【理科】押全国卷第4题 计数原理（解析版）

高中数学精编资源押全国卷（理科）第4题计数原理从近年高考来看，计数原理是高考的一个重点内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数、排列和组合等知识.对于二项式定理,着重考查展开式的通项公式及二项式系数的性质应用等由于该部分试题内容比较抽象，解题方法比较灵活，答案数值往往较大，具有一定的灵活性和综合。对于排列组合知识,主要以实际应用问题的形式或作为概率的基础放在概率、统计内容中考查。1．熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.3．对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．4．二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Ceq\o\al(r,n)，而该项的系数是Ceq\o\al(r,n)an－rbr.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x)n，各项的系数与二项式系数是相等的．5．在解决排列、组合的应用题时，一定要清楚是先排列再组合，还是先组合再排列.1．（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.2．（2020·全国高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.3．（2020·全国高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．（2019·全国高考真题（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．6．（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.【答案】;.【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.7．（2020·海南高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.1．（2021·全国·高三专题练习）英因数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到(其中为自然对数的底数，，)，其拉格朗日余项是.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可.【详解】依题意得，即，，，所以的最小值是6.故选：B2．（2021·湖南·模拟预测）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人想把满足这种特殊要求的号买全，则他要花的钱数为（）A．3360 B．6720元 C．4320元 D．8640元【答案】D【分析】分三步，第一步先从01至10中选3个连续的号，再从11至20中选2个连续的号，然后从21至30中选1个号，最后从31至36中选1个号，由分步乘法计数原理求解.【详解】从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号共有10种选法；从31至36中选1个号共有6种选法，所以共有种选法，要花元．故选：D3.（2021·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（）A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二【答案】C【解析】，故它除以7的余数为，故经过7天后还是星期日，那么经过天后是星期一，故选：C．4.（2021.湖北高三）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“，，”猜想【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.5．（2022·上海·高三专题练习）在的展开式中，的系数为___________.【答案】90【分析】根据多项式乘积的意义，利用直接组合的方法进行计算即可.【详解】解：∵，∴含有的项为，即的系数为90，故答案为：90.6.（2021·北京高三模拟）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；所以李明需要配送的天数为，所以整个月李明不用去配送的天数是.故选：B.7.（2021年高考最后一卷理科数学）年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【解析】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列即可，有种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；不同的分析情况共有种．故选：A.8.（2021·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.9.（2021·陕西高三（理））若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）A．4095 B．4097 C．-4095 D．-4097【答案】C【解析】由展开式的通项公式为，所以一次项系数，二项式系数和，令，则所有项的系数和，所以.故选：C.10．（2021·河南（理））已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，令，解得，常数项为.在中，，令，解得，常数项为.所以，又因为，所以.故选：C11．（山东省临沂市沂水一中2021届高三二轮复习联考）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.12．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知，则=__________，=_____________．【答案】【解析】由题设，，则，即；对等式两边求导得：，∴当时，.故答案为：-240；013.（2021·江苏常州·高三期中）已知，则（）A．-2 B．-1 C．0 D．2【答案】B【分析】根据题意，分别令和，代入计算即可求解.【详解】根据题意，令，得，令，得，因此.故选：B.14．（2021·江苏海安·高三期中）“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)个隐藏款的概率最大，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由题意可得小明抽中个隐藏款的概率为，进而可得，解不等式组即可求出结果.【详解】由题意可得小明抽中个隐藏款的概率为，其中，要使得最大，只需要最大，则，即，则，又因为，则，故选：B.15．（2021·山西大附中模拟预测）关于多项式的展开式，下列结论不正确的是（）A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212C．存在常数项D．x3的系数为40【答案】A【分析】令，可以判断A；多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等,可判断选项B；利用通项公式可判断C，D.【详解】由题意令可得，各项系数之和为26，故A错误；多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，故令，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确；由，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有和，结合排列组合的性质可得x3的系数为，故D正确.故选：A1.（2021·福建福州·高三模拟）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有（）A．12种B．24种C．72种D．216种【答案】A【解析】分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得．【详解】先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．故选：A．2.（2021·安徽高三月考）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．【答案】420【解析】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．故答案为：420.3.（2021·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.【答案】198【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，故答案为：198.4.（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．13【答案】D【解析】由，∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，∴，当k=1时，m=13满足题意.故选：D5.（2021·高三专题练习）已知多项式，若，则正整数n的值为___________．【答案】5【解析】令，得，令，得，即，，显然，∴，又，∴，即，故．故答案为：5.6．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，即，因为是等差数列，所以．故选：D．7．（2021·全国高三专题练习）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．11 B．10 C．9 D．【答案】C【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，由题意知，所以，即，所以，故选：C.8．（2021江西省南昌市高三月考）南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．【答案】156【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，所以小李和小王不受限制的排法种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，所以小李和小不在一起的排法有种，故答案为：156.9．（2021·湖北·模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（）A．1140 B．3600 C．5040 D．6840【答案】C【分析】分两类：一类是有1人参加“微电影社团”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况；一类是无人参加“微电影社团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况，进而结合两个计数原理即可求出结果.【详解】可分两类：第一类，若有1人参加“微电影社团”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况，所以不同的参加方法种数为；第二类，若无人参加“微电影社团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况，所以不同的参加方法种数为．故不同的参加方法种数为，故选：C．10．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知正整数，若的展开式中不含x5的项，则n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根据题意要使展开式中不含项，即展开式中项和项的系数和为0，建立方程进行求解即可．【详解】解：展开式的通项公式为，则展开式中项的系数为，项的系数为，，要使展开式中不含的项，，即，即，又，所以，故选：C．11．（2021·河北·唐山市高三期中）若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.【详解】解：由已知条件可知为展开式中的系数，则.故选：C.12．（2021·重庆市杨家坪中学模拟预测）在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】A【分析】根据二项式的性质求得A，用特值法可求得B，C，再计算即可【详解】在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64，令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1，令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝＝＝﹣364，所以＝﹣＝﹣．故选：A．13．（2021·湖北·高三期末）若，则不正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，利用赋值法可判断各选项的正误.【详解】设，对于A选项，，A对；对于BC选项，，所以，，，B错，C对；对于D选项，，D对.故选：B.14．（2021·浙江·台州一中高三期中）已知的展开式中各项系数的和为，则________，该展开式中常数项为_____________.【答案】【分析】利用赋值法，令，可得各项系数和，进而可得的值，再利用通项公式求得特定项.【详解】令，可得，即，解得，，又的通项，，且，故该展开式中常数项为：，故答案为：，.15．（2021·广东实验中学模拟预测）展开式的项数为___________.【答案】17【分析】把转化为，利用二项式定理展开,可得通项为：，对分别取值进行计算，求出所有含的次数，即可求出结果.【详解】，展开式通项为：．通过通项可知：中含的次数为0；中含的次数为、；中含的次数为2、0、-2；中含的次数为3、1、-1、-3；中含的次数为4、2、0、-2、-4‘；中含的次数为5、3、1、-1、-3、-5；中含的次数为6、4、2、-2、-4、-6；中含的次数为7、5、3、1、-1、-3、-5、-7；中含的次数为8、6、4、2、0、-2、-4、-6、-8．由上可知：展开式含的次数为8、7、6、5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7、-8；故展开式的项数为17项．故答案为：17.16．（2021·全国·高三专题练习）四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面、平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂