2024年广东省深圳市第二高级中学高一上学期期末数学试题及答案

试题PAGE1试题2023-2024学年深圳市第二高级中学第一学段考试高一数学一、选择题：共8小题，每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“点在第一象限内”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知正数，满足，则的最小值为（）A.6 B.8 C.16 D.204.下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（）A B. C. D.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移6.已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，则有（）A. B.C. D.8.已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.为偶函数 B.最小正周期为，在区间单调递减C.最大值为2 D.图象关于直线对称11.下列选项正确的有（）A.“，”假命题，则B.函数的图象的对称中心是C.若存在反函数，且，则的图象必过点D.已知表示不超过x的最大整数，则函数值域为12.函数，以下正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若，且，则C.当时，在单调且在不单调，则.D.当时，若对任意的有成立，则的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，，则______________．14.已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________．15.函数在上单调递增，则k的取值范围为______________．16.已知，，则______________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为．（1）求的表达式，并求的值；（2）若，，求值.18.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集．19已知函数．（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的值．（2）求函数，的单调递减区间．20.已知函数，不等式解集为M，（1）设函数在上存在零点，求实数m的取值范围；（2）当时，函数（其中）的最小值为，求实数a的值．21.已知奇函数．（1）求a的值；（2）若对恒成立，求实数k的取值范围；（3）设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．22.已知函数，其中，.（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）若，，且在单调递增，求的最大值.

2023-2024学年深圳市第二高级中学第一学段考试高一数学一、选择题：共8小题，每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，解一个一元二次不等式和一个一元一次不等式即得集合，再利用集合的交集定义即得.【详解】由集合中不等式可解得：，即,由集合中函数有意义，可得：，，即，则.故选：D.2.已知，则“”是“点在第一象限内”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.【详解】若，则在第一或三象限，则或，则点在第一或三象限，若点在第一象限，则，则.故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.故选：B3.已知正数，满足，则的最小值为（）A.6 B.8 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.【详解】因正数，满足，则，当且仅当，即时取“=”，由及解得：，所以当时，取得最小值8.故选：B4.下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的增长快慢差异判断.【详解】解：因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数，对数函数，一次函数增长速度快，所以从足够长远角度看，使得公司获益最大的函数模型是，故选：A5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移【答案】BD【解析】【分析】直接根据平移规律逐项分析判断即可.【详解】对于A：向右平移，可得，故A错误；对于B：向右平移，可得，故B正确；对于C：向左平移，可得，故C错误；对于D：向右平移，可得，故D正确；故选：BD.6.已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式变形为，根据单调性就可以求出.【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减，又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得.故选：D7.已知，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将与比大小.【详解】，，因为在为增函数，所以，又，所以，故选：C8.已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点，据此即可求解.【详解】因为，所以或，因为关于x的方程有6个不同的实数根，所以的图象与直线和直线有6个不同的交点，如图的图象与直线有3个交点，所以只需的图象与直线有3个交点，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于因为，所以或，只需的图象与直线有3个交点的分析.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.【详解】对于A选项，，所以A正确；对于B选项，，所以B不正确；对于C选项，，所以C不正确；对于D选项，，所以D正确；故选：AD10.已知函数，则（）A.为偶函数 B.最小正周期为，在区间单调递减C.最大值为2 D.图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】先由，再利用函数的奇偶性定义判断.【详解】解：因为的定义域为，又，且，所以为偶函数，故A正确,的最大值为，故C错误；当时，，故的图象关于对称，故D正确.的最小正周期为，且当时，，结合余弦函数的单调性可得在上为减函数，故B正确，故选：ABD.11.下列选项正确的有（）A.“，”是假命题，则B.函数的图象的对称中心是C.若存在反函数，且，则的图象必过点D.已知表示不超过x的最大整数，则函数值域为【答案】BD【解析】【分析】转化为“”为真命题，结合二次函数的性质，可判定A不正确；根据函数图象变换，可得判定B正确；根据反函数的性质，可判定C错误；根据函数的新定义，可判定D正确.【详解】对于A中，由命题“”是假命题，可得命题“”为真命题，当时，恒成立，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为，所以A不正确；对于B中，函数的图象，可看成的图象向右平移1个单位长度得到，因为函数的对称中心为，所以函数的图象关于对称，所以B正确；对于C中，若存在反函数，且，可得，即函数过点，则函数的图象必过点，所以C错误；对于D中，已知表示不超过x的最大整数，当时，，则函数,在上此函数为单调递增函数，故其值域为，所以D正确.故选：BD.12.函数，以下正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.若，且，则C.当时，在单调且在不单调，则.D.当时，若对任意的有成立，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由函数周期公式可判断A；由题意得，结合函数周期公式可判断B；若在单调，则且，结合得，则，验证题设条件可判断C；由题意得，即，求得最小值可判断D.【详解】，，，故A错误；，又，且，，，，故B正确；当时，若在单调，则，且，，又，，则，由，得，此时在单调且在不单调，故C正确；当时，，又因为对任意的有成立，则，即，当时，取最小值，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，，则______________．【答案】##【解析】【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解.【详解】解：因为，，所以，，故答案为：14.已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由角的终边上有一点P的坐标是，可得，则.故答案为：.15.函数在上单调递增，则k的取值范围为______________．【答案】【解析】【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解.【详解】若，则在上单调递增，所以函数在上单调递增，符合题意；若，则函数在上单调递增，符合题意；若，则在上单调递减，在上单调递增，则，解得；综上所述：k的取值范围为.故答案为：.16.已知，，则______________．【答案】【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和三角恒等变换求解.【详解】解：因，，所以，，，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为．（1）求的表达式，并求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合任意角三角函数的定义分析求解；（2）由题意可得，结合同角三角关系运算求解.【小问1详解】因为锐角的终边与单位圆交于点，则，可知，又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，所以，可得.【小问2详解】若，，则，所以.18.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解；（2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解.【小问1详解】若，则，由题意可得：，所以.【小问2详解】由（1）可知：，若时，令，即，解得或（舍去）；若时，令，即，解得或（舍去）；综上所述：不等式的解集为.19.已知函数．（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的值．（2）求函数，的单调递减区间．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意整理可得，结合正弦函数的最值分析求解；（2）根据题意整理可得，结合正弦函数的单调性分析求解.【小问1详解】由题意可得：，所以当，即时，取到最大值；当，即时，取到最小值.【小问2详解】因为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.20.已知函数，不等式解集为M，（1）设函数在上存在零点，求实数m的取值范围；（2）当时，函数（其中）的最小值为，求实数a的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据指数函数单调性解得，进而根据函数单调性以及零点存在性定理分析求解；（2）换元令，可得在内的最小值为，结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】因为，则，解得，即，又因为，且在内单调递增，则在内单调递增，若函数在上存在零点，则，解得，所以实数m取值范围.【小问2详解】因为，令，由可知，可知在内的最小值为，且的图象开口向上，对称性，可得，解得，即实数a的值为1.21.已知为奇函数．（1）求a的值；（2）若对恒成立，求实数k的取值范围；（3）设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义分析求解；（2）由题意可得，换元令，结合对勾函数的最值分析求解；（3）由题意可知：，根据指数型函数以及正弦型函数的最值分析求解.【小问1详解】因为为奇函数，且定义域为，则，解得，此时，可得，所以为奇函数，即符合题意.【小问2详解】若对恒成立，即，整理得，可知，令，由可知，且，可得