1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

2021/6/2711.定义域和值域正弦函数定义域：R值域：[-1，1]时，取最大值1；时，取最小值－1；正弦函数的图象2021/6/2721.定义域和值域余弦函数定义域：R值域：[-1，1]余弦函数的图象时，取得最大值1.时，取得最小值-1.2021/6/2732.周期性

7思考1：观察上图,正弦曲线每相隔

个单位重复出现..y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π其理论依据是什么？诱导公式：2021/6/274

f(x+2kπ)=f(x)

这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。

我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？2021/6/275思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.

2021/6/276思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？4

答：周期函数的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.2021/6/277【最小正周期】

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c为常数）否所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数.2021/6/278

思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？

根据上述定义，我们有

正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.类似地，余弦函数的周期性是什么样的呢？

余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.2021/6/279例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;

即3cos(x+2π)=

∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π【解】⑴∵y=cosx的周期为，所以自变量x只要并且至少需要增长到x+,余弦函数的值才会重复取得.3cosx2021/6/2710⑵y=sin2x,x∈R;

解:令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=.即变量z只要并且至少要增加到z+

，函数值才能重复取得，而z+

=2x+

=

2（x+

）故变量x只要并且至少要增加到x+

，函数值就能重复取得，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.2021/6/2711⑶y=2sin(-),x∈R;

所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为解：令，那么x∈R必须并且只要z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=

，由于。所以自变量z只要并且至少要增加到z+

，函数值才能重复取得，即T=2021/6/2712

由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

仅与自变量的系数有关函数，令

，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z∈R的T=.即变量z只要并且至少要增加到z+

，函数值才能重复取得，而z+==

故变量x只要并且至少要增加到x+

，函数值就能重复取得，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.2021/6/2713一般地，三角函数如果函数的周期是T，那么函数的周期是的周期：的周期：2021/6/2714解：例2：试判断函数

是否为周期函数？周期为2021/6/2715三角函数周期的主要求法1、定义法：2、公式法：3、图象法2021/6/2716正弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？3.奇偶性正弦曲线关于原点O对称奇函数余弦曲线关于y轴对称偶函数2021/6/27173.奇偶性为奇函数为偶函数思考：能否从奇偶性定义出发，证明这个判断的正确性？2021/6/2718判断奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.首先检查其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性；如果不是，就是非奇非偶函数.2021/6/2719正弦函数的图象对称轴：对称中心：2021/6/2720余弦函数的图象对称轴：对称中心：2021/6/2721例题

求

函数的对称轴和对称中心解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为2021/6/2722

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

…

0...

...

...-1010-14.正弦函数的单调性y=sinx增区间为，其值从-1增大到1减区间为，其值从1减小到-12021/6/2723

4.余弦函数的单调性

y=cosx(xR)增区间为减区间为yxo--1234-2-31

其值从-1增大到1其值从1减小到-12021/6/2724思考：

正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法正确吗？不正确。正弦函数在每个闭区间上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数。余弦函数在每个闭区间上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数。2021/6/2725正弦函数的最大值和最小值5.最大值和最小值正弦函数当且仅当x=____________时取得最大值1，当且仅当x=___________时取得最小值-1；2021/6/2726余弦函数的最大值和最小值5.最大值和最小值余弦函数当且仅当x=____________时取得最大值1，当且仅当x=___________时取得最小值-1；2021/6/2727例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？2021/6/2728使函数取得最大值的x集合,就是使函数取得最大值的x的集合解：使函数取得最小值的x集合,就是使函数取得最小值的x的集合函数的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=02021/6/2729使函数取得最大值的x的集合是

同理，使函数取得最小值的x的集合是

2021/6/2730分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，