2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第5讲　导数中函数的构造问题原卷版

第5讲导数中函数的构造问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】导数型构造函数 2【考点二】构造函数比较大小 3【专题精练】 5考情分析：导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．4．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．考点突破考点突破【考点一】导数型构造函数一、单选题1．（2023·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（

）A． B．C．的最大值为0 D．当时，4．（2023·湖北·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·山东威海·一模）若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为.6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是．四、解答题7．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．(1)求a的取值范围；(2)证明：．8．（2023·湖北武汉·二模）已知函数，其中．(1)证明：恒有唯一零点；(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．规律方法：(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(4)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,enx).【考点二】构造函数比较大小一、单选题1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东·二模）已知，，，则（参考数据：）（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆·一模）已知m，n关于x方程的两个根，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·福建龙岩·模拟预测）设，则的大小关系为.（从小到大顺序排）6．（2023·山西·模拟预测）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是．四、解答题7．（2023高三·全国·专题练习）已知，函数有两个零点，记为，．(1)证明：．(2)对于，若存在，使得，试比较与的大小．8．（2023高三·全国·专题练习）设函数的两个零点是，求证：．规律方法：构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．专题精练专题精练一、单选题1．（2022·广东汕头·一模）已知，，，则以下不等式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·福建厦门·期末）已知定义在上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足且为偶函数.为奇函数，若，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．8．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）若函数的定义域为，其导函数为，满足恒成立，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（

）A．1 B．e C．e2 D．3e三、填空题12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为.13．（2022高三·全国·专题练习）如果，那么的取值范围是．14．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是．四、解答题15．（2