2025届安徽合肥六校联盟高三年级上册期中考试数学试卷（含答案）

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考

高三年级数学试卷

(考试时间：120分钟满分：150分)

命题学校：合肥三中命题教师：蔡开根审题教师：孟凡慧

一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知命题p；a={x|三IW0},命题q：B={x\x-a<0},若命题p是命题q的必要不充分条件，则实

数a的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(―°°,1)D.(―0°,1]

2.已知集合A={x\y=7log05(2x-1)},B={yEZ\y=2sinx},则AnB=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1}D.{1}

3.已知Log5a=I，加=I，(|)c=5,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

4.已知函数y=/(%)是R上的奇函数，且当久20时，/(%)=x2+x,则当久V0时有()

A./(x)=x2+%B./(%)=—X2+xC./(x)=x2—xD./(%)=—%2—x

5.已知sin45-cos45=：,0e(0,71),则-注+cos。=()

225cos20-sin20

6.若函数/(%)=lg(?n%2一7nx+2)的定义域为R,则实数TH取值范围是()

A.［0,8)B.(8,+8)C.(0,8)D.(-8,0)u(8,+8)

7.已知函数;■(无)与/'(x)的图象如图所示，则函数y=餐()

A.在区间(-1,2)上是减函数

B.在区间(-|弓)上是减函数

(0,2)上是减函数

D.在区间(-1,1)上是减函数

8.定义：若函数y=/(%)在区间［a,6］上存在%i，*2(a<xr<x2<b),满足/''(xj="?力°),

f/0力=力a),则称函数丫=/(%)是在区间口切上的一个双中值函数.已知函数/Q)=/—是

D—CL5

区间[0,H上的双中值函数，则实数£的取值范围是(

A.36,B.26,C.23

.5‘5..5’5,S,5.

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二'多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位

置上.

9.已知奇函数/(久)的定义域为R,若/(久)=f(2-x),贝)

A./(0)=0B.f(x)的图象关于直线％=2对称

C./(%)=-/(%+4)D.f(x)的一个周期为4

10.函数f(x)满足/，G)<f(x),则正确的是()

A./(3)<e/(2)B.e/(0)</(I)

C.e2f(-D.e/(l)</(2)

11.已知x>0,y>0,2久+y=1,则()

A.4工+2〃的最小值为B.Zog2x+/og2y的最大值为一3

C.y-％-xy的最小值为一1D.胃|+=的最小值为:

x+2y+16

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(%)对任意%满足3/(%)-/(2-%)=4%,则/(%)=.

13.若函数/(%)=x2+ln(2+|%|),则使得/(2%+1)</(%-1)成立的X的取值范围是.

14.已知点4是函数y=21nx图象上的动点，点B是函数y=万图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为

M,则|2B|+|BM|的最小值为.

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)

已知函数/'(x)=6cosxsin(x—+j.

(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)若函数y=/(%)-a在%£醇刑存在零点，求实数a的取值范围.

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16.(本小题15分)

已知函数/'(x)=Inx+p

(1)讨论f。)的单调性;

(2)当a=1时，证明：当无N1时，%/(%)—ex-x+e<0.

17.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,己知里*=哗.

(1)求角B的值；

(2)若a=2,求△ABC的周长的取值范围.

18.(本小题17分)

r2

已知函数/'(x)=2lnx+-■—ax,aER

(1)若。=3,求f(x)的极值；

(2)设函数/'(尤)在x=t处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+8)上的单调增函数，求t

的值；

(3)函数f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合，若存在则求出a的

取值范围，若不存在则说明理由.

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19.（本小题17分）

在平面直角坐标系xOy中，利用公式广，=3+“⑦（其中a,b,c,d为常数），将点P（x,y）变换为点

y=c%+dy

的坐标，我们称该变换为线性变换，也称⑦为坐标变换公式，该变换公式①可由a,b,c,

d组成的正方形数表，唯一确定，我们将（:；）称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母4B,...

（1）在平面直角坐标系xOy中，将点P（3,4）绕原点。按逆时针旋转g得到点P'（到原点距离不变），求点P'

的坐标；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P（x,y）绕原点。按逆时针旋转a角得到点“（J）（到原点距

离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

（3）向量赤=（x,y）（称为行向量形式），也可以写成（；），这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式

（；）=（：：）（；），则川:卜二阶矩阵（"）与向量◎的乘积，

①可以表示为:设4是一个二阶

矩阵，m,元是平面上的任意两个向量，求证：A（m+n）=Am+An.

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合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考

高三年级数学参考答案

(考试时间：120分钟满分：150分)

命题学校：合肥三中命题教师：蔡开根审题教师：孟凡慧

一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B

5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】%+113.【答案】(—2,0)14.【答案】年

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)

解：(1)/(%)=6cosxsin(%—^)+|=6cosx(字sinx—|cos%)+|

l33V-31+cos2x3

=3v3sinxcosx—3coszx+]=-—sin2%—3x-----------Fq

—3(苧sin2x—|cos2%)=3sin(2%—.............................4分

所以函数/Xx)的最小正周期为T=g=n...............................................5分

令——+2/CTT<2.x——+2/CTT,k£Z,则——+kji4％+kTi,k£Z,

・•・函数/(%)的单调递增区间为卜看+k稀+时(fcez).................................7分

(2)令y=/(%)—a=0,即3sin(2x——a=0,则sin(2x-。)=1..................8分

y=/(%)-a在xe俵,||］存在零点，则方程sin伊-.=微在x€品粉上有解,.....10分

若%€七,招］时,则2久一(.［。,与］’可得sin(2x—弓)e［0,1］,........................11分

•••0<^<1,WO<a<3..........................................................12分

故实数a的取值范围是［0,3］...........................................................13分

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16.(本小题15分)

解：(1)由题意知/(%)的定义域为(0,+8),.............................................1分

.(久)=；一£=裳，..............................................................2分

当a<0时，/'(%)>。恒成立，所以/(%)在(0,+8)上单调递增;........................3分

当a>0时,令/'(%)=0,得％=a,..................................................4分

所以当％6(0,a)时，//(%)<0,/(%)单调递减，.......................................5分

当%W(a,+8)时,'(%)>0,/(%)单调递增..........................................6分

综上所述：当a40时，/(%)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，f(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增...........................7分

(2)证明：当a=l时，/(%)=Inx+p

令g(X)=—ex—x+e=x\nx—ex—x+e+1,则g'(%)=1nx—ex,..............8分

令九(%)=g'(x)=Inx—ex,则=--ex.........................................9分

因为％21,所以ex>e>1,

X

所以当无之1时，*(%)=：-e*<0恒成立，所以九(%)在［1,+8)上单调递减，............n分

即/(%)=Inx-e%在［1,+8)上单调递减,所以。(%)<，⑴=-e<0,

所以g(%)在［1,+8)上单调递减........................................................13分

所以g(x)<g⑴=0,即%/(%)—ex—%+e<0........................................15分

17.(本小题15分)

解：⑴因为喘普=罂,所以由正弦定理可得照=捻,2分

所以。2—ft2=y/~3ac—c2,BPa2+c2—b2=y/'3ac,...................................4分

V-3ac_V_3

所以cosB="与一"5分

2ac2

又B为锐角，所以8=?............................................................6分

o

(2)由⑴知4+(7=停所以C=芟—47分

由得^7=^7=~^=。，所以6=-^'c=~~T9分

sinXsinesmBsinAsinesin-r-sm力sinX

62

_12sinC,l+2sinC、,l+2s讥/+4)

所以aABC的周长a+b+c=2H—：一-+=ZnH--------=ZH------------

sinAsinAsinAsinA

高三年级数学参考答案第2页共5页

1+cosA+V_3sin?l1+cos力2cos2»

=2+^4+2+V-3=----------------T+2+y/~3

sin力C-xljii

2sm2cos2

COSTTI1f—

—j+2+yf3——+2+，12分

siri]tan.

(0<A<g0<Z<5"7r

由题意可得汆即{5n2所以•13分

0<C0<^-x32

\Z62

所纥所以缺

tan?e,1),........................・14分

所以1+2+y/~3e(3+y/~3,2+2A/-3))

tan,

所以△ABC的周长的取值范围为(3+，Z,2+2，Z).…15分

18.(本小题17分)

1

nX+X23X

212--

则尸(x)=l+x-3=(Iy-2)1分

令尸(x)=0,解得：^=1或％=2,列表如下:

X(0,1)1(1,2)2(2,+8)

/㈤+0—0+

f(X)7极大值极小值7

,"2分

5

由表可知，当久=1时，/(%)的极大值为f(l)=2-“•3分

当x=2时,f(%)的极小值为f(2)=21n2-4；“4分

77

(2)因为尸(%)=彳+%—a,所以/'(t)=工+t—a,.......................5分

一71

所以久=t处切线方程为y=(-+t—a)(%—t)+21nt+-12—at

,?i

整理得：y=g{x)=(-+t-CL)X+21nt--t2—2,..................…6分

设h(x)=f(x)-g(x),则：

121

/i(x)=f(x)—g(x)=21n%+-%2—(-+t)x—21nt+-12+2,

由题意可知，

h'(x)=康+久―q+1)》o在(0,+8)恒成立.................8分

因为九'(久)=-+x—(^+t)>2>/~2—+t),

高三年级数学参考答案第3页共5页

当且仅当x=2时，等号成立.......................................................9分

所以271—(|+t))0,解得t=/I；..................................................10分

(3)由(2)可知，曲线y=/(X)在x=t处切线方程为：

71

y—(―+t—CL)X+21nt———2,

假设存在符合题意的直线，设两个切点分别为。L/G)),(t2J(t2)),

仔+G_a=£+七2-a①

则：11以...........................................11分

——t^2—2—21nt2—2*22—2(?)

由(D式可得：11/2=2,代入②)式,则:21nti-]妤=21n，—刍，

22r

整理得：21n?-?+4=0,...........................................................13分

22t彳

、产]、1

设W=m,则21nm-m-\——=0,设0(m)=21nm—mH——，

2m\m

2

则d(rn)=--1-^2=<0,

,'mmz一mz叱0

所以"On)单调递减，

因为火1)=0,所以9(6)=0的解为t=1..............................................15分

2

即3t=1,解得

止匕时=2=V-2=J....................................................................16分

ti

所以不存在符合题意的两点，使得函数的图象在这两点处的切线重合.....................17分

19.(本小题17分)

解：(1)可求得OP=OP'=5,设NPOx=8,则cos。=|,sin0=.................1分

设点pa,y),/.pox=e+p

故x，=5cos(8+§=5Qcos0-^sin。)=|—2A/-3................................2分

y'=5sin(。+%=5Qsin0+亨cos。)=2+.....................................3分

所以P'(|—2门,2+容)......................................................4分

(2