跟同学们讲清楚他是怎么想的。4.认真听讲，积极思考，体会转化

3,总结和完善学生的发言，运用归结的数学思想方法，知道用此方法

转化归结的思想，让学生先找到原可以找非“如果…那么…”形式命题

命题的条件和结论，把命题写成的逆命题，并对操作步骤有所了解。

“如果…那么…”的形式，然后再同时，也对线段垂直平分线定理的逆

写出它的逆命题，最后再对命题的定理认识更清楚了。

形式进行整理。5.因为有原命题的铺垫，比较顺利

4.为体现转化归结的应用，帮助地完成老师的要求。

学生把原命题改写成“如果…那6.记下老师布置的任务，知道自己

么…”的形式，然后由学生写出它所学地数学知识是有用的，有一个积

的“如果…那么…”形式的逆命题,极的学习态度。

引导学生把如果…那么…”的逆命

题进二步简化（指表述形式）。

1.非常有兴趣地观看那些历史名图，

5.让学生类比原命题画出图形、感受到数学的美，激发起学生想要好

写出已知和求证并证明逆定理，解好学习数学进而领悟数学美、创造数

释几何意义。学美的欲望。

6.布置学生收集生活中应用线段2.饶有趣味地听讲，对数学史很感

的垂直平分线的例子，让学生体会兴趣，知道了几何学上的三大难题，

这个定理的应用，在体会中加深理更重要的是，知道自己所要学习的东

解。西是有用的，从开始就有一个正确的

学习观。

三、用尺规作线段的垂直平分线3.由于被激起了学习的热情和欲望，

1.用投影仪展示历史上用直尺和以积极的态度参与到教学中，很想知

圆规作出的美妙的图形，把学生引道如何作已知线段的垂直平分线。有

入到一个数学的美的世界，陶冶学的学生甚至开始了探索。

生的情操，引发学生的求知欲。

2.给学生讲解与作图有关的数学

史知识，如几何三大难题等，讲述4.按照老师的要求用直尺和圆规作

作图在实际中的应用，让学生对此出已知线段的垂直平分线。

有一定了解，激发学生用多种手段5.比较顺利地写出已知求作和作法，

和方法解决问题的意识。个别的用词可能不恰当，但大体意思

正确。

3.趁热打铁，让学生明确要能自6.认真听讲，体会老师的意思，与

己用直尺和圆规画出优美的图形，同桌交换练习，互相批改，在当“小

或者在实际中应用画图解决问题，老师”的过程中对如何写已知求作和

必须从最基本的开始，先学习如何作法有了较好的认识。

用直尺和圆规作已知线段的垂直

平分线，让学生在充满好奇心的状7.思考老师的问题，困难不大，多

态下进入作图的内容。数学生可以给出充足的理由。

4.一边讲解如何作图、一边示范,

让学生同时在练习本上完成同样

的工作。

5.说明：类似于证明题要写出已

知求证和证明，作图题要根据条件

写出已知，求作和作法，让学生自

己试着写出来。

6.在黑板上写出规范的已知求作

和作法，给学生一个示范，以便使

学生的语言简练、表达清楚。让学

生同桌俩人互相检查批改，在此过

程中提高对已知求作和作法的认

识，加深理解。

7.组织学生讨论：为什么所作的

直线就是已知线段的垂直平分线？

与同学交流。

作业：

P27,1、2、3、

板书设计：

1.到一条线段两个端

点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上

n2sli一.攵他也而人阳A

课题1.3、线段的垂直平分线（二）课新授课

型

1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边

教学目与底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。知道为

标什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。

2.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证

明意识和能力。

教学重

作已知线段的垂直平分线。

点

教学难

理解三线共点的证明方法。

点

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、线段垂直平分线的性质定理

1.让学生拿出课前准备好的纸片1.在老师示范之后，大多数学生都

三角形，先折一条边作示范，然后顺利地折出三角形三条边的垂直平

让学生用折叠的方法找出每条边分线。

的垂直平分线。2.仔细观察三角形的三条垂直平分

2.让学生观察：刚刚折出来的三线，思考它们之间的关系。在探索过

条垂直平分线有什么关系？让学生程中，可能从边的角度、也可能从角

自己经历探究的过程，不要直接给的角度猜想三条直线的关系，有的也

出答案或很有指向性的提示。注意到了三线共点的特点。

3.拿出圆规和直尺，作一个任意的

3.让学生暂且把折纸放在一边，三角形，比较熟练地作出三角形三条

拿出圆规和直尺，画：一个任意的边的垂直平分线。在作图的同时熟悉

三角形，并利用所学知识作出三角作已知线段垂直平分线的作法，作图

形三条边的垂直平分线。要注意提技能得到锻炼，加深对作已知线段垂

醒个别学生作图的方法和步骤，强直平分线的作法的理解。

调作图的要求，培养学生的作图技4.认真观察自己所作的三条垂直平

能。分线，图作的准确的学生比较容易观

4.让学生观察他们自己作出来的察到三条线交于一点，再结合折的三

三条垂直平分线有什么性质，然后条垂直平分线，又有类似的性质，因

对照纸折的三条垂直平分线，看这此提出猜想：三线交于一点。但图画

个性质是不是它们共有的?换句话得不太难确的学生，难以观察到这个

说，不管是什么样的三角形，它们结果。

的垂直平分线有没有什么共性?有5.听发言的同学的猜想和如何发现

的话，这个共性是什么？让学生提结论的过程，受到很大的启发。同时,

出猜想。也感受到一个准确的图形对于揭示

数学对象的性质、发现数学结论有很

5.让已经得出猜想的学生说出他大的帮助，在老师的要求下，对作图

们的猜想，并说明他们是怎么得到的必要性有了更深刻的认识。'

这个猜想的。在这时要注意表扬回

答问题的学生，肯定他的发现，向

学生强调：准确的图形由于直观地6.听讲，记下三角形三条边的垂直

揭示了数学对象阶性质，因此有利平分线的性质定理，思考如何对三线

于发现数学结论，而不准确的图形共点的猜想进行证明。但因为是初次

不利于发现数学结论，以此要求学接触这样抽象的证明，不知从哪里开

生认真画图，养成好的习惯。始证明。

6.肯定学生的发现；板书规范的7.受到老师的启发，一边画草图一

表达；提问：对于这个猜想，你能边思考这样证明是否正确。在验证思

用学过的知识采证明它吗?进一步路准确无误之后，思考怎么证明。联

渗透理性思考的意识，强调：只有想到上节课线段垂直平分线性质定

经过证明的猜想才能确定其是否理与其逆定理的同学，可以找到思路

正确。方法要逐步引导，不可操之过急。

7.启发学生思考：大家都知道两8.听同学口述证明的思路，并判断

条直线交于一点，要证明三条直线其是否正确，不能证明的学生受到启

相交于一点，是不是只要证明第三发，也许也可以给出证明。

条直线也通过这两条直线的交点9.两位同学到黑板上证明，其他同

即可？也就是说，只要能证明其中学在练习本上写出已知求证和证明。

两条直线的交点在另一条直线上因为已经经过了分析，绝大多数同学

即可。对这个证明可以顺利地写出来。

8.巡视之后，让基本可以证明的

学生口述其证明思路，其他同学看10.在老师讲解的同时规范自己的证

他的证明是否正确、严谨。明，对三线共点的证明方法有了比较

9.点评学生的回答，肯定其正确好的理解和认识。

性，修正不规范的地方。让两位学

生到黑板上画出图形，写出已知，

求证并证明，其他学生在练习本上

证明。让学生把思考落实到笔上。1.题目为进行作图的探索提供了空

10.参照黑板上两位学生的证明，间，对于这个有挑战性的题目，学生

带学生把证明的思路再整理一遍，很积极地思考、动手试验、展开讨论。

同时阐释三线共点的证明方法。，讨论过程中，可能会有不同的意见，

加深学生的认识，为以后的学习和在商讨中加深对问题的理解。

使用打下基础。

二、两个作图的问题2.非常积极地参与到评判讨论成果

1.让学生分组讨论：已知三角形的活动中，对作为裁判者感到自豪，

的一条边与这条边上的高，你能作在观看其他组的成果时，既可以看到

出三角形吗?如果能，能作几个?所自己的不足，又加深了对问题的认

作出的三角形都全等吗?让学生在识。由于老师对结论表达形式的要

讨论的过程中，思考并发表自己的求，对于数学美有了一点感性的认识

见解，让学生体验合作学习，培养和体验，有了一点追求数学美的意

学生用数学地思考和表达的能力。识。

分组时考虑到学生的搭配。3.受到表扬和鼓励后，有更大的积

2.让每组派一位代表说出小组的极性投入到数学学习中。

讨论结果，如果已经作出了图的

话，用投影仪展示给全班同学看，

让学生评判哪组的结果不但正确，4.因为这是刚才所讨论的问题的一

而且漂亮。以此调动学生地积极个特例，所以可以比较容易得到解

性，体现学生的主体地位，向学生答：可以作出两个等腰三角形，它们

渗透追求数学结果正确、简洁、和分别位于底边的两侧，是全等的等腰

谐的美的意识。三角形。

3.赞赏地肯定所有同学的表现，

表扬大家公认的作的好的组，让大5.动手画出这两个三角形，比较熟

家向他们学习，同时抓住其他小组练地使用直尺和圆规。

的优点予以鼓励，保护他们对数学

学习的热情。6.写出作法，说出理由。

4.综合学生的讨论结果，给出问

题的解答。同时，引导学生思考、

讨论另外几个问题：已知等腰三角

形的底边与底边上的高，你能用直

尺和圆规作出等腰三角形吗？能作1.经过刚才的探究和作图，很快地

几个?它们之完成任务。经过训练，对于作图有了

间有什么关系？很好的掌握。

5.让学生动手画出符合要求的三

角形，训练他们的作图技能，要注2.听讲，总结本节内容，记下作业。

意提醒学生正确使用直尺和圆规，

规范作图。

6.要求学生自己写出作法，同时

能说明理由。

三、已知底边与底边上的高，求作

等腰三角形

1、用投影仪出示题目：已知底边

与底边上的高，求作等腰三角形。

进一步训练学生的作图技能。应注

意要求学生根据题意写出已知和

求作、规范作图并能说明理由。

2.简单讲评，总结本节内容，布

置作业。

板书设计：

1.线段垂直平分线的

性质定理

2.两个作图的问题

课题1・4、角平分线（一）课新授课

型

1.要求学生掌握角平分线的性质定理与其逆定理——判定定

理，会用这两个定理解决一些简单问题。

教学目

2.理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

标

3.能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和

作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。

教学重角平分线性质定理与其逆定理。

点

教学难

掌握角平分线性质定理与其逆定理并进行证明。

点

教学方

法

教学后

记

教学内容与过程

教师活动学生活动

一、角平分线性质定理

1.让学生到黑板上画出他们收集1.积极踊跃地到黑板上画出自己收

到的日常生活中应用角平分线的集到的例子，并说出它们分别的作用

例子，并分别说出它们的作用。在哪里。

2.高度评价学生的参与热情和学