空间向量法解决立体几何探索性问题 教学设计

空间向量法解决立体几何探索性问题【教学目标】1.体会直线方向向量和平面法向量的作用，感悟向量是研究立体几何问题的工具.2.掌握用向量法解决空间中位置关系探索性问题的一般思路3.会用空间向量法分析和解决立体几何中简单的有关平行、垂直位置关系的探索性问题【教学重难点】1.教学重点：用向量表示空间图形基本要素及关系；用向量方法解决空间中位置关系的探索性问题2.教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，恰当引入参数建立方程，将立体几何问题转化为向量问题的化归思想【教学过程】复习回顾问题1：如何用向量表示空间中的平行关系？问题2：如何用向量表示空间中的垂直关系？【设计意图】通过复习前面所学知识，引入本节新课，建立新旧知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。2．引入新课问题3：如何利用向量法解决与平行、垂直有关的探索性问题呢？【答案】一般先假设所求的点存在，设定参数表示已知条件，根据题目进行向量运算求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点，否则不存在。【设计意图】提出本节课解决的问题及一般思路，引入新课3.典例分析题型一平行关系中的动点探究例1.如图，长方体中，，，，线段B1C上是否存在一点P，使得A1P∥平面ACD1【分析】根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示。如果点P存在，那么就有n.=0，由此通过向量的坐标运算可得结果。【思考】如何用坐标表示向量A1P？由于点P在线段B1C上，利用向量共线定理，可写出向量A1P的坐标.解（1）因为长方体，所以，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：因为A，C，D1的坐标分别为A(3D1(0，0，2)，所以设平面的法向量为，则，解得设线段上存在点使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即为线段中点时，平面.【设计意图】通过例题，提高学生分析和解决问题的能力，提高学生的推理能力，规范解答过程.问题3：本例若直接设点P的坐标，坐标表示向量的过程会有什么变化？设点P(x,y,z),则=(x−3，y−4，z−2)，=(−3，0，−2)因为点P在线段BC1上，所以//，P满足=λ(0≤λ≤1),即(x−3，y−4，z−2)=(−3λ，0，−2λ)所以P(3−3λ，4，2−2λ）=(−3λ，4，−2λ)若动点所在直线与坐标轴共线，可直接设出点的坐标；若动点在面内的直线上，则依据：根据平面向量共线定理—若，使得，用一个参数表示所求点的坐标【设计意图】通过典例分析，了解解决空间向量法解决与平行有关的探索性问题的一般思路，提高学生的推理能力，运算能力和转化思想。题型二垂直关系中的动点探究如图,在长方体中，AB=2，BC=CC1＝1.线段CD上是否存在一点E，使得A1E⊥平面AB1D1，若存在，求DE的长；若不存在，请说明理由。【分析】先根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向和平面AB1D1的法向量；利用点Ｅ的特殊位置,引入参数，设出点Ｅ的坐标；通过向量的坐标运算可得结果【设计意图】通过典例分析，学习解决空间向量法解决与垂直有关的探索性问题的一般步骤，提高学生的推理能力，运算能力，渗透数形结合和转化与化归的数学思想。巩固练习（教材P31练习2）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE//CF？规律小结立体几何中的动点的存在性问题通常使用坐标法来进行解答，此方法不需要复杂的作图推理及论证，只需要通过坐标运算进行判断。解题策略：先假设满足条件的点存在，把要成立的结论当做条件，此列方程（组），解方程（组），把点是否存在问题转化为点的坐标是否在规定范围内有解问题。3.课堂小结问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．知识方面

学习了如何用向量法解决立体几何探索性问题

思想方法转化与化归

空间中直线、平面间的位置关系转化为直线的方向向量与平面的法向量间的关系.

数形结合

借助图形建立合适的空间直角坐标系，建立空间图形与向量的联系.方程思想引入参数，将存在性探究问题，转化为方程或方程组是否有限定范围解的问题.

经验

引入参数时，尽量减少参数个数可以简化计算；若点在坐标轴等特殊位置，可直接设点的坐标；若点在直线上，可利用向量共线引入参数.探索线面位置关系的存在性问题利用空间向量坐标法解决立体几何的位置关系探索性问题一般思路：（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。（2）假设所成的点或参数存在，用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。动点的设法（减少变量数量）在解决探索性问题中点的存在性，经常需要设出点的坐标，而(x,