2025年高考数学一轮复习：排列与组合

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第2节排列与组合

考试要求1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数

公式.2.能解决简单的实际问题.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.排列与组合的概念

名称定义

并按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个元素中

排列从附个不同元素中

取出机个元素的一个排列

取出加(利★〃)个兀

作为一组，叫做从〃个不同元素中取出机个元素

组合素

的一个组合

2.排列数与组合数

⑴从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出机个元素的排列数，用符号A野表示.

(2)从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出机个元素的组合数，用符号C2表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

〃!

⑴A伊一次九一1)(〃一2)…(〃-加+.

\n—m)!

公式Ann(n-1)(〃-2)…(n—m+1)n!

(2)C伊一A—।—./\,(n,

AmMm!加！(几一m)!

机©N*,且加W”).特别地C9=l

(1)0!=1；Al=〃！

性质

(2)C2=CQ"；CLCS+C修

［常用结论］

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类

时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避

免重复或遗漏.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()

(3)若组合式a=CT,则x=m成立.()

(4)5+1)!-77!=〃•“！.()

⑸衣：与=“仁1.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；

(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；

(3)若Cn=Cn,则x=m或n-m,故错误.

2.(选修三P37Tl(3)改编)安排6名歌手演出排序时，要求某歌手不是第一个出场,

也不是最后一个出场，则不同排法的种数是()

A.120B.240

C.480D.720

答案C

解析先考虑某歌手的位置不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有

4种位置可以选，共有Cl=4种结果，

剩下5人在5个不同位置，共有Ag=120种结果，

所以不同安排方法有&Ag=4X120=480(种).

3.某校开设A类选修课3门，5类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两

类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为.

答案30

解析分两种情况：(1M类选修课选1门，5类选修课选2门，有CgC3种不同的

选法；

（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，

有C3&种不同的选法.

不同的选法共有c£2+caa=18+12=30（种）.

4.若以=C，i+Cki（〃GN*）,则n=.

答案5

解析由C伊=C?a+CXi,所以C与=或，

又因为©俄=。》,所以“一2=3,即“=5.

考点突破•题型剖析

考点一排列问题

例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

⑵排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；

（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.

解⑴从7人中选5人排列，有A3=7X6X5X4X3=2520（种）.

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A3种方法，余下4人站后排，有A彳种方法,

共有A%A3=5040（种）.

（3）法一（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有Ag种排列方法，共

有5XAg=3600（种）.

法二（特殊位置优先法）左右两边位置可安排另6人中的两人，有A4种排法，其

他有Ag种排法，共有A必J=3600（种）.

（4）法一（特殊元素优先法）甲在最右边时，其他的可全排，有AR种方法；甲不在

最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A4种，而乙可排在除去最右边的位

置后剩下的5个中任选一个有A&种，其余人全排列，有AW种不同排法，共有

Ag+A&AgAg=3720（种）.

法二（间接法）7名学生全排列，有A彳种方法，其中甲在最左边时，有Ag种方法,

乙在最右边时，有Ag种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有

Ag种方法，故共有A彳-2Ag+Ag=3720（种）.

(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有滞=840(种).

感悟提升排列应用问题的分类与解法

对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进

行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件

的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

训练1(1)现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为

()

A.A?AgB.A《一A&A曰

C.A*D.Ai-A^

答案B

解析在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、

乙、丙三人不全相邻的方法数，即AS—A乳A?.

(2)(2023•苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第

一到第五名的名次(无并列名次).甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都

没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻从上述回答分析,

5人的名次不同的排列情况有种.

答案24

解析由题意甲乙两人名次为2,3或3,4,所以5人的名次不同的排列情况有

2XA&A§=24(种).

考点二组合问题

例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商

品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C%=561(种)，

•••某一种假货必须在内的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C久种或者C35—C%=d4=5984（种）.

某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CioC?5=2100（种）.

，恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

（4）选取2种假货有@00种，选取3种假货有CW种，共有选取方式CioC?5+C?5=

2100+455=2555（种）.

至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

（5）选取3种的总数为C55,选取3种假货有C15种，

因此共有选取方式d5-C?5=6545-455=6090（种）.

至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

感悟提升组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，

再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

⑵“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至

少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以

求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

训练2（1）（2023•安徽五校联盟质检）某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其

中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言

的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A.15B.30

C.35D.42

答案B

解析甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3

人共有C习种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C支4种，所以发言的3人

来自3家不同企业的可能情况共有GC』=30（种）.

⑵某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选

出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法

种数为种.

答案86

解析由题意，可分三类考虑：

第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为c4c?+dcU+d=3i；

第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为ac3+cr4+c?=34,

第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C3+C1C4+C3=2L

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.

考点三排列与组合的综合问题

角度1相邻与相间问题

例3⑴（2022.新高考n卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，

若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

答案B

解析先将丙和丁捆在一起有A夕种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A3种

排列方式，最后将甲插入中间两空，有C2种排列方式，所以不同的排列方式共有

A执支3=24（种）.

⑵某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出

顺序，则同类节目不相邻的排法种数是..

答案120

解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：”小品1,小品2,相声”“小品

1,相声，小品2”和“相声，小品1,小品2”.

对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有A支以3=

36（种）安排方法;

同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，

其形式为“□小品1□相声□小品2口”，有A3A?=48（种）安排方法，故共

有36+36+48=120（种）安排方法.

角度2分组、分配问题

例4按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？

⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.

解(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C&种选法；再从余下的5本中选2本有

CW种选法；最后余下3本全选有CW种方法，故共有C&CgC』=60种.

(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应

考虑再分配，共有C&C支执9=360种.

(3)无序均匀分组问题.共有盛等=15种.

(4)在(3)的基础上,还应考虑再分配,共有15A3=90种.

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合

总数除以A3即可，共有盘等1=15种.

(6)在(5)的基础上,还应考虑再分配,共有15Aq=90种.

感悟提升(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍

缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

(2)对于分堆与分配问题应注意三点

①处理分配问题要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆时要注意是否均匀.

训练3(1)某中学高三1班学生排练了6个节目进行演出，为了整体演出效果，甲

节目不排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，则演出顺序的编排方案有

()

A.360种B.400种

C.408种D.480种

答案C

解析若只考虑乙节目和丙节目不能排在一起，则有A3Ag=480(种)，若甲节目

排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，则有A§.A3=72(种)，所以甲节目不

排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，有480—72=408(种).

⑵将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有

种.（用数字作答）

答案1560

解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.

第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.不同的

分法共有一扇一=20（种）.

第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.

不同的分法共有峨•力=45（种）.

所以不同的分组方法共有20+45=65（种）.

然后把分好的4组书分给4个人，共有A才种分法，

所以不同的分法共有65XAk1560（种）.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田

里，其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在

两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）

A.12B.24

C.36D.48

答案B

解析因为A,3两型号的种子试种方法数为2X2=4,所以一共有4Aq=24（种）.

2.（2023・重庆检测）将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、

至多2人，则不同的安排方法有（）

A.90种B.120种

C.150种D.18种

答案A

解析由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班

中，则不同的安排方法有C?货C?•困=90（种）.

3.（2023•衡水模拟）同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A,B,C三人两两不相

邻，A和。是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有（）

A.24种B.48种

C.72种D.96种

答案C

解析根据题意分3步进行分析：

第一步，将除A,B,C之外的三人全排列，有A3=6（种）情况，

第二步，由于A,。必须相邻，则A必须安排在。相邻的两个空位中，有2种情

况，

第三步，将5,C安排在剩下的3个空位中，有A4=6（种）情况，

则共有6X2X6=72（种）不同的安排方法.

4.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿

者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（）

A.72种B.84种

C.96种D.124种

答案C

解析分为两步：第一步，选出的志愿者中无女生有Cl=4（种），有且仅有1名女

生有C4©=12（种）;

第二步：将3名志愿者分配到3项比赛中有A§=6（种）分配方案，

所以不同的选择方案共有（12+4）X6=96（种）.

5.（2023•青岛模拟）为调查新冠疫苗接种情况，需从甲、乙等5名志愿者中选取3

人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、乙2人至少有1人入选，则

不同的选派方法有（）

A.12种B.18种

C.36种D.54种

答案D

解析甲、乙2人只有1人入选，不同的选派方法有C£3A§=36（种）；

甲、乙2人都入选，不同的选派方法有C3dAW=18（种）.

所以不同的选派方法共有36+18=54（种）.

6.（2023•广州测试）把标号为1,2,3,4的四个小球放入标号为1,2,3,4的四

个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共

有（）

A.18种B.12种

C.9种D.6种

答案B

解析1号球和2号球都不放入1号盒子，则3号球和4号球必有一个放入1号

盒子，剩下的三个球全排列，所以不同的方法共有C》A1=2X6=12（种）.

7.（2023・沈阳模拟）现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要

求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（）

A.150种B.90种

C.60种D.80种

答案A

解析先将五名社区工作人员分成三组有两种情形：”3,1,1”和“2,2,1”，

再把三组社区工作人员分配到三个小区，则不同的分配方法有

,C5C3CI加、

A3A3A3150（种）.

8.（2023・南通调研）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：

①每位学生每天最多选择1项；②每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安

排表如下：

时间周一周二周三周四周五

课后音乐、阅读、口语、阅读、手工、阅读、口语、阅读、音乐、口语、

服务体育、编程编程、美术科技、体育体育、编程美术、科技

若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有（）

A.6种B.7种

C.12种D.14种

答案D

解析某学生在一周内选择了阅读、体育、编程3项，选择方案如下:

周一阅读、周三体育、周二或周四编程;

周一阅读、周四体育、周二编程；周二阅读、周一体育、周四编程;

周二阅读、周三体育、周一或周四编程；周二阅读、周四体育、周一编程;

周三阅读、周一体育、周二或周四编程;

周三阅读、周四体育、周一或周二编程；

周四阅读、周一体育、周二编程；

周四阅读、周三体育、周一或周二编程，共14种.

9.甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案

有种.

答案90

解析首先把6项工程平均分成三部分，即有线警种不同的方法，再分别分给

甲、乙、丙三家公司，有AW种不同的方法，所以不同的承包方案有盘等XAW=

90（种）.

10.用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的

四位数的个数为..

答案17

解析若四位数的千位数字为1,则均比2134小，若四位数的千位数字为2,则

2134最小，其他数都比2134大，故比2134大的四位数的个数为AM—A§—1=

17.

11.（2023•福州模拟）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种

数为.

答案24

解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两

人不相邻的坐法种数为Al=4X3X2=24.

12.（2023•济南十一校联考）某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个

村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有种.

答案14

解析法一第一步：将4人分成2组，有2类分法，一类是一组3人另一组1

人，另一类是每组均为2人，所以共有GC1+祟=4+3=7（种）分组方法.

第二步：将分好的2组分配到2个村，共有A3=2（种）分配方法.所以共有7X2=

14（种）不同的选派方式.

法二设2个村分别为A村和3村，则选派方式可分为三类：

①A村3人，3村1人，有C?C1=4（种）选派方式；

②A村2人，5村2人，有C支3=6（种）选派方式；

③A村1人，3村3人，有&C§=4（种）选派方式.

所以共有4+6+4=14（种）不同的选派方式.

【B级能力提升】

13.（2023•石家庄检测）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如图所

示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字：

比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全

部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数

字的三位数的个数为（）

A.8B.12

C.16D.20

和7、3和7、5和7,所以8根火柴棒全部放入题中表格，可表示无重复数字的

三位数的个数为CiA5X5=2O.

14.（2023•烟台测试）“碳中和”是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间

接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生

的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5

名专家分别到A,B,。三地指导“碳中和”工作，每位专家只去1个地方，且每

地至少派驻1名专家，则分派方法的种数