导数法研究含参函数的单调性 教学设计

导数法研究含参函数的单调性一、教材分析导数法研究函数单调性是人教A版选择性必修第二册第五章第三节的内容.本节课内容是安排在函数单调性、函数的极值与最大（小）值之后，它是函数导数单调性的应用，蕴含了分类讨论的思想.学生学情分析1.学生已具备的能力：学生已掌握函数的单调性；已学过用导数法研究不含参函数的单调性；具备一定归纳推理、分析问题、转化问题的能力.2.学生面临的困难：学生对含参函数求导后的变形、通分、因式分解等；对分类讨论时如何确定分类标准、如何展开分类讨论等问题存在较大困难.教学目标设置1.了解函数单调性与导函数的关系，能利用导函数研究函数的单调性.2.能利用导函数的图象特征对参数进行分类讨论，掌握分类标准，体会数形结合的思想方法.四、教学重点与难点重点：能利用导数研究函数的单调性.难点：能利用导数研含究函数的单调性，掌握分类讨论及转化的数学思想方法.五、教学过程设计环节一复习巩固，引入新知问题1:函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递增;在某个区间上,如果,那么函数在区间上单调递减.问题2：判断函数的单调区间的步骤是什么？第1步,确定函数的定义域；第2步,求出导函数的零点；第3步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各个区间上的正负，由此得到函数在定义域内的单调性.【设计意图】通过问题引导学生回顾判断函数的单调性与导数正负的关系，用导数判断单调性的方法步骤，构建知识网络，注意易错遗漏点.环节二主动思考，探究新知在前面，我们复习了利用导数判断函数单调性的方法以及具体函数单调性的判断，那么对于含有参数的函数，其单调性又该如何研究呢？这就是我们本节课要讨论的重点——导数法研究含参函数的单调性.思考：求下列函数的单调性(1)(2)环节三数形结合，例题讲解例1已知函数，讨论的单调性；解：函数的定义域为，对求导,导函数为①当时，恒成立,所以在上单调递增;②当时，当时,,当时,.所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减；在上单调递增.【设计意图】通过对含有参数并且含有的函数的单调性的求解分析，熟练掌握这一类问题的解题思路和解决方法，并且学会分类讨论的分类标准，总结出解决这类问题的一般步骤.例2已知函数，讨论的单调性.解：（1）函数的定义域为,导函数为，则，①当，即时，，在上单调递增；②当，即时，令，方程有两根：在各个区间的正负,以及的单调性如表所示+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故在，上单调递增，在上单调递减.综上可得,当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减.【设计意图】确定导数正负的二次式不能因式分解，在学生已经逐步熟悉解题步骤时，让学生尝试去因式分解，发现做不到，从而引导学生思考探索新的解决问题的方法.培养学生勤于思考、勇于探索的精神.例3已知函数,讨论的单调性.解：函数的定义域为,对函数求导得令，得，其中.①当时，即,,所以在上单调递减.②当时，即，令,解得,且（ⅰ）当时,，当时，,所以在上单调递减.（ⅱ）当时,,当上或时,;当时,.所以在开区间和开区间上单调递减；在开区间上单调递增.综上所述,当时，在上单调递减;,当时,在和上单调递减.所以在上单调递增.例4已知函数讨论的单调性.解:（1）函数的定义域为，对函数求导，得①若时，,令则，即,当时,故在区间单调递增；当时,故在区间单调递减.②若时，则,，（ⅰ）当时,,当，或时,;当时,;所以在区间和上单调递增；在上单调递减;(ⅱ)当时,,,所以在R上单调递增.(ⅲ)当时,,当,或时,.当时,;所以函数在和上单调递增,在区间上单调递减.图7图7综上所述，当时,在区间上单调递增；在区间上单调递减；当时,在区间和上单调递增；在区间上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在区间和上单调递增;在区间上单调递减.【设计意图】讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，得出函数的单调性.环节四回顾总结，方法提炼知识小结：利用导数法判断含参函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求出导函数的零点；（3）利用因式分解或判别式等方法讨论函数是否有零点以及零点的分布情况（注意定义域）；（4）判断导函数在各个区间的正负并下结论.2.思想方法：在学习过程中逐步