2025年高考数学一轮复习讲义：简单的三角恒等变换（原卷版）

专题23简单的三角恒等变换（新高考专用）

目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1】三角函数式的化简..................................................3

【考点2】三角函数求值问题..................................................4

【考点3】三角恒等变换的应用................................................5

【分层检测】................................................................6

【基础篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................7

【培优篇】..................................................................8

庠真题自测

一、单选题

已矢口sin(a-')=g,cosasin/?=g,

1.（2023•全国•高考真题）贝Ucos(2。+20=().

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

（2023•全国•高考真题）过点（0厂2）与圆^+>2-以-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝|sina=（

A/15「屈D.逅

A.1B.

444

若则

3.（2021•全国•高考真题）ta“=-2,汕±型也=()

sin0+cos0

6226

A.—B.——C.-D.-

5555

二、解答题

口>0,|夕|<、)

4.（2023•北京・高考真题）设函数/(%)=sincoxcoscp+coscoxsin(p\

⑴若/（0）=-停，求。的值.

（2）已知Ax）在区间-会会上单调递增，=再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为已知，使函数/（%）存在，求公夕的值.

条件①：U起;

条件②：/卜三]=-1

7TTT

条件③：/（X）在区间上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

5.(2021•浙江•高考真题)设函数/(x)=sin尤+cosx(xeR).

2

（1）求函数y=/尤+]的最小正周期;

71

（2）求函数>在0,5上的最大值.

考点突破

【考点1】三角函数式的化简

一、单选题

1.（2024•河北承德•二模）函数/（x）=G；sin（2尤-]J+cos（2尤-371的图象的对称轴方程为（）

6

2

7TklL7Tiku,

A.%=—I----，左eZB.x=—I----，左£Z

3222

571kli1r7Kfat,

C.x----1----wZD.x-----b——,keZ

122122

2.（2024•江西景德镇•三模）函数〃尤）=cosox（xeR）在［0,兀］内恰有两个对称中心，J“无）|=1,将函数

的图象向右平移三个单位得到函数g（x）的图象.若〃a）+g（c）=g,则cos（4a+升（）

716919

---u.---

…2525"2525

二、多选题

3.（23-24高三下•河南•阶段练习）下列函数中，最小值为1的是（）

A./（x）=sin4x+cos2xB.

sin2x+1cos2x+2

7

C.f（x）=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D.f(x)=|sin%|+1cosx|

4.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=sin］

A.的值域为卜叵应］B.小-总为奇函数

C./卜-1）在［。身上单调递减D./（x）在岛上有2个零点

三、填空题

5.（2024・上海嘉定•二模）已知/（%）=——+，则函数y=的最小值为_____

sinxco%\.乙）

6.（2024,全国•模拟预测）在AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,a2+b2=2024c2,则

2tanAtan8

tanC（tanA+tanB）,

反思提升：

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子

和三角函数公式之间的共同点.

【考点2】三角函数求值问题

一、单选题

1.（2023•重庆•模拟预测）式子2sinl8（3cos:-sm9一1）化简的结果为（）

cos6°+v3sin6°

A.1B.1C.2sin90D.2

2.（2024.四川眉山.三模）已知+=则sina=（）

3

八12+5gD12-5A/3r12A/3+5n12^-5

A.---------------D.-----------C.---------------u.-----------------

26262626

二、多选题

3.（23-24高三上•安徽合肥•阶段练习）下列代数式的值为;的是（）

4

tan15°

A.cos2750-sin2750

1+tan215°

C.cos360cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

4.（2021•江苏南通•一模）下列命题中是真命题的有（）

A.存在a,,使tan（a-77）=tana-tan/7

B.在中，若sin2A=sin23,则AABC是等腰三角形

C.在AABC中，"/>夕"是"sinA>sinB”的充要条件

D.在AABC中，若cosA=jsinB=2则cosC的值为fl或fl

1356565

三、填空题

5.（2023•福建三明三模）在平面直角坐标系中，0（0,0）、A（sina,coso）、B^cos^a+^,sin^«+-^^,当

兀

ZAOB=（2时.写出。的一个值为.

6.（21-22高一下•上海浦东新•阶段练习）己知sin[?-cz）=-g,sin[?+分）=，且aee力’

求a-尸的值为—.

反思提升：

1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角

的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角

与特殊南之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊痢并且

消除特殊角三角函数而得解.

3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：（1）

已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是（0,野，

选正、余弦皆可；（2）若角的范围是（0,7i）,选余弦较好；若角的范围为（一方?，选正弦较好.

【考点3】三角恒等变换的应用

一、单选题

1.（2024・河北•模拟预测）函数/（x）=cos3元-4sin2尤在区间[-2024兀,2024句内所有零点的和为（）

A.0B.-202471C.1012KD.-101271

4

二、多选题

2.（21-22高一下•福建厦门•期中）已知对任意角尸均有公式sin2a+sin2力=2sin（a+0cos（a-⑶.设

EIABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A—B+C)=sin(C—A—8)+].面积S满足14S42.记a,b,c分别

为A,B,C所对的边，则下列式子一定成立的是()

A.sinAsinBsinC=—B.2<---<2-J1

4sinA

C.8W%W16aD.bc(b+c)>8

3.（20-21高三上•福建莆田,期中）对于三角形ABC,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若si/A+siMBVsiMC,则三角形ABC是钝角三角形

B.若4>8,贝!JsinA>sinB

C.若。=8,c=10,8=60°,则符合条件的三角形ABC有两个

D.若三角形ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

三、填空题

4.（2022・浙江•模拟预测）在中，/ACB=90。，点E分别在线段SCAB上，AC=BC=3BD=3,

/EDC=60。。,则DE=,ABCE的面积等于.

5.（2022•浙江嘉兴•模拟预测）在AABC中，已知C4=1,C3=夜,A-8=孚，贝ijtan3=____,AB=_______

4

6.（2022・浙江•模拟预测）如图，在44BC中，sinZBAC=^^,AD1AC,AD=2,NABC=三，贝lj

34

sinNBAD=,BD=.

反思提升：

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

汽x）=Asin（0x+0）+5的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意

利用整体思想解决相关问题.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•江西南昌•二模）已知2cos-cos3x=-)

4

177

A.B.——C.D.

~22I8

5

ein9/y

2.(2024•河南三门峡•模拟预测)若tana=2,则:°的值为()

cos2cr-sma

4244

A.—B.C.-D.

7397

sin6*_则/l+2sin2^+3cos2_(

3.（2023•全国•模拟预测）o)

1-cos^V1-2sin2^+3cos23

4

A.5B.C.2D.4

3

4.（2023•陕西•一模）在AABC中，如果85（25+。）+85。<0,那么4M。的形状为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定

二、多选题

5.（2024•浙江•二模）关于函数/（%）=2sin%.cos%+2若cosz%,下列说法正确的是（）

A.最小正周期为2兀B.关于点（吟可中心对称

57r7T

C.最大值为百+2D.在区间-区,日上单调递减

6.（23-24高三下•广西•开学考试）关于函数〃x）=6sin2x-2cos2x+l有下述四个结论，其中结论正确的是

（）

A.〃x）的最小正周期为2兀

B.的图象关于直线x=?对称

6

c.“X）的图象关于点［卷兀,0）对称

D.“X）在0,-上单调递增

7.（2023•河南•模拟预测）设函数/'（x）=2A/^sinfyxcos（yx+2cos20x+〃z3>O）,且相邻两条对称轴之间的距

离为VxeR,/（x）>2,则（）

A.a）=l,m=3

■rr-rr

B.〃x）在区间上单调递增

c.将f（x）的图象向左平移9个单位长度，所得图象关于y轴对称

O

D.当了=%万+£（%€2）时，函数/'（%）取得最大值

三、填空题

8.（2024,山西晋城•二模）已知tane=2tan分，sin（tz+>?）=-,贝!|sin（£-a）=.

6

9.（2023•山西朔州•模拟预测）已知a为锐角，且sina+sin[a+|^+sin[a+/]=正，贝l]tantz=.

10.（20-21高三上•天津滨海新•阶段练习）在AABC中，角A、B、C的对边分别为•、b、c,若

OCOSB+ZJCOSA=csinA,则AABC的形状为.

四、解答题

11.（23-24高二上•福建福州•期末）己知函数/（x）=^sin（7r-x）+sin]'+xj-l.

⑴求函数/（元）的单调递增区间；

（2）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/（A）=l,a=7,c=8,求AABC的面积.

12.（2021•辽宁朝阳・二模）在①优+"c）（b-a+c）=ac；②cos（A+8）=sin（4-B）；③tan-；人=sinC这三

个条件中任选两个，补充在下面问题中.

问题：是否存在“IBC,它的内角A,民c的对边分别为a,b,c,且0=2点，，?若三角形存

在，求匕的值；若不存在，说明理由.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024高三下•全国•专题练习）已知函数/（x）=2sinxcosx-a（sin2x-cos2x）,

则直线24尤-9»-8万=0与的图象的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

2.（2020高三下,山东•学业考试）下列结论正确的是（）

3

A.若tana=2,贝Ucos2a=g

B.若sina+cos£=l,则sira+cos?分之!

/Z

C.3X0GZ,sin/EZ〃的否定是〃VXEZ,sinxeZ”

D-将函数”出2川的图象向左平吟个单位长度，所得图象关于原点对称

三、填空题

l+2cos<z=2cos/3

3.（2021•北京海淀•模拟预测）若实数Tc,尸满足方程组,则夕的一个值是