2025年高考数学二轮复习 专项训练8 恒成立问题与能成立问题（原卷版）

2025二轮复习专项训练8恒成立问题与能成立问题[考情分析]恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．【练前疑难讲解】一、恒成立问题(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．(3)判断含x，lnx，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x0＝及ex≥x＋1，lnx≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号．二、能成立问题(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)不等式能成立问题的解题关键点一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东广州·一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（

）A．若关于的方程在上无解，则B．存在关于直线对称C．若存在关于轴对称，则D．若存在满足，则三、填空题5．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是．四、解答题7．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【基础保分训练】一、单选题1．（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2．（2021·四川泸州·模拟预测）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则5．（2021·山东菏泽·一模）对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在(0,+∞)上恒成立，则6．（2022·河北·模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（

）A． B． C． D．2三、填空题7．（2023·河北保定·一模）已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为．8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足，则的值为．9．（2023·山西·二模）已知，，且满足，则．四、解答题10．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.11．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：当时，.12．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知，求的最大值与最小值；（2）若关于x的不等式存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.【能力提升训练】一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（

）A． B．4 C． D．82．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2025·广东·一模）已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当x>0时，，则下列说法正确的是（）A．B．在上单调递增，在上单调递减C．若，则D．若是在内的两个零点，且，则5．（2023·全国·模拟预测）已知，恒成立，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．恒成立 D．的最大值为6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.8．（2022高三·全国·专题练习）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：．9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为．四、解答题10．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前