云南省昆明市第九中学2025届高三上学期10月质量监测数学试题

机密★启用前2024-2025学年上学期10月质量监测高三年级数学试题卷（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知复数，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】计算出后结合模长定义即可得.【详解】，则.故选：A.2.某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据题意设参加各类活动学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，则，，设三项都参加的人数为，则，因为所以由，得，解得，即三项都参加的人数为5人，故选：D3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可.【详解】因为，，，所以.故选：D.4.已知正方形的边长为，，，则的值为（）A.6 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标，则，，，，，，．故选：C．5.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得.【详解】如图，设点在底面的射影为点，因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，连接，设球的半径为，则，由正弦定理，解得，在中，，则，在中，由，解得，则球的表面积为.故选：B.6.中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下（不含中国香港､中国台湾）：中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数届数第27届第28届第29届第30届第31届第32届届数代码123456地点2000年悉尼2004年雅典2008年北京2012年伦敦2016年里约热内卢2021年东京金牌数283248382638根据以上数据，建立关于的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第33届（2024年巴黎奥运会）中国体育代表团金牌总数为（）（精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：）；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.A.29 B.33 C.37 D.45【答案】C【解析】【分析】先求出，然后由回归直线的方程公式求出方程，预测2024年对应代入回归方程即可求解.【详解】，，所以，所以关于的线性回归方程为.2024年对应，代入回归方程得，故选：C.7.已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解.【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，所以，故，又，故，故选：B.8.已知方程，的根分别为，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】得到，，构造，故，求导得到其单调递增，故，求出.【详解】由题意得，，令，则，又恒成立，故在R上单调递增，故，所以.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（）A.与垂直 B.与平面C.与所成的角为 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、D正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得C．【详解】对A：连接，，则交于，又为中点，可得，由平面，平面，可得，故，故A正确；对B：连接，，由正方体性质可知平面，可得平面，故B正确；对C：与所成角就是，连接，由正方体性质可知，即为等边三角形，故，即与所成的角为，故C错误；对D：由，平面，平面，故平面，故D正确．故选：ABD．10.已知数列是公比为2的等比数列，且，则下列结论正确的是（）A.若是等比数列，则公比为B.是公比为2的等比数列C.D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】依题意有，则an中奇数项和偶数项分别构成公比为2的等比数列，可判断BC选项，若an是等比数列，求出公比判断A选项，由已知条件求an的通项判断D【详解】数列是公比为2的等比数列，且，得，则，因为，则，且.若an是等比数列，则，故，所以公比，A错误；由，故，即，故是公比为2的等比数列，B正确；同理，数列是公比为2的等比数列，由，则，C正确；由，则，设为偶数，则，同理设为奇数，则，所以，D正确，故选：BCD.11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.点在曲线上B.点在上，则C.点在椭圆上，若，则D.过作轴的垂线交于两点，则【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确，对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误，对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确，对选项D，设，根据勾股定理得到，再解方程即可判断D正确.【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，且成等比数列，可得，即，解得，所以数列的通项公式为.故答案为：.13.自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________.【答案】6【解析】【分析】根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果．【详解】因为为弱值，则与上一次的强值3计算得为强值，与上一次的弱值计算得为弱值，与上一次的强值计算得为强值，与上一次的弱值计算得，故.故答案为：.14.已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______.【答案】##【解析】【分析】设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】由，可化为，则圆心，设圆的半径为且，则，当时，的最大值为，不妨取直线的方程为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得，又由，可得，解得.故答案为：.四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点.（1）若为的中点，且，求；（2）若平分，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为为中点，所以CD=12CA+CB，两边平方可得，即可解得（2）由平分，则，由，利用三角形的面积公式可求得，进而可求得的面积.【小问1详解】在中，，因为为的中点，所以CD=12两边平方得，则，解得.【小问2详解】因为平分，所以，又，所以，解得，所以.16.在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.（1）求证：；（2）若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点；（2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可.【小问1详解】如图，连接，，因为为母线，所以,又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以是的中点，即.【小问2详解】如下图，作，，.设到的距离为，则到的距离为.设，则有，，，，，因为，所以.因为平面，所以到平面的距离即是到平面的距离，即.所以，解得.所以.17.已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在R上是增函数，求实数取值范围；（3）如果函数有两个不同的极值点，证明：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案.（2）将函数在R上是增函数，转化为在R上恒成立，利用参变量分离转化成在R上恒成立，利用导数求的最小值即可.（3）由已知可得是的两个根，再构造函数并利用导数求出最小值即可.【小问1详解】函数，求导得，则，由的图象在处的切线方程为，得，，所以.【小问2详解】由函数在R上是增函数，得恒成立，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，则，所以实数取值范围是.【小问3详解】依题意，函数，求导得，由是的两个不同的极值点，得有两个不同的实根，令，求导得，当时，恒成立，则函数在R上单调递增，至多一个零点，不符合要求；当时，由，得，由，得，即函数在上递减，在上递增，，而当时，，当时，，因此要有两个零点，当且仅当，解得，所以.18.羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲､乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.（1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；（2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率；（3）用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）（3）.【解析】【分析】（1）由题意得的所有可取值为，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再用期望公式求出即可；（2）设第一局比赛甲获胜为事件，由（1）知，，利用全概率公式求解即可；（3）利用独立事件的概率乘法公式求解.【小问1详解】依题意，所有可取值为.设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，所以，，.所以的分布列为012故的数学期望为.【小问2详解】设第一局比赛甲获胜为事件，则，由（1）知，，由全概率公式得：，即，解得，所以.【小问3详解】.由（2）知，估计每一局甲获胜的概率均为，设甲获胜时比赛的总局数为，因为每一局比赛的结果相互独立，所以，，故该场比赛甲获胜的概率为.19.已知双曲线的离心率为，右焦点为.（1）求的方程；（2）设动直线与双曲线有且只有一个公共点（第一象限），且与直线相交于点.①证明：；②设为坐标原点，求面积的最小值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（2）①联立直线的方程和双曲线的方程，由此求得点坐标，求得点坐标，利用向量数量积的坐标运算证得.②先求得三角形面积的表达式，然后导