全国统考高考数学复习-不等式满分限时练

不等式不等式在高考当中的考查主要是作为选考内容，考查的重点为不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等，有时也会作为工具应用在解题当中，总体而言难度不大．一、选择题．1．若a，b∈R，则“a+b>4”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a+b>4时，假设a，b都不大于2，即a≤2，b≤2，则a+b≤4，这与a+b>4矛盾，所以“a+b>4”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件；但是，当a，b至少有一个大于2，如a=3，b=1，a+b=4，所以“a+b>4”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件，故选A．【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含．2．（多选）若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A． B．C．， D．【答案】ABC【解析】因为0<x<y<1，所以0<xy<1，，所以，所以，故A正确；因为0<x<y<1，所以x>0>x−y，所以ex因为0<x<y<1，所以0<xn<因为0<x<y<1，所以0<logxy所以logxy故选ABC．【点评】本题主要考了均值不等式的使用条件，属于基础题．二、填空题．3．若x，y满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】14【解析】由线性约束条件作出可行域如图，由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点A时，取得最大值，由，可得，所以，所以，故答案为14．【点评】线性规划求最值的常见类型．（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．三、解答题．4．已知函数f(x)=|2x|+|x−1|，（1）求的解集；（2）若f(x)=kx有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（1）或；（2）2<k<3．【解析】（I），得或或，解得或，所以的解集是或．（2）问题转化为与有两个交点，由图易知：，，∴koA<k<k【点评】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1．直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．5．已知函数f(x)=|x+a|+|2x−3|．（1）当时，求f(x)的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小值为；（2）．【解析】（1）当时，，由解析式可知，f(x)在−∞，−1和上单调递减，且在x=−1在上单调递增，故f(x)在处取得最小值，且，所以f(x)的最小值为．（2）∵x∈[a，2a−2]又x∈[a，2a−2]，，2x−3>0∴f(x)≤即a≤−2x+8在x∈令y=−2x+8在x∈[a，∴a≤−4a+12，解得，综上，a的取值范围为．【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥fx恒成立(a≥fxmax即可)或a≤f②数形结合(图象在y=gx上方即可)；③讨论最值fxmin或6．已知函数，记f(x)最小值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且．求证：．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，；当时，；当时，．所以f(x)最小值为．（2）由题得a2．【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法．要根据已知条件灵活选择合适的方法证明．7．设不等式∣|x+1|−|x−1|∣<2（1）求集合A；（2）若a，b，【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，令，由|f(x)|<2，得，即．（2）要证，只需证1−abc>|ab−c∣只需，只需证1−a2只需证1−a由a，b，c∈A，得a综上，．【点评】本题第二问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为1−abc>|ab−c分解因式，再利用（1）的结论证明．8．已知函数f(x)=2x+1+4x−5（1）求M；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=2M，求：(a+1)【答案】（1）；（2）3．【解析】（1），如图所示：，∴．（2）由（1）知a+b+c=7，∴(a+1)+(b−2)+(c−3)=(a+1)∴(a+b+c)−42∴7−42∴(a+1)2+(b−2)2+(c−3)2∴(a+1)【点评】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题．9．已知函数．（1）解不等式；（2）若f(x)的最大值为m，且a+2b+c=m，其中a0，b0，c>3，求【答案】（1）；（2）4．【解析】（1），，故或或，，故不等式的解集为．（2）由题意知f(x)的最大值为6，故a+2b+c=6，