2025年高考数学一轮复习讲义：幂函数与二次函数（原卷版）

专题09募函数与二次函数（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】募函数的图象和性质4

【考点2】求二次函数的解析式................................................5

【考点3］二次函数的图象与性质...............................................6

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

11

1.了解黑函数的概念；结合函数丁=羽y=%3,丁=用，丁=:的图象，了解它们的变化情

况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

■,知识梳理

L幕函数

(1)募函数的定义

一般地，函数丫=二叫做幕函数,其中x是自变量，a是常数.

⑵常见的五种募函数的图象

(3)募函数的性质

①募函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，募函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，募函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

⑴二次函数解析式的三种形式

一般式：/("M'f+bx+cgwo).

顶点式：fix)=a(x—m)2+n(a^G),顶点坐标为(如〃).

零点式：4x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,&为4x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

2

顶点624ac—b^\

l

坐标V—2a-4aJ

奇偶性当Z?=0时是偶函数，当6W0时是非奇非偶函数

在j在（b

上是减函数；一8,Fl上是增函数；

单调性

在卜品）上是增函数]上是遮函数

4°°在[-5+8

I常用结论

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

[a>0,[a<Q,

2.若於）=ax2+bx+c（aW0）,则当，时，恒有火x）>0；当，时，恒有加）<0.

U<0U<0

3.（1）嘉函数y=y中，a的取值影响募函数的定义域、图象及性质；

（2）募函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

,,真题自测

1.（2023•全国，高考真题）设函数〃耳=2'（1）在区间（0,1）上单调递减，贝lj”的取值范围是（）

A.(ro,-2]B.[-2,0)

C.（0,2]D.[2,+oo）

22

2.（202”全国•高考真题）设B是椭圆C：t+与=l（a>6>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足l尸B|<26,

ab

则C的离心率的取值范围是（）

「行1

A.——AB.1C.D.°'2

L2Jr

0605则的大小关系为（）

3.（2023・天津•高考真题）设。=1.01/6=i.01,c=O.6,

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

，C=log1,则(

4.（2022・天津,高考真题）已知。=2°-7,b=I2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、填空题

2

5.（2020•江苏考真题）已知y=/（x）是奇函数，当xzo时,-3，则H-8）的值是—.

三、解答题

3

6.（23-24高一下•上海•期中）已知哥函数〃了卜—功片何蚱％）为奇函数，且在区间（0,+“）上是严格减函

数.

⑴求函数y=/（x）的表达式;

（2）对任意实数xe1,1,不等式〃力4/+4,恒成立，求实数/的取值范围.

考点突破

【考点1］幕函数的图象和性质

一、单选题

1.（2024・四川成都・模拟预测）设命题P：加eR,使〃尤）=（m-1）——+3是累函数，且在（0,+“）上单调递

减；命题q:Vxe（2,M）,2，>尤2,则下列命题为真的是（）

A.7?B.C.Z7A4D.（~<p）vq

2.（2022•上海黄浦•模拟预测）下列函数定义域为［0,+8）的是（）

A.y=-B.y=lnxC.y=4xD.y=tanx

X

二、多选题

3.（20-21高三上•辽宁辽阳•期末）下列函数中是奇函数，且值域为R的有（）

.1

A./（x）=xB./（%）=%+—

x

C.f（x）=x+sinxD./（x）=x-5

4.（23-24高一上•贵州•阶段练习）现有4个幕函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）

A.p=3,m=2,n=-3

B.p=4,m=3,a=—,n=—2

3

q=-；,n=-3

C.p=2,m=3,

1

D.p=—m=~,q=-2,n=-

2314

4

三、填空题

5.(2024•北京延庆•一模)已知函数〃x)=xa(0<a<l)在区间(-1,0)上单调递减，则a的一个取值为.

6.(2022•全国•模拟预测)若暴函数y=(4-a-5)/的图像关于y轴对称，则实数。=.

反思提升：

(1)幕函数的形式是丁=b3©1^),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

(2)在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间

(1,十8)上，赛函数中指数越大，函数图象越远离X轴.

⑶在比较幕值的大小时，必须结合赛值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，

准确掌握各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

【考点2］求二次函数的解析式

一、单选题

1.(2024•陕西・模拟预测)设函数“X)的定义域为R,且/(—芯+1)=—/(尤+1)，〃尤+2)=〃一无+2),当

xe［0,l］时,/(X)=2X2+Z?X+C,/(3)-/(2)=6,则6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

2.(2024•全国•模拟预测)已知二次函数满足对于任意的尤,yeR,/(%)/(J)=/(xv),且〃2)=4.

若/(p+q)+/(q)=i，则/+2"的最大值与最小值之和是()

A.4+2&B.2A/2C.4D.忘

二、多选题

3.(2023•河北沧州・三模)已知二次函数g(x)满足g(x-4)=g(2-x),g(x)>x-当xe(0,2)时，

函数/(x)的定义域为R,y=/(x)+eX是奇函数，y=/(x)-3e”是偶函数，e为自然对数的

底数，则()

A.函数g(x)的最小值为。

B./(0)=1

C./(g(x))>-l

D.函数的导函数/'(x)的最小值为2鱼

4.(2023•全国•模拟预测)已知二次函数〃尤)满足对于任意的=〃肛)且〃2)=4.若

〃p+q)+〃q)=i，则下列说法正确的是()

5

A.p+2q>-\B.p+2q<^2

C.p2+2^2<2-V2D.p~+2q~V2+

三、填空题

5.（21-22高二下•重庆沙坪坝■期末）已知函数〃%）=62+法+0（"0）的图象关于，轴对称,且与直线＞=%

相切，写出满足上述条件的一个函数/（*）=.

反思提升：

求二次函数解析式的方法

---［二点坐标j—r选用一般式）

■］顶点坐标）

（已知）—［对称轴}T选用顶点式］

■（最大（小）值）

——［与％轴两交点坐标］~4选用零点式）

【考点3］二次函数的图象与性质

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃x）=log“（f-依+1）在区间1,2］上有最大值或最小值，则实数”的

取值范围为（）

A.B.（U）C.D,（1,2）

2.（2023•广东韶关•模拟预测）已知方程x+5+lnx=0和x+5+e"=0的解分别是a和6，贝！|函数

7•（x）=（x+a）（x+尸）的单调递减区间是（）

B.?,+°°

A.C.(-oo,5]D.[5,+oo)

二、多选题

32

3.(2023•湖南株洲•一模)已知sinl5。是函数/(元)=%尤4+^x+6Z2x+^x+6Z0(«4,(23,6Z2,^,^0GZ,6Z4w0)的

零点，则下列说法正确的是（）

A.­=16B./（cosl5°）=0

a。

c./（-x）=/（x）D.〃x）向「3

4.（2024•河南信阳•模拟预测）若函数=加一2）x+l|在上单调，则实数机的值可以为（）

15

A.—1B.C.—D.3

22

三、填空题

6

5.（23-24高三下•福建•开学考试）已知函数〃x）=〈"的值域为R,则实数a的取值范围

\x-2a\-2,x>a

为.

6.（23-24高三下•青海西宁•开学考试）已知函数〃尤）=lg，+ar+l）在区间（f,-2）上单调递减，贝lj°的

取值范围为.

反思提升：

1.研究二次函数图象应从''三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个

点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一

开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和

中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借

助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2011•辽宁沈阳•一模）已知函数/（x）=ax2+bx+c,若a>〃>c且a+b+c=0,则它的图象可能是（）

2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知累函数”司=（加+2〃7-2）/在（0,+功上单调递减，则实数加的

值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

3.（2024•全国•模拟预测）若函数了⑴十一处2）x+i|在一；,；上单调，则实数优的取值范围为（）

A.ri，i][3,11B.1（，2]卜2

1_2」|_2」1_2」2」

-11「91「11「9-

C.--JU3,—D._万,2J3,—

7

4.（2023•全国•模拟预测）已知集合4=卜卜=”],B={xeZ|x2<4},则Ac3的子集的个数为（）

A.1B.2C.4D.8

二、多选题

5.（2021•辽宁•模拟预测）已知函数〃力=52一"+""""’（即小）=炉+«-可，xeR）则（）

[x+x-a,x>a

A.当。=0时，是偶函数B.〃力在区间上是增函数

C.设外力最小值为N,则NW；D.方程〃x）=l可能有2个解

6.（23-24高一上•浙江•期中）若实数4，々，%满足尤3-2.=尤3-3*=1,则下列不等关系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<x1C.x3<x2<xxD.x3<xx<x2

7.（2024•全国•模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A.f（x）=-3x5B.f（x）=2'

c-/（”=：D-〃*）=一2产

三、填空题

8.（2023・上海闵行•一模）已知二次函数“同=加+%+。的值域为，巩：,则函数g（x）=2。。的值域

为.

9.（2023・广东珠海•模拟预测）已知函数〃力=/+如-2%+1在区间[2,+8）上是增函数，则实数优的取值

范围是.

10.（2020,安徽蚌埠,三模）已知命题oHxeR,使得cos2x+sin尤+1>小，若命题p是假命题，则实数m

的取值范围是.

四、解答题

11.（2023•山东•一模）已知二次函数“X）满足/（。）=-1,顶点为（1,-2）.

⑴求函数〃尤）的解析式；

⑵若函数〃尤）在区间团-1，4]上单调递增，求实数。的取值范围.

12.（21-22高一上・辽宁•阶段练习）已知幕函数f（x）=（m2+2m-2）xm2-7（meZ）的定义域为R,且在a+⑹

上单调递增.

⑴求m的值；

（2）Vxe[l,2],不等式4（x）-3x+2>0恒成立，求实数a的取值范围.

8

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调

和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的

定义与今天大致相同.若2"+2"=1，贝lj（4"+l）（4"+l）的最小值为（）

259925

A.—B.—C.-D.—

416416

二、多选题

2.（2023・河南•模拟预测）已知x>y>0,贝U（）

2

A.log2（x+l）>log2（/+l）B.cosx>cosy

C.（x+1）3>（y+l）3D.e-r+1>e-v+1

三、填空题

x2—3x,x<3

3.（2023