2025年高考数学二轮复习 专项训练21 计数原理与概率（原卷版）

2025二轮复习专项训练21计数原理与概率[考情分析]1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下.2.高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率及古典概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题中均有出现，难度中等偏下．【练前疑难讲解】一、排列与组合问题1．两个计数原理(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．2．解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．二、二项式定理1．二项式定理的常用结论(1)(a－b)n＝Ceq\o\al(0,n)an－Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n)bn.(2)(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn.2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．三、概率1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的样本点,试验的样本点总数).2．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．4．若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．5．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)·P(B|Ai)．一、单选题1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（

）A．24 B．25 C．48 D．494．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（

）A． B．240 C．60 D．二、多选题5．（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（

）A． B．C． D．6．（23-24高三上·湖北·阶段练习）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（

）A．与是互斥事件 B．C． D．三、填空题7．（21-22高三上·山东·开学考试）设，则除以9所得的余数为．8．（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【基础保分训练】一、单选题1．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（

）个．A．24 B．30 C．36 D．603．（2024·山东日照·一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（

）A．9种 B．36种 C．38种 D．45种4．（2024·辽宁大连·一模）将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（

）A．12种 B．18种 C．36种 D．54种5．（2024·广东·模拟预测）若，则（）A．6 B．16 C．26 D．366．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（

）A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年7．（2024·海南海口·模拟预测）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（

）A． B． C． D．8．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（

）A． B． C． D．9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（

）A．0.2 B．0.05 C． D．10．（2024·辽宁·二模）某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（

）A． B．C． D．12．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（

）A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法13．（2024·江西·二模）在的展开式中（

）A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大C．所有项系数之和为 D．不含常数项14．（2024·山东青岛·三模）某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量（万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量（万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6记“产销率”年新能源电车产量的中位数为，则（

）A．B．2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C．从2015-2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为D．从2015-2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于的概率为三、填空题15．（2024·浙江·二模）某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.（用数字作答）16．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是种.(用数字作答)17．（23-24高三上·湖南张家界·阶段练习）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有种分配方法（用数字作答）；18．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中的常数项为240，则．【能力提升训练】一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（

）A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种2．（22-23高三上·全国·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（

）种站排方式．A．672 B．864 C．936 D．10564．（2023·广东茂名·二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（

）A．180种 B．210种 C．240种 D．360种6．（2024·辽宁大连·一模）（

）A． B． C． D．7．（2024·重庆·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余.记为.若，，则的值可以是（

）A．14 B．15 C．16 D．178．（2024·辽宁抚顺·一模）若的展开式中含项的系数为10，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（22-23高二下·江苏南通·期中）已知随机事件，满足，，，则（

）A． B． C． D．10．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．.B．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.12．（2024·广东佛山·一模）有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（

）A．第25百分位数不变的概率是B．极差不变的概率是C．平均值变大的概率是D．方差变大的概率是13．（2024·云南·模拟预测）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为B．第二次抽到蓝色球的概率为C．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子D．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种14．（2024·全国·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod6）.若，a≡b（mod10），则b的值可以是（

）.A．2019 B．2023 C．2029 D．203315．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（

）A． B．C．事件与事件相互独立 D．三、填空题16．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同