应用经济学专业《微观经济学》练习册参考复习资料

应用经济学专业《微观经济学》练习参考答案

(内部使用，请勿外传)

林善浪

第一部分消费

1、帮新公司打算投资5万元做广告推销某新产品，市场调查表明最可能购买这一新产品的消费者是技

术员和经理。丁•是营销科长决定在《大众技术》和《当代管理》两份杂志上刊登广告。己知：

(1)在《当代管理》上登一则广告，耗费5000元，而在《大众技术》上，耗费为2500元。

(2)《当代管理》上的广合约有1000个经理读者及300个技术员读者。

(3)《大众技术》上的广合约有300个技术员读者及250个经理读者。

(4)没有人同时阅读两本余志。

请你替营销科长画一条预算曲线，表示在给定预算条件下两种读者数量的不同组合。

2、某学生对学习和体育运动的偏好呈同心圆。他最喜欢的H程安排是每周50小时学习，10小时运动。

现在他每周学习60小时，运动8小时。如果让他学习45小时，运动14小时，他会不会感到更愉快一些

3、甜甜喜欢吃蛋糕和冰淇淋。但吃/10块蛋糕之后，她便感到厌腻，更多的蛋糕会使她讨厌。而冰

淇淋则是多多益善。

(1)甜甜的父母规定她必须把盘里的东西全部吃完“请画出她对盛有•不同数量蛋稳及冰淋淋的盘子的无

差异曲线。

(2)如果家长允许她留下大想吃的食物，她的无差异曲线又是怎样

4、杰克只消费汉堡包和啤酒，汉堡包2美元一个，啤酒1美元一听。他的收入为每周60美元，但他

得交付10美元的个人所得税。请画出杰克的关于汉堡包和啤酒的预算曲线。

(1)政府决定取消个人所得税，代之以每听1美元的啤酒销隹税。这样，啤酒的价格升为2美元1听。

如果杰克的收入及汉堡包的价格都没变，画出杰克的预算曲线。

(2)由于啤酒销伶税，杰克的啤酒消费减少为每周20听。政府从杰克那儿收到多少税

(3)政府决定对啤酒和汉堡包征收及其价格成同样比例的销铛税，并使税收等于征收1美元啤酒税时的

税收［问题(2)的答案］。假定税率全部转嫁到价格之中，而杰克的收入仍为60美元。画出他的预算曲线。

(4)对杰克来说，新的税制是否比光收啤酒税好些

5、''三只手”有两只左手，一只右手。

(1)画出“三只手”对左右手套的无差异曲线。

(2)我们称两只左手套、一只右手套为一“副”手套，并用拥有多少副手套来表示“三只手”的效用水

平。以R(L)表示右(左)手套数，写出“三只手”的效用函数。

(3)如果L>2R,多一只左手套会增加多少效用

(4)如果L<2R,多一只左手套会增加多少效用

6、下列变换哪些是单调递增变换

(l)V=-17Uo

(2)V=logUo

(3)V=-e-Uo

(4)V=-1/Uo

7、某乙的偏好可用U(x”xj=min{x1+2x2,2xi+x》来描述,画出他的无差异曲线。

8、某甲的效用函数为uG,为=x(y+2),x、y是商品X、Y的消费量。如果X、Y的价格分别为八和P”

证明某甲的最优选择(x,y)满足(y+2)/x=P、/P*

9、某甲消费商品X,Y,Z,他的效用函数为U(.%)，,Z)=给定三种商品的价格分别为

P,、P,、P”，他的收入为I,请写出某甲对此三种商品的需求函数,

10、张三和李四的效用函数分别为Uz(x“xj=x什4及UL(Xux2)=(x1+l)(x2+l).商品1的供应是离散的，

即Xi=0,1,2,…。已知Pi=Pz=l,收入MQP1,分别写出张三、李四对商品1的保守价格(保守价格是消

费者为某商品所愿支付的最高价格)。

11、老胡是个集邮迷。除了吃饭，他将所有的钱全花在集邮上。他的效用函数是U(s,t)=s+ln/\

其中，s代表邮票数量，I代表食物数量。

(1)导出老胡对饮食和邮票的需求函数，假设其价格分别为R,P”老胡的收入为I。

(2)当1＞巴时，老胡对饮食的需求的价格弹性是多少

(3)老胡的老伴抱怨说，老胡将所增加的收入全部花在邮票上。如果DP“她的抱怨是否有根据

(4)当1＜匕时，老胡对饮食及邮票的需求如何

12、老甲对X的需求函数为x(P“Py,1)=(21)/(5Px)o已知他的收入1=1000元，P,=20元。当已从5

元降为4元时，老甲对x的需求量有什么变化

(1)在新的价格下，老甲耍购买跟以前相同数量的两种商品，他的收入该是多少在新的收入水平下，他

对X的需求是多少

(2)需求变动中，哪一部分是替代效应哪一部分是收入效应

13、吴聊将所有的收入全花在“红双喜”和“绍兴黄”上。我们知道，吴聊的偏好是凸的，而烟、酒

对他则是多多益善。在下列各情形中，请你说说这些商品是否是正常品、低劣品或吉芬品。(注意：你也许

没有足够的信息来作出判断；以下各例也许相互不一致。)

(1)吴聊在街头寻找半根烟的时候，拾到他原先丢失的一张10元钞票，他立即去买了10元钱的"绍兴

黄二

(2)吴聊后来又丢失了6元钱，他决定卖掉他所剩下的“绍兴黄”，而把得到的钱全部花在“红双喜”

上。

(3)“绍兴黄”涨价了，吴聊决定少买一些‘'红双喜"。

(4)“红双喜”降价50%。吴聊对“红双喜”的消跋下降了5%,而用省下的钱买了更多的“绍兴黄”。

(5)在寻找其丢失的6元钱时，吴聊意外地发现了一瓶过去买的、几乎没喝过的“绍兴黄”，他一饮而

尽，但并不改变原定的购买计划。

张三有一块白留地用于种植青椒和西红柿v他总是用1:1的比例消费这两种蔬菜“某一星期，他

收获了25千克青椒，5千克西红柿。当时两种茯菜的价格是每千克5元。

(1)张三收获的货币价值是多少他的最优消费计划应该卖掉什么，卖掉多少买进什么，买进多少

(2)如果西红柿价格升为：5元，他收获的货币价值是多少他的最优消费如何

(3)如果张三的收入及其在问题(1)中的收入完全一样，而西红柿的价格为15元，他的最优消费如何

(4)从(D到(2),张三对西红柿的需求变化为多少请分解出替代效应和通常意义的收入效应。因为张三

拥有实物而不是•定的收入，所以价格变化的收入效应及给定收入的情况不同。请分析拥有实物情况下的

收入效应。

(5)图示以上解答。

15、某商品需求函数的价格弹性恒为-L已知当价格为10元时，需求量为6000,请写出该需求函数。

16、需求函数q(p)=(p+a)b,其中，a〉0,b＜-l.写出价格为P时需求的价格弹性。在什么价格下该

弹性为T

17、约翰消费面包和牛奶。在英国面包为0.4英镑一条，牛必为0.4英镑一罐。约翰每周有4英镑的

收入，他消费6罐牛奶，4条面包。杰克在美国，他也消费面包和牛奶。在美国，面包为0.5美元一条，

牛奶为2美元一罐。杰克每周有15美元的收入。

(1)如果约翰和杰克具有相同的偏好，杰克的处境是否比约翰好为什么

(2)假定约翰和杰克的收入如前，两地的价格也如前。又假定约翰的消费不变。给出适当的消费组合来

说明杰克的偏好及约翰不•样。

18、在t期,价格为(PJ,PJ),而消费者的最优选择为(x「,x；)0在s期,价格和最优选择分别为(PJ,

P力和(x「,x；).真正的生活成本指数应该是在t期为达到S期的效用水平所需要的钱，除以在S期的开支，

xX"

即M(p/，p；,xj,x2')/(p/.x+p2«X2),其中M(p;，p2',xj,xj)表示在价格为(pj,P2')时为达到(xj,x2")

所提供的效用至少需要的钱。如果我们用价格指数L=(pJ-x/+p；・xJ)/Sh「+pJ・X2”)作为一种近似，它

比真正的生活成本指数大还是小？

19、根据下面的描述,画出消费者的无差异曲线。对于(2)和(3)题，写出效用函数。

(1)王力喜欢喝汽水x,但是厌恶吃冰棍y。

(2)李楠既喜欢喝汽水x又喜欢吃冰棍y,但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。

(3)萧峰自个习惯，他每喝•杯汽水x就要吃两根冰棍y,当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。

(4)杨琳对于有无汽水x喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍yo

(1)

<2)斜率为2/3

<3)虚线斜率为2

(4)Y

2

20、某小个消费者的效用函数为U(xi,x；.)=xtx2o令R,

Pz及m分别表示就品1的价格、商品2的价格及收入，

(1)如果m为24,Pi为1,已为1,现在R上升为2,

求此消费者关于蔽品1的斯拉茨基替代效应和收入效应。

(2)请一根据计算，验证恩格尔加总规则。

(1)——求该能费者的马歇尔需求函数：

MaxU(xi,X2)=XI2XZ；

图杨

37-4s.t.piXi+p”产m;

用拉格朗日方程求得(参见《微一现代观点》P84)：

Slutsky替代效应:

(2)Engel加总规则即工t*2=1,其中s,为商品i消费总额占总支出的比例,M为商品

i的需求收入弹性,

题(1)中

7*?4=^=|，同样求得S2=1

X1===8,则占消费总金额为8*2=16,

3*22433

82+111

而且可求得ni=n2=h故2力*7/=—*1-*=

/■I

21、某丁厂目前每年消耗燃料约为50万元.该厂经理考虑以下二个节能方案：方案甲的成本为50万

元，一经实施，可以使燃料消耗永远节省15%。方案乙的成本为90万元，一经实施，可以使燃料消耗永

远节省20%。方案丙采用太阳能，其成本为1090万元。一经实施，该厂从此将不必使用任何燃料。

(1)假定年利息率永远为一0%,燃料价格也永不改变，该厂将采用哪个方案

(2)假定年利息率永远为5%,其他情况如问题(1),该厂将采用哪个方案

(3)假定燃料价格每年上涨5%,而利息率总是10%,哪个方案将被采用

22、卜.列命题是否正确为什么并以图示说明你的回答。

(1)如果现时消费和天来消费均为正常品，那么利息率的提高必然使净储蓄者节省更多的钱，

⑵如果现时消费和天来消费均为正常品，利息率的提高必然使净储蓄者增加第二期的消费(未来

消费)。

23、某甲是借款人。如果利息率降低，他是否会变成贷款人这一变化使他的处境好些还是坏些

24、树木的市场价值及其年龄有关，并按公式WQ)=e°2-03/计算，其中t为年龄。已知银行年

利息率为5%。

(1)最佳伐木年龄为多大

(2)在什么年龄一棵树的市场价值最大

25、某消费者在任何条件下既不向人借钱又不贷钱给人，画出他的一些无差异曲线，并表明该消费者

的天赋财产。

26、外空有个星球，只存在两个时期，因而叫做两代星。该星上有两种生物，一种叫“老”，一种叫“少二

星球上的惟一食品为•种野果。每个“老”在第•期可以捡到h个野果，而在第二期则什么也捡不到「少”

则相反，他们在第一期一无所有，而在第二期每个“少”则可捡到k个野果。星球上，有“个“老”，N2

个“少二所有生物的效用函数都一样，均为U(C„C2)=c.r?\其中，G、C?为第一、第二期所消费的野

果数，而OWaWl。

(1)我们以第一期的野果作为货币基准，即是说，第一期的一个野果价格为1。假定利息率为r,

分别写出“老”和“少”的预算方程式。

(2)如果利息率为r,“老”和“少”在两个不同时期对野果的需求各为多少

(3)证明，如果NEd,那么使第一期总需求等于总供给的利息率也必然使第二期的供求相

等。这时利息率跟什么有关

(4)在-一般均衡条件二，每个时期的总需求等于总供应。请算出两代星上的均衡利息率

⑸如果a=l/2,均衡利息率跟什么有关如果a=l/2,N尸%,I产I2,均衡利息率为多少?

27、环城有100个居民。居民沿城而居，每人各有左、右邻居•一个。居民们都喜欢吃大蒜，但讨厌其

气味。由于地势原因，该城的风总是从左到右环城流动。因此，每个居民只受到来自左邻的大蒜味的影响。

假设每个居民的效用函数相同，都是U(c,r)=c-r2,其中，C是居民自己的大蒜消钳量，r是左邻的大蒜

消费量。

(D每人每天消费1头大蒜，每人的效用水平如何

(2)假如每个居民的大蒜消费量相同，最优的消费量是多少

(3)每人每天有1头大蒜"相邻居民间可以协商再分配或销毁一些大蒜v相邻两居民是否能通过这种

协商改善各自的效用

(4)相邻三人能否共同改善效用至少要多少人合作才能使所在参及者都获利

28、闻雷和文静都爱看电视，他们决定去买个旧电视机。闻雷的效用函数为UKS,M.)=(1+S)M,,文

静的效用函数为U」(S,%)=(2+S)V；,其中M,和此分别代表闻雷和文静用于其他消费的货币量，S=0表示

不买电视机，S=1表示买电视机。已知闻雷有百元，文静有M元。

(1)闻雷和文静对旧电视机的保留价格为多少

(2)如果旧电视机的价格为50元，在怎样的(W,WJ条件下，买电视机对两人来说都比不买为好月阴影

在跖一瓦平面上标出这些包,W.,).

29、1.有两种商品,xl和x2,价格分别为pl和p2,收入为m。当一之七时，政府加数量税t,画出

预算集并写出预算线。

当项2阳时，加数量税3画出预算集并写出预算线

侦算集：P内+。2*2《机........(％|—-^1)

30、重新描述中国粮价改革

(1)假设没有任何市场干预，中国的粮价为每斤0。4元，每人收入为100元。把粮食消费量计为x,

在其它商品上的开支为y,写出预算线，并画图。

(2)假设每人得到30尸粮票，nJ"以凭票以0。2元的价格买粮食，再写预算约束，画图。

(3)假设取消粮票，补贴每人6元钱，写预算约束并画图。

(i)0.4x+y=100

0.2x+y=100...........if..x<30

(2)<

0.4x+y=106...........if..x>30

(3)0.4x4-y=106

31、对下列效用函数推导对商品1的需求函数，反需求函数，恩格尔曲线：在图上大致画出价格提供

曲线，收入提供曲线；说明商品一是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品，商品二及商品一是替代还

是互补关系。

⑵u=nin(X),2x2)

⑶〃=

(4)it=InX]+x2,

max{2x+x2}

(1)

s.tp丙+p2x2=m

m

ifPI<2〃2

Pi

商品一的需求函数为：*={[0——]ifP\=2P?

四

0ifPi>2P2

右图中，红色线为价格提供曲线.

,的收入提供曲线,当.v2P2时,是横轴

当〃I=2〃2时.是整个第一像阳

当Pl>2P2时,是纵轴

mm

ifx,>.

%2P2

反需求函数是：Pl=«2p,ifxe(0]

{2p,

[2p2,+oo)ifxx=0

恩格尔曲线：如果"<2〃2那么恩格尔曲线是：X=—

Pi

如果〃]=2p,那么恩格尔曲线是一个柱面：％G（0,-^-],Vm

2P2

如果Piv2P2那么恩格尔曲线是：X]=0,V〃z

xl是正常品（normal,相对■于劣等品而言），是一股商品（ordinary,相对于Giffen品而言）

x2是替代品（其实是完全瞽代品）

max{min(x，2G)}

st.plxl+p2x2=m

2m

xl需求函数：=---------其中是自变量

2Pl+〃2

m2.m

xl的反需求函数是：二一一"ifX}<——

X2p2

Xl的恩格尔曲线：玉=—0二/〃一其中,m是自变量,

2〃1+外

〃1，〃2是参数•

।2/77

右上图中红色线（%<4竺）是价格提供曲

P1

线

右下图中绿线是收入提供曲线.x=-x

221

XI是normalgood,ordinarygood,andsupplementary

goodforx2.

（求最大化的过程同第8题,这里从略）

xi的需求函数：%=———（其中〃为自变量i,反需求函数：Pi=———

（a+bm~I/（〃+/?）』

nn\

恩格尔曲线：玉=——：——（其中m为自变量）

（a+b）pi

bin

右图中，红线为pl价格提供曲线，（为=----------）

（a+b）p2

兰线为收入提供曲线（注苣，这里收入提供曲线是直线）

xl是normalgood,ordinarygood,和x2没有总替代或互补关系.

最大化求解过程同第«题,这里略去.

XI的需求函数：当"2>p,时，xl的需求函数是：王二匹；当相4％时，xl的需求函数是:

P\

rn

PI

X1的反需求函数：当〃〃，X1的反需求函数是：/?!=—；当mWP2时,xl的反需求函数是:

A

m

P\=—

X

P1

ifni>p2

Pi

恩格尔曲线:

m

ifm<p2

〔Pi

右图中，红线为m>l时的pl价格提供曲线（x2=m-l）;

绿线为m<l时的p：价格提供曲线（x2=0）（假设p2=l）

蓝线为收入提供曲线

xl是normalgood,ordinarygood.

是x2的总替代品。.

32、一个人只消费粮食，第一期他得第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有

25%的损耗。他的效用函数为：W（CpC2）

件消洸J卜二2£2=？

1）如果粮食不可以拿至I市场卜

2）如果粮食可以拿到才场上交易，悔期用，是P=l,利息率r=l跌，问最佳僵钳

C；=?,C；=?

max11=c,c2

(1)maxG孙

s.t.c.+——=m.+——

1l+r11+r

maxu=qc2

⑵肛

1+r1+r

33、某消费者的效用函数为u(x,y)=xxy,x和y的价格都是1,他的收入为200。当x的价格涨

至2元时，计算消费者剩余的变化、补偿变换和等价变换。

:Cohb-Douglas效用函数下x,y的需求函数是：

x,夕价格是1,收入为200时：

消费者的效用M0=w(100,100)=10,000

＞的价格涨至2时：

消费者的效用w,=450,100)=5,000

X的价格从1涨至2时，消费者剩余的变化(Thelostconsumersurplus)是：

22

ACS=jx(p1,200)劭=J—^=KX)ln2«69.3

i।P

用。表示补偿变化(Compensatingvariation)有：

用£表示等价变化(Equivalentvariation)有:

34、证明当效用函数为拟线形时，消费者剩余的变化、补偿变换、等价变换都相等。

拟线性的效用可以表示成：〃(羽y)=v(x)+y

在预算约束PH+y=〃z(把y的价格标准化为1)下，假设内点解，》的反需求函数是:

pr=v\x),由此可见，*的需求及收入无关，在y的价格不变时有：x(/7v,l,w)=x(pv),

产的需求等于：y=m-pxx(px)

这时消费者的效用水平：〃=U[X(PK)]+〃Lp、x(pj

设不的价格从Px变化到,则消费者剩余变化(Thelostconsumersurplus)是：

设补偿变化为C有：

设等价变化为£有：

对比可见对于拟线性的效用函数ACS=C=E

35、求条件要素需求和成本函数

(1)y=0111(^,2X2)

y=x+

⑵]2X2

⑶y=

(1)y=min(xp2x2)

解：成本最小化的问题是:

显然，成本最小化要求％=2々=y，所以条件要素需求函数是:

%%，卬2,)')=)'

工2(小］

成本函数是:(7(%,叫，>)=(%+

(2)+2/

解：成本最小化的问题是:

条件要素需求函数是：

yif^!<y0if<y

0_yif"=一■(喝，卬，)二，0」

百(小，卬2，)')=<w2yif嵋=彳

2

o"吗》等zif>—

22'2

成本函数是：。(叫，卬2，y)=y・min(“,£)

⑶)'二个只

解：成本最小化的问题是：

MP}_ox：宕_ax2_卬1

最优条件：，MP2bXyX^'bx、w2,

.<-4=J

_b__1_

王(.，叫，y)=[1)“"•ya+b

bw.

解得：a।

x.(vv,,^,y)=(—

aw2

—1471

成本函数是：。(吗，卬”y)=(a+b)'(―•(―)«+^.

ab

36设一个消费者的直接效用函数为“=aIn%+如。求该消费者的间接效用函数。并

且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直

接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：(1)消费者的效用最大化问题为：

maxaIn+q2

&t.pM+p2g2=m

构造该问题的拉格朗日函数：

L=aIn%+%-AG-PM」叫力

拉格朗日函数对小,%和人分别求偏导得：

普=*-M=0①

--=1-g=0

即2

|^=y-Pi92-P2Q2=0

从①式和②式中消去人后得:

・api

=—

Pi

再把④式代入③式中得:

.，-呐

%="z-

P2

从而解得马歇尔需求函数为:

・ap2.y-api

91=-<72=——

P\P2

将商品1和2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:

v(pi,p1,y)=u(gf,g：)=aIn砒+y-a

PiP2

(2)让间接效用函数分别对p「必和y求偏导得：

生=-色包=色_4效=!_

MPi8P2p2p2dyp2

由罗尔恒等式，得到：

a工_色

.dv/dPiPiap_p：P2_y一叩2

(7.=———=--='2

dv/dy_1_P|

dv/dy_1_p2

PiP2

(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

37某个消费者的效用函数是与)=4必，商品1和2的价格分别是小和〃，此

消费者的收入为m,求马歇尔效用函数和支出函数。

解：(1)消费者的效用最大化问题为：

maxx\x2

s.t.pxxx+p2x2=m

构造该问题的拉格朗口函数：

L=X\X2-A(m-p,x,-p2x2)

拉格朗日函数对力，力和人分别求偏导得：

普=2/匕一加=0①

3A_

②

dx2

普

=m_pRj-p2x2=0③

从①式和②式中消去人后得：

_p/l

“2手④

把④式代入③式中得：

(，=券

WP\Pi,m)⑤

把⑤式代人④式中得：

工；3,Pi,m)=效⑥

⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

(2)消费者的支出最小化问题为:

nunp产］+p2x2

s.t.u(x),x2)=X?X2=u

构造该问题的拉格朗日函数：

L=Pi巧+P?必-A(u-)

拉格朗日函数对阳，町和人分别求偏导得：

1~=Pi-2AX,X=0

2(D

片〃…；=0

普一不2=0

从①式和②式中消去人后得:

Pi/

④

把④式代入③式中得:

於（警）

把⑤式代入④式中得到：

制嘀'

⑤式和⑥式就是商品1和2的希克斯需求函数。

把⑤式和⑥式代入目标函数式中就得到了支出函数：

“Pl，P”u）=PB：+P2%；=妻，2Plp2"

38考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依籁于其效用函数“二勺必，这里（勺，X2）O已知北京的物价为

（P；,P；）,上海的物价为（P：,P：）,并且P：P；=P：P：,但P；六。：”P；六P：又知广州的物价

为（P；,P；）=g（P；+P：）,/（P；+P：））e若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去

生活？

解：

老人的效用最大化问题为：

maxx,x2

s.Lp14t+pz3=m

构造该问题的拉格朗日函数：

乙=4|盯-A（PRI+PJX25）

拉格朗日函数对。，句和人分别求偏导得：

普f+M=o（D

OXj

普=*i+M=o②

dL6

7T=Pl*l+P2*2-m③

从①式和②式中消去人后得:

盯=吧④

Pl

把④式代入③式中得到：

#i（p,m）=若⑤

卬1

把⑤式代人④式中得到：

“P，m）噬⑥

把⑤式和⑥式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数;

2

P"…福

于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：

mm

v=------

"。=4嬴”碗'4p；p；

因为P；P；=P：P；所以巩=。。

又因为p；p；,包产,G\,VPT*4f=p；p；=P：P：,所以外<心。

综合上述分析可知：老人可能会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

39设某消费者的间接效用函数为八P-pitm）=m/p；p：-“这里0<a<l。什么是该

消费者对物品1的希克斯需求函数？

答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为

“Pi,%,m）==%，从中反解出m关于〃，pz和”的表达式，并用u替换乙就得到了

PiPi

消费者的支出函数：

e（p,u）=up；pj°

根据谢波特引理,可知物品1的希克斯需求函数为：

,z、ae（p,“）a（即;p；°）iPi\la

h,（p,u）=~1-=---;------=au-I

~明api\PJ

40令斯拉茨基公式中右端第一项（空）为打,与叫做。与X/的净替代效应。对于效用

函数“=*；与，证明：$l/l+力加2=0

证明：(】)本题的结论可以推广到几种商品的情况，即耳上勾=0,下面来证明:

预算约束等式Np£("，m)=小两边关于0求导得到：

Gdx.(p.m)8Xj(p,m)

(D

根据斯勒茨基方程：

d*j(p,m)dh,(p,m)dx,(p,m)..,.

------=；Xi-----；-------t,；=1»2,-n

dpj--------dpj---------'dm

把上面的等式代人①式中,就有：

y(dMpjn)_dxXpjn)\+x+(如山/).㈣(R也)=o

if*；'Bp：，dm)'八dPj，dm)

整理得：

ka%(p,m)dx(p,m)

“F-一喑p，Fi-f=。

由于=i(这是古诺加总规则的结论)，将此式代入②中，就有:

号dm

vaAj(p,m)

ZPi一■不一二0

片明

即：

=o

i■i

(2)下面对效用函数U=x\x2来证明5HpiW2P2=0：

由”二片盯和预算约束Pl*l+P2*2三人得到盯，町的需求函数:

ryy

1

-(1+r)pi"L(I+r)p2

由此可以得到间接效用函数：

，I♦，

“p,r)=77,%,，

(l+r)P1P2

从上式中可以反解出消疣者的支出函数：

e(P，〃)=(~)［等广

由谢波特引理和力的定义，得到

=一号(5),J七网七

因此力出+外必=°。

41证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：

(l)“(w)=(w+a)”,aNO,0</J<1

(2)“(w)=w

(3)“(w)=)n(w+a),a>0

(4)口(w)-w3

答：所谓递减的风险规避行为是说随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减

弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。

(1)因为“'=6(卬+。尸“，uw=/3(/3-l)(w+a/-2

所以工(卬)=-%孚二=—-=一，1(卬)关于财富卬求导得：

6(w+a)w+aw-¥a

*・(卬)=〒咛甯<0

(w+a)

所以该效用函数显示出递减的风险规避行为。

(2)因为疗=1,/=0,所以匕(w)=O,这就意味着*.(跖)=三9书日0,因此该

(w+a)

效用函数不显示出递减的风险规避行为。

(3)因为“'=▲，/=_『!』.所以刈卬)=上匕(卬)关于财富卬求导得：

卬+a(w+a)w+a

R'<w>=-7-7-~77<0

(w+a)

因此该效用函数显示出递减的风险规避行为。

(4)因为口’=3卬=U*=6W,所以R.(W)=-2,凡(w)关于财富昭求导得：

W

2

A'.(w)=-?>0

w

因此，该效用函数呈现风险爱好的行为。

43一个消费者具有VNM效用函数，他面临四种结局：A、B、C、Do其偏好序为A>

B>C>DO试验显示，他认为B=0.4A+0.6D,C=0.2B+0.8D(这里的等号表示“无建

异”)。清对A、B、C、D四种结局构造出一组VNM效用值0

答：用Q,b,c,d分别表示A.B,C,D四种结局带给消费者的效用，则B=0.4A+

0.6D就意味着：

6=0.4a+0.6d①

C=0.2B+0HD就意味着：

c=0.26+0.8d=0.08。+0.92d②

由于：

a>b>c>d③

把①、②两式代入中③中就会发现：只要a>6,那么①、②两式就和③相容，因此

对任意的而这四种结局可以构造如下效用函数：

u(4)=au(B)=0.4a+0.6du(c)=0.08a+0.92du(D)=d

44一个人具有期望效用函数，其效用函数原形是“(w)=加w。他有机会参与掷硬币，

头面向上的概率均为打。如果他下赌注x元(XNO),若头面向上，他会拥有w+x；反之，

若背面向上，则他只拥有w-八请解出其作为"的函数的最优赌注x・。当"=什么

是他的关于X的最佳选择？

解：(1)对于消费者而言，最优的赌注就意味者在此赌注下，他的期望效用达到最大。

所以消费者对最优赌注的选择可以归结为如下优化问题：

max7rln(w+x)+(1-n)\n(w-x)

对上式求导，就有：’

_=_2wir-w-x①

w+xw-x(u>+x)(w-X)U

解得x*=2nw-w.

下面分两种情况讨论①式：

①如果0三万<),那