2025年高考数学一轮复习测试卷3（新高考专用）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷03（新高考专用）

测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

L（2023・河南周口,模拟预测）己知集合"={中尤-x注0},^={X|（X-G）2<4},若低㈣UN=R,则实

数。的取值范围为（）

A.[1,2]B.（1,2）

C.（-co,-2]u[5,+oo）D.（-00,-2）u（5,+oo）

2.（24-25高三上•贵州•开学考试）已知圆C:/+y2—4%—6y+4=0关于直线/:改—1对称，

则的最小值是（）

2a3b

A.2B.3C.6D.4

3.（2023•江苏连云港•模拟预测）如图，为某校数学社团用数学软件制作的"蚊香画法如下：在水平直线

上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC,然后以点2为圆心，A3为半径逆时针画圆弧交线段

的延长线于点。（第一段圆弧），再以点C为圆心，。为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再

以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧.……以此类推，当得到的"蚊香"恰好有8段圆弧时，"蚊香"的长度

为（）

逮

蚊香

A.14兀B.1871C.24兀D.30兀

4.（2024•四川•一模）函数=Lcos7U>（e*-e-x）,xe（-4,4）的图象大致为（）

二,

TTr

5.）

51

A.——B.——

99

6.（2021全国•模拟预测）E^a=log43,L=log53,c=log45,则（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

7.（2024•河南郑州•模拟预测）如图，在平面四边形ABC。中，若8c=2AB=4,AC=2币,AB±BD,

TT

NBCD=—,贝1」3£>=（）

4

A.6B.2C.2A/6-2A/2D.473-4

8.（2024•广东珠海•一模）若不等式灰+146-，-62对一切尤eR恒成立，其中a,6eR,e为自然对数的底

数，则。+6的取值范围是（）

A.B.（-co,-l）C.D.（9,2）

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（2024・江苏无锡•模拟预测）下列命题错误的是（）

A.当〃=0时，函数y=/的图象是一条直线

B.命题都有/<1"的否定是都xWl,使得fwi”

C.用二分法求函数/（尤）=1僦+2%-6在区间（2,3）内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1

D.某同学用二分法求函数=2v+3x-7的零点时，计算出如下结果：”1.5卜0.33,/（1.25）«-0.87,

2

/(1.375)®-0.28,/(1.4375)«0.02,/(1.40625)«-0.13,『(1.421875)土一0.06,贝|1.375和1.4都是精

确度为0」的近似零点

10.(2024•山东荷泽・模拟预测)已知函数g(尤)=sin(0尤+切(0＜。＜4,0＜。＜兀)为偶函数，将g(x)图象上的

所有点向左平移;个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的;，得到函数的图象，若/(x)

62

的图象过点(0,1)，则()

A.函数f(x)的最小正周期为1

B.函数/(x)图象的一条对称轴为x

12

4

C.函数/(元)在(1,§)上单调递减

D.函数/5)在(0㈤上恰有5个零点

11.(2024•福建福州•模拟预测)已知函数〃x),g(x)均为定义在R上的非常值函数，且g(x)为的导函

数.对Vx,yeRJ(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)且/⑴=0,则()

A."0)=0B./(尤)为偶函数

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/(x)]2+[/(l-x)]2-l

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)

12.(2024・安徽■一模)已知cosa+cos/=边。，sina+sin,贝(]cos(a—£)=.

1010

13.(2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测)若尤=0是，(尤)=(62一4》+6)1-2》-3的极小值点，则实数a的取

值范围是.

14.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在平面四边形ABC。中，AB=AC^BD^10,当四边形ABC。的面

积最大时,BC2+CD2+DA2的最小值为.

四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(13分)(2024•江西南昌•模拟预测)在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足

I?+C?=+CLC•

3

（1）求角B的大小；

（2）若VABC的面积为G，求a+c的最小值.

16.（15分）（2025•广东・一模）已知函数/（x）=（x-l）lnx,

⑴已知函数/（x）=（x-l）lnx的图象与函数g（x）的图象关于直线％=-1对称，试求g（x）；

⑵证明/（x）*0；

⑶设％是/（X）=X+1的根，则证明：曲线y=加在点人伉,小）处的切线也是曲线y=e'的切线.

17.（15分）（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）$:（1）sinAsinBsinC=^-^sin2A+sin2C-sin2B）;②

+++=的黑面；③设VA5c的面积为S,且4/5+3伊一"）=3C2.这三个条件中任选一个，补

充在下面的横线上.并加以解答.

在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知且匕=20.

⑴若a+c=6,求VA5C的面积；

⑵若VABC为锐角三角形，求色的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

C

18.（17分）（2024•福建泉州•模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光

在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面

X0V中，光在介质团内点A（。,“）以入射角a，速度"在介质1内传播至X轴上的点尸（无,0）,而后以折射角£,

速度v在介质团内传播至点3（万,c）.

⑴将光从点A传播到点B的所需的时间关于尤的函数的解析式7（元）；

⑵费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决

以下问题:

、一rsinau

(i)证明：—^二一.

sinpv

(ii)若囚==，a=，x=Wb，求光线从点A传播到点8所经过路程的取值范围.

v2

4

19.(17分)(2024云南•二模)已知常数。>0,函数/(x)=1■尤

⑴若Vx>0J(x)>-4a2,求。的取值范围;

(2)若4、%是/(x)的零点，且不W々，证明:占+%>4°.

参考答案:

题号12345678910

答案ADCDBADAABDAC

题号11

答案BCD

1.A

【分析】先求出集合M，N,进而求出。M,再结合(\")uN=R列出关于。的不等式组，解方程即可得

出答案.

【详解】集合“={尤母_尤220}={尤|04尤43},

N=E（x-a）~<4|=a-2<%<a+2j,

=卜上<0或x>3},因为("A/)uN=R,

[a—2W0

所以八i解得：l«a42.

[a+223

故实数〃的取值范围为[1,2].

故选：A.

2.D

【分析】转化为直线/过圆心即2a+3〃=l,再利用基本不等式可得答案.

【详解】因为圆。:(彳一2)2+(>一3)2=9关于直线/：办+加一1=0(4〃>0)对称,

所以直线/过圆心(2,3),即2a+36=l,

…113bla

贝I]-----1----=十一+一

2a3b2a2a3b

因为而>0,且2a+3b=1,所以a>0,〃>0,

匚u1、111-3b2a..

所以——+——=2+——+——>2+2=4,

2a3b2a3b

当且仅当==当即a=!，b=!等号成立,

2a3b46

则上+!的最小值是4

2a3b

故选：D.

5

3.C

【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案.

【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为中，

第一段圆弧长度为用Xi音，第二段圆弧长度为§Mi+i）=¥，

第三段圆弧长度为=x3=2*第四段圆弧长度为=x4=萼，

333

第五段圆弧长度为12冗^5=[0学兀，第六段圆弧长度为2半兀义6=4兀，

第七段圆弧长度为27?r><7=14手7r，第八段圆弧长度为27半r、8=1号（Sir，

故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，

蚊香的长度为与-+§+2兀+？-+亍+4兀+亍+不一=24兀.

故选：C

4.D

【分析】根据条件，得到了（尤）为奇函数，从而可排除选项A和B,再结合cos位与1一「在上的

正负值，即可求解.

【详解】因为定义域关于原点对称，又=：cos（-m）•（b一6工）=-IcosTLvfe^-e-）=-/（%）,

即〃无）=}osm（e，-0'）为奇函数，所以选项A和B错误,

又当x=g时，COSTU=COS^=0,当时,

71XG（；-,4兀），止匕时COS71X>0,

又易知当x>0时，e，_e-，>0,所以xwg,4）时,

/（x）>0,结合图象可知选项C错误，选项D正确,

故选：D.

5.B

【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.

【详解】由题干得—=sina+—|-sincr=—sintrd-----cosa-sintr

3I3j22

V31.（吟

=——cosa——sincr=cosa+—

22I

所以cosfjj=2cos2fcif+-^-j-1=2xfjj—l=­g,

故选：B.

6.A

6

【分析】根据对数函数单调性得到。,6©（0,再利用换底公式和作差法得到。<匕比较出大小

关系.

［详解1a=log43<log44=l,Z?=log53<log55=1,c=log45>log44=1,

其…所以“W岑院号。，

故OVZ?VQV1,所以Z?<a<c.

故选：A.

7.D

2兀

【分析】先由余弦定理得出/A2C=w，再应用正弦定理求边长即可.

【详解】在VABC中，由余弦定理,

2

得i变所以/A2C=?

2BABC2x2x423

因为皮），所以NCBD=w

6

在△3CD中，ZBDC=7t----=-it,

6412

五

4x-

BDBC,所以小嗯票

由正弦定理，得24百_4.

sinZBCDsinZBDCA/6+V2

4

故选:D.

8.A

【分析】将原不等式转化为（办2+6元+1卜，工1对一切工€1<恒成立，设〃》）=（"2+灰+1卜\则后者可转

化为⑼恒成立即”0）为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将

原不等式转化为+根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围.

【详解】法一：不等式法+/片工-妙,对一切xeR恒成立即为

不等式（办2+6x+l”<1对一切xeR恒成立,

今〃x)=(加+6x+l)e"则有"0)=1；

故不等式法+14e-，-6?对一切xeR恒成立等价于/（%）V/（。）恒成立,

所以〃。）为〃x）的最大值点.

显然，a<0,否则xf+00时，与题设矛盾.

7

又/r(x)=ex^ax2+(2a+b)jr+6+l],止匕时/'(0)=Z?+1

若8+l>0,存在区间(s,。，是否。且V%£(s,。，总有((%)>0,

这与〃。)为了(%)的最大值点矛盾，故)+1>0不成立，

同理〃+1<0也不成立，故b+l=O,贝！JZ?=-1,

「•/'(%)=I[改2+(2a+1)x]=xex(ox+2a—1),

当a=O时，当X£(一。,0)时，f'{x)>0,当％E(0,+8)时，f\x)<0,

故“力在(-匕。)上递增，(0,+8)上递减，/(力</(。)符合题意；

当4<0时，当：〃]u(O,+8)时,((%)V0,

当时，尸(%)〉0,

故/(%)在[一8，1r]上递减，[1广，。)上递增，(0,+8)上递减，

-7-1—2。I1—2a1—J1—4aJl—44—2a

而当％v-----时，----------------=----------<0，

aa2a2a

故办2-尤+1<0即/'(x)<0,故/(x)W〃0)恒成立，故a<0符合题意.

综上，a<O,b=-l,因此a+6e(-力,一1].

法二：不等式(加+加:+1)e”1可化为苏+法+14葭，

f(xj=ax2+bx+l,g(^xj=e.~x,

当a=O时，/(x)=ox2+Z?x+l=Z?x+l,此时，直线/(x)恒过点(0,1),

故只需直线/(耳=笈+1为且(力=b在点(0,1)处的切线即可，

b=g'(O)=-l，此时a+%=-L

当时,〃x)亦恒过点(0,1),

为使o^+bx+lVeT对一切xGR恒成立，

需〃x)=o^+bx+l开口向下，且在点(0,1)处与g@)=eT有公切线即可,

[a<0

故[/'(。)=6=-1'此时

综上，a+b的取值范围是a+6e(-℃,T].

8

故选：A.

【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象

的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题.

9.ABD

【分析】根据嘉函数的性质即可求解A,根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可

求解CD.

【详解】对于A,当〃=0时，函数y=x"=l,(xwO),故图象是两条射线，A错误，

对于B,命题都有尤2的否定是"玉＜1,使得-21",故B错误，

对于C,开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作长度变为原来的一半，

则经过愉eN*)次操作之后，区间的长度变为，，故由90.1,得2"210,所以此4,

即至少经过4次二分后精确度达到0.1,故C正确；

对于D,由于〃1.4375卜0.02＞0"(1.40625卜-0.13＜0,所以(140625,1.4373)的任何一个值均为精确度为

0.1的近似零点，故D错误，

故选：ABD

10.AC

7T

【分析】由g(x)为偶函数得。=],再由图象变换结合已知求出。，即得了(元)，然后借助余弦函数的图象

性质逐项判断即得.

【详解】由函数g(x)为偶函数，得＜p=g+E,keZ,而0＜0＜兀，则夕=

因此/(%)—sin(2＜yx+—+—)—cos(2tyx+—),f(0)=cos?,

由0VG＜4,得。于是?=g解得/=兀，则/(x)=sin(2m+J),

63666

2兀

对于A,函数/(%)的最小正周期为T二二=1,A正确；

2兀

对于B,/(4)=cosg=gw±l,函数/(无)图象关于x=*不对称，B错误；

对于C,当1＜龙44时，多137r＜2口+i三t＜17兀¥，而余弦函数y=cosx在(1切3TT,¥]7几)上单调递减，

366666

4

因此函数/(%)在(1,§)上单调递减，C正确；

717TK1

对于D,由/(%)=。，得2TIXH—=kuT—，左eZ,解得％=—I—，左wZ,

6226

ki

由。＜+＜兀欢$Z,解得左w{0,l,2,3,4,5},因此函数/(%)在(0㈤上恰有6个零点，D错误.

26

9

故选：AC

11.BCD

【分析】选项A,根据条件，令x=y=O,即可求解；选项B,利用选项A中结果，令x=0,即可求解；

选项C,令x=l,得到〃l+x)+〃l-x)=O,进而有广(1+力-尸(1-x)=0,再利用选项B中结果,得到g(x)

为奇函数，从而得出g(x)的周期为4的周期函数，即可求解；选项D,令得到〃2力+〃0)=2严(力，

用1-X代替x，y得到〃2-2力+〃0)=2产(1-力，利用C中结果，两式相加，即可求解.

【详解】因为依yeR,/(x+y)+/(x—y)=2/(x)〃y),且/⑴=0,

对于选项A,令x=y=0,得到2〃0)=2/(0)〃0),所以"0)=0或/(O)=1,

若"0)=。，令>=0,得到2/(x)=2/(x)/(0)=0,得到〃尤)=0,与题不合,

所以了(。)=1,故选项A错误，

对于选项B,由选项A知/(0)=1,令x=0,得到/(»)+/(—y)=2/(O)/(y)=2/(y),

即y)=/(y)，又〃尤)的定义域为R,所以选项B正确，

对于选项C,令x=l,得到/(l+y)+/(l_y)=2〃l)〃y)=0,

所以4x)关于点(1,0)中心对称，

即〃1+力+〃1一尤)=。，所以尸(1+x)-1(1-x)=0,

又由选项B知，/(-X)=/(X),得到-r(r)=/G),Bpr(-x)=-r(x),

所以g(x)为奇函数,令1-x=f,由尸(1+尤)-/"r)=0,得到g(2T)=g«),

则有g(2+r)=g(—r)=—g(t),所以g(4+r)=-g(2+r)=g(r),

即g(x)的周期为4的周期函数，所以gq)+g(2024—尤)=gG)+g(4*506—x)=g(x)+g(—x)=0,故选项C

正确，

对于D,令％=丁，得至U贝I]/(2X)+『(O)=2/2(X)①，

用1-X代替得到〃2-2力+/(0)=2#(1一力②，

由①+②得2/(力+2产(lr)=2〃0)+/(2—2x)+/(2x)=2+/(2—2x)+/(2x),

由选项C知/(2-2力+〃2力=0,所以产(x)+/2(l—x)=l,故选项D正确.

故选：BCD.

10

【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，抽

象函数性质综合问题一般使用赋值法，本题的关键在于选项C和D的判断，选项C解答的关键是根据题意

采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，即可求解，选项D,通过赋值得至IJ/(2x)+/(O)=2_f(x)和

f(2-2x)+f(O)=2f(l-x),结合条件和对称性，即可求解.

12.——0.5

【分析】把所给式子两边平方相加可求得结果.

【详解】由costz+cos/?=^^,可得cos%+2cosacos£+cos2^=L①，

由sina+sin£=^^,可得sin2a+2sinasin/?+sin2£=二②，

1010

所以①+②，可得l+2cosacos/7+2sinasin/3+1=1,

所以2cos(a-£)=-1,所以cos(tz-/7)=-g.

故答案为：-g.

13.[1,+<»)

【分析】根据导函数的正负，对极值点条件转化，判断极值点，即可求解.

【详解】x=0是『(尤)=(依2-4x+6)e，-2尤一3的极小值点，

求导得「(%)=3(依2-4》+6+26-4)-2=叫苏+(2°-4)彳+2]-2.

/,(0)=e°[<2x0+(2<2-4)x0+2]-2=2-2=0,

因为。是极小值点，所以e(a0),广(x)<0,/(x)单调递减,G(0,e),(X)>0J(X)单调递增,

设g(x)=1[加+(2a-4)x+2]-2,=6^+(4«—4)x+2a—2^j

当a>1时，g，(x"0,g(x)在R上单调递墙g⑼=0,满足X«YO,0),/(%)=8(%)<0,/(%)在(-00,0)上单调

递减，

尤w(0,y),广(力=g(x)>0,〃尤)在(0,y)上单调递增，符合题意；

当aWO时，g<x)<O,g(尤)在R上单调递减,g(O)=O,xe(yo,0)，r(x)=g(x)>0,/(x)在(YO,0)上单调递

增，

尤«0,y)/(x)=g(x)>0,/(可单调递减，0是极大值点，不合题意；

当0<a<1时，gf(x)=er[ax2+(4t?-4)x+2a-2]=0,

11

62+（4。-4）尤+2。-2=0有两个根%,无2设王<X2，;c［无2=———<0,玉<0（尤2，

左«%,%2），8，（彳）<0,8（兀）在（外,々）上单调递减,8（0）=0"«西,0）,广（6=8（》）>0,/（同在（再,0）上单调递

增，

左«0,马）,1（耳=8（）>0,/（同在（0,马）上单调递减,0是极大值点,不合题意;

故a>1.

故答案为：［1,内）.

14.700-400/

1兀

【分析】设NAOD=e，可得s==—3OxACsine=50sin&得出6=一时四边形面积最大，设A0=x,03=y,

22

将所求式用羽丫表示，由-+卡=100,利用基本不等式即可求得其最小值.

【详解】

如图，设acn3D=O,ZAOD=e,

则四边形ABCO的面积为5=5△AB"+S△DC-Z.z^-BDxAOsine+-BDxCOsm0^-BDxACsm0=5Osm0,

jr

因0<6<兀，故当且仅当sin6=l,即6=1时，S111ax=50.

TT

当6时，T^AO=x,OB=y,贝l|CO=10-x,OD=10-y,

于是BC?+CD2+DA?=丁+(10-彳)？+(10-y)2+(10-x)2+尤2+(10->)2=3(/+/)-40(x+y)+400,

因AG^+BO?=100,即x2+y2=100,

由(x+y)2=Y+y2+2盯42(必+»2)=200,则有x+yW10&,当且仅当x=y=■时取等号，

即当x=y=50时，BC-+CD2+DA2的最小值为300-40x10-72+400=700-400点.

故答案为：700-4000.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用四边形的对角线长已知，考虑按一条对角线将其拆分求面

积；第二个关键是，选设未知量，设AO=x,OB=y,便于找到和运用等量关系/+y=ioo解题.

71

15.d)B=y

12

(2)4

【分析】(1)利用余弦定理直接求解即可；

(2)由三角形的面积公式可得比=4,再由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)由余弦定理得COS3="2+C-一♦=&=1,

laclac2

7T

因为Be(0,口)，所以B=

(2)由(1)sinB=sin—=—,

32

因为VABC的面积为有，即gacsin5=g,所以ac=4,

则a"1专:，即专22,所以Q+C",

当且仅当a=c=2时，等号成立，

所以的最小值为4.

16.(1)g(x)=(―3—x)ln(―2—%),(x<—2).

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(Q由/(—l—x)=g(-l+x),得g(-l+无)=(-2—x)ln(-l—x),再利用换元法求g(H；

(2)分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；

(3)取曲线y=eX上的一点3(尤I，e*'),设g(x)=hur在A处的切线即是力(x)=e*在B处的切线，证明直线

的斜率等于g(x)=lnx在A处的切线斜率和为(x)=e，在3处的切线斜率即可.

【详解】(1)因为的图象与g(x)的图象关于直线x=—1对称，所以/(-l-x)=g(-l+x).

又因为/(—1一x)=[(—1—x)—1—x)=(―2—x)ln(—1—%),

所以g(-l+x)=(—2—x)m(-l—x),

令t=-1+x,贝!]x=/+l,

所以且(，)=[-2-(,+1)]111[-1一(7+1)]=(-3-。111(一2一。，

因止匕g(九)=(一3—九)ln(—2—x),(x〈一2).

13

(2)证明：

解法1：当%>1时，％-1之0且lnx>0,止匕时/(x)=(x-l)lnx>0；

当0<%<1时，％—1<0且lnx<0,止匕时f(x)=(x-l)lnx>0,

故综上

解法2：/,(x)=lnx+l--,令夕(x)=lnx+l-L。'("」+与>。在(0,+8)上恒成立,

XXXX

故e(x)在(o,+e)上单调递增，即f(x)在(o,+8)上单调递增，

因此当0<x<l时，因(力<-(1)=0；当xNl,f'(x)N/'(l)=O；

因此f(x)在(。,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增,

故"x)2"1)=0.

(3)证明：不妨取曲线y=e，上的一点可不屋】，设g(x)=liu在A处的切线即是/z(x)=e*在8处的切线,

11(11

则g'(%o)="(七)=—=e",得玉=In—,则3的坐标In—，一

%/I%%

x+1

由于(髭-l)ln%o=%+1,所以1叫二广工

I11”w

IHXQ------

________Xg_=%_]%=Xo(XoT)=J_

则有KB=——半

-vo+lnxo,x0+l考+lxc

XQ—In—

0X。—1-x--0----—-----1-r

综上可知，直线AB的斜率等于g(x)=限在A处的切线斜率和％(x)=在3处的切线斜率,

所以直线A2既是曲线y=liw在点A(%,lmb)处的切线也是曲线y=e，的切线.

17.⑴选①②③VABC的面积都为26，

【分析】(1)若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求B,利用余弦定理求欢，再由三角形面积公

式求面积；选②，通过三角恒等变换求8,利用余弦定理求“c,再由三角形面积公式求面积；若选③，由

条件结合三角形面积公式，余弦定理可求B,利用余弦定理求公，再由三角形面积公式求面积；

(2)由题意可求得利用正切函数的性质可求利用正弦定理，三角函数恒等变

62tanC

换的应用可求:磊+:’进而可求解(勺范围•

14

【详解】（1）若选①，设VABC的外接圆的半径为R,由正弦定理可得sinA=—,sinB——,sinC——,

2R2R2R

-^-^sin2A+sin2C-sin23),

又sinAsinBsinC=

所以acsin3=^^(〃2+c2-/),

所以sinB二受士」）a2+c2-b2

又cosB=

2aclac

所以sin5=J5cosB,所以tan3=J§\又3«。,兀)，

所以8=1，

所以cosB=。+；——=,所以(Q+C)2—/=3QC,

又b=2乖,a+c=6,所以〃。=8,

所以VABC的面积S=—acsinB=2yfi,

2

11sinC

若选②，由--------1--------

tanAtanBA/3sinAcosB

~cosAcosBsinC

所以kr协

A/3sinAcosB

sinBcosA+sinAcosBsinC

所以,结合三角形内角性质,

sinAsinB^3sinAcosB

所以sin(A+5)_,sinC

sinAsinBsinAcosB'

所以sinB=J^cosB,所以tan5=J§\又㈤,

TT

所以2=g，

所以cosB=a+C———=—,所以(a+op-/=3〃c,

lac2v7

又b=2A/3，a+c=6,所以ac=8,

所以VABC的面积S=—acsinB=2y/3,

2

若选③，因为S=；acsin3,-a2)=3c2,

所以$也8=道一+/一”，又35，十

2aclea

所以sinB=J^cosB,所以tan5=J§\又5£(0,兀)，

jr

所以8=1,

所以cosB=2十°——=—,所以(a+c)—/=3ac,

lac2v7

15

又b=2,y/3，a+c=6,所以etc—8，

所以VABC的面积S=—tzcsin5=273.

2

（2）由（1）可知2=；,b=2.y/3,

V3“1.厂

—cosCH—sinC

所以由正弦定理知〃sinA22上+L

sinC2tanC2

因为VABC为锐角三角形,

3

所以0<c<],且0<弓-c<T，

71-7T

解得W<C<u，

o2

所以tanC>且，可得

3tanC

1c

所以L+—<2，

22tanC2

所以色a的取值范围是21

J/+/

18.⑴7（力=---------FXG（O,Z?）,

Uv

(2)(i)证明过程见解析；(ii)

【分析】⑴由勾股定理得到|AP|=&+/，怛4=J(iJ+c2,表达出T⑺=&+♦+

v

xe（O,»；

(2)(i)求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，及存在唯一的x°e(O,。)，使得7(%)=0,结合费

尔马的结论，当X=不时，光线所经过的路程最短，由7(1)=0得到方程，结合

sina_x

0,证明出结论;

(ii)代入化简得到%+纪=1,0<b<2,-^<c<0,得到点B的轨迹，光线从A运动到点B所经过的路

432

b2b23

程为\3+1

42

16

【详解】（1）由勾股定理得|AP|=V717，\BP\=^(b-x)2+c2

,2

所以T（x）=XG(0,Z?),

(2)(i)

%=

由于“-J1+—在X«°，6）上为增函数，

Uvh+_______在％£（0力）上为减函数,

V（1）2

故:r（%）在%«O,A）上为增函数,

bb

又M0)=-T<°，T'(">=>0

Tv+c：Uyb~+a~

由零点存在性定理得，存在唯一的x°e（O,b）,使得75）=0,

且T（x）在（0,与）上单调递减，在优力）上单调递增,

据此，并运用费尔马的结论，当彳=不时，光线所经过的路程最短,

b-x°

令7(%)=0得,=0

",u

故一=

vJx()+a

又sinasina_u

，故~—一

sin0b-x0sm£v

2

bb

I+。2