新教材高中数学第二章三角恒等变换23简单的三角恒等变换第3课时辅助角公式导学案

第3课时辅助角公式教材要点要点辅助角公式asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋其中cosφ＝aa2+b2，sinφ状元随笔利用辅助角公式可以把形如y＝asinα＋bcosα的函数，转化为一个角的一种三角函数形式，便于后面求三角函数的最小正周期、最值、单调区间等．基础自测1.sinπ12＋cosπA．32B．C．64D．2．函数y＝3sinx＋cosx的周期为________，最大值是________．3．函数y＝asinx＋bcosx(a，b均为正数)的最小值________．题型1利用辅助角公式化简例1化简下列各式：(1)y＝－12sinx－32cos(2)y＝6sinx＋2cosx．方法归纳两角和与差的正弦公式的逆用是辅助角公式的一种特殊情形．跟踪训练1化简下列各式：(1)sinx－3cosx；(2)24sinπ4-题型2利用辅助角研究三角函数的性质例2(1)已知函数f(x)＝sinx＋acosx，当x＝π4时，f(x)取得最大值，则aA．－3B．－1C．1D．3(2)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sin2x.①求函数f(x)的单调递减区间；②当x∈-π3，π12方法归纳(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝π4处取到最大值，则fx+A．奇函数B．偶函数C．关于点(π，0)中心对称D．关于x＝π2(2)已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m(m∈R)．①求f(x)的最小正周期；②求f(x)的单调递增区间．课堂十分钟1．函数f(x)＝sinx－2cosx的最大值为()A．1B．3C．5D．32．将函数f(x)＝3sin2x＋acos2x(a≠0)的图象向右平移π6后关于点(π12，0)对称，则A．33C．3D．33．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(2，2)，a·b＝85A．－35B．－C．35D．4．化简：cosx＋sinx＝________．5．求函数f(x)＝3sinx＋cosx的周期、最值、最值点．第3课时辅助角公式新知初探·课前预习[基础自测]1．解析：sinπ12＋cosπ12＝222sinπ12+22cos答案：B2．解析：因为y＝3sinx＋cosx＝2sinx+π6，所以周期答案：2π23．解析：y＝asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋答案：－a题型探究·课堂解透例1解析：(1)y＝－12sinx+32cos(2)6sinx＋2cosx＝2232sinx+跟踪训练1解析：(1)sinx－3cosx＝1+＝2sin＝2sinx-(2)24sinπ4＝2＝24×2＝2＝22sin＝22sin7例2解析：(1)由题设，f(x)＝1+a2sin(x＋φ)且tanφ＝∵x＝π4时，f(x∴sinπ4+φ＝1，即π4＋φ＝2kπ＋π2，故φ＝2kπ＋π∴tanφ＝a＝1.(2)①因为f(x)＝3sin2x＋1－cos2x＝2sin2x-令π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，解得π3＋kπ≤x≤所以函数f(x)的单调减区间为π3+kπ，②∵x∈-π3，π12，∴2x∈-2π利用正弦函数的图象与性质知sin2x-∴2sin2x-所以f(x)的值域为[－1，1].答案：(1)C(2)见解析跟踪训练2解析：(1)因为f(x)＝asinx－bcosx在x＝π4即f(x)＝a2+b2sin(x－φ)，其中tan则sinπ4所以φ＝2kπ－π4，k∈Z所以f(x)＝a2+b则fx+π4＝a2+b2sin(2)①因为f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m＝3sin2x＋cos2x＋m＋1＝2sin2x+π6＋所以f(x)的最小正周期T＝2π②由①知f(x)＝2sin2x+π6＋m＋1.又函数y＝sinx的单调递增区间为-π2+2k由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z.所以f(x答案：(1)B(2)见解析[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝sinx－2cosx＝555sinx-255cos所以当sin(x－θ)＝1时，f(x)取最大值5，答案：C2．解析：f(x)＝3sin2x＋acos2x＝a2+3sin(2x＋φ)，tanφ＝∵图象向右平移π6后关于点π∴g(x)＝fx-π6＝a2+3sin2x-π3∴φ＝π6，故tanφ＝3a3＝33答案：B3．解析：由a·b＝85，得2cosx＋2sinx＝8即22cosx＋22sinx＝45，所以cosxcosπ4＋sinxsin所以cosx-π4答案：D4．解析：根据两角和的正弦公式，可得：cosx＋sinx＝2·2＝2·sinπ4cos