2025年高考数学一轮复习讲义：排列与组合（解析版）

专题59排列与组合（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................8

【考点1】排列问题..........................................................8

【考点2】组合问题..........................................................12

【考点31排列与组合的综合问题..............................................15

【分层检测】...............................................................19

【基础篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................26

考试要求：

1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

2.能解决简单的实际问题.

.知识梳理

1.排列与组合的概念

名称定义

并按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个

排列从〃个不同元素

元素中取出机个元素的一个排列

中取出m（mWn）

作为一组，叫做从n个不同元素中取出m

组合个元素

个元素的一个组合

2.排列数与组合数

（1）从n个不同元素中取出mOnW”）个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出

加个元素的排列数，用符号AT表示.

⑵从n个不同元素中取出"?（mW"）个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出

加个元素的组合数，用符号CT表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

12!

(1)A伊一〃(〃一1)(及一2>・・(〃一加十—加].

A伊n(〃-1)(〃-2)…(n—m+1)

公式⑵-A厂加

_।1一("，加£N*,且加特别地C2—1

加kn—m)!

(1)0!=1；A[="！.

性质

(2)c俄=c「m；a=c^+a-i

I常用结论

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统

一,避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

真题自测

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

2

2.（2023•全国•高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,

则不同的抽样结果共有（）•

A.C-C器种B.C2.C或种

D.C%C北种

3.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

4.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120

5.（2022・全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

6.（2022•全国•高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

、填空题

7.（2024•全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中,

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均值，则加与”之差

的绝对值不大于1的概率为

2

9.（2023•全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

3

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

10.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

参考答案:

题号123456

答案BDCBBD

1.B

【分析】解法一：画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图,

甲

乙丙丁

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙

甲乙丁

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法,

其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，

Q1

故所求概率p=五=十

解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种;

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意;

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为五="

故选：B

2.D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

4

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60X£K=40人，高中部共抽取60xv=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C%c嘉种.

故选：D.

3.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有或种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有A；=120种，

故选：C.

4.B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a,6,c,d,e,

假设。连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A；=12

种方法，

同理：女c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

5.B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排歹U方式，

故选：B

6.D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

5

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质,不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，

21-72

故所求概率尸=一=彳.

213

故选：D.

7.24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a/,c,d),%6,Gd分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11.22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(H,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列

举法写出所有的可能结果.

8.」

15

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为以第三个球的号码为c,则

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为。，6,第三个球的号码为。，则”(二一审4；,

故|2c-(<7+6)归3,故-3W2c-(“+Z043,

6

若c=l,则a+H5,则（。㈤为:（2,3）,（3,2）,故有2种，

若c=2,则1＜。+647,则（a,b）为:（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10种，

当c=3,则3Va+AV9,则（a,6）为：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16种，

当c=4,则5Va+Z?Vll,同理有16种,

当c=5,贝!]7Va+Z?W13,同理有10种，

当c=6,贝!]9Wa+bW15,同理有2种，

共m与”的差的绝对值不超过之时不同的抽取方法总数为2（2+10+16）=56,

故所求概率为1=：.

7

故答案为：~

9.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CjC；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

3,

10.—/0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

7

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10种选法;

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=记.

3

故答案为：—.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=历

3

故答案为：—

考点突破

【考点1］排列问题

一、单选题

1.（2023•辽宁•三模）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校,

每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（）

A.36种B.30种C.24种D.12种

2.（23-24高三上•山西运城•期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,

这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛,

且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）

A.150种B.300种C.720种D.1008种

二、多选题

3.（2024•江苏•模拟预测）若m,见为正整数且〃＞加＞1,则（）

（）1

C.mC：=n-lC'^D.A：+mA：-=A：'+1

4.（23-24高二上•辽宁辽阳•期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总

共4节课，下列结论正确的是（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

三、填空题

8

5.（2024・全国•模拟预测）2023年10月18日，第三届"一带一路"国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带

一路"欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文

化.这次晚宴菜单中有"全家福”"沙葱牛肉""北京烤鸭""什锦鲜蔬""冰花锅贴""蟹黄烧麦""天鹅酥""象形枇

杷”.假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），贝/沙葱牛肉""北京烤鸭”相邻的概率

为.

6.（2024•广西•模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为"琮琮""莲莲""宸宸"，是一组承载深厚

底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中"琮琮""莲莲"和"宸宸"各2

个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.

（用数字作答）

参考答案:

题号1234

答案BAADABC

1.B

【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能情况.

【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有CjA；=36种,

若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有A；=6种，

所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有36-6=30种.

故选：B.

2.A

【分析】分3,1』和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.

【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有=60种安排,

若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有6=90种安排,

综上，不同的安排方法有60+90=150种.

故选：A

3.AD

【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.

【详解】对A：由组合数性质：C：=C；E可知，A正确;

9

对B：€：；=&■,故B错误；

73!

m_加一(D!，-1\f~\m-l_/

又寸C：mC〃-m"■一■■一〃~-,(〃-1)C_]—(〃-1)■",左右

m\(ji—m)\(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!

不相等，故C错误；

.riIriI,,nIriI

=5+1)7-A；=(("+?x=A；+1,故D正确.

故选：AD

4.ABC

【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C

采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解.

【详解】对于A,有3A：=18种排法，故A正确；

对于B,采用捆绑法，有A；=6种排法，故B正确；

对于C,采用插空法，有A；A；=12种排法，故C正确；

对于D,有冬=4种排法，故D错误.

故选：ABC

1,

5.-/0.25

4

【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.

【详解】服务员随机上这八道菜有A：种排法，

"沙葱牛肉"，"北京烤鸭"相邻有A；种排法，

A2.A71

所以所求概率尸

A；4

故答案为：

6.336

【分析】

分两种情况，前排含有两种不同名称的吉祥物和前排含有三种不同名称的吉祥物，结合排列组合知识进行

求解.

10

【详解】

由题意可分两种情形：

①前排含有两种不同名称的吉祥物，

首先，前排从"琮琮""莲莲"和"宸宸"中取两种，有C；种情况，

从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有c；c；c；种排法，

选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，

由于属于不同的吉祥物，故有A；种排法，

综上，有C；C；C；C；A：=24种排法；

其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，

故有A；=2种排法，故共有24x2=48种不同的排法；

②前排含有三种不同名称的吉祥物，

先从"琮琮""莲莲"和"宸宸"各二选一，有C；C；C；种选法，

再进行全排列，故有C；C；C；A；=48种排法；

同理后排有A；=6种排法，止匕时共有48x6=288种排法；

因此，共有48+288=336种排法，

故答案为:336.

反思提升：

排列应用问题的分类与解法

(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时

一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多

的问题可以采用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件

的排列问题的常用方法.

【考点2】组合问题

一、单选题

1.(2024•河南•模拟预测)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，

则不同的分配方案种数为()

A.56B.84C.126D.210

11

2.（2024•河南商丘•模拟预测）若S（"）=f”与c,则5（98）=（）

M（左+1）伏+2）

101Kl010

“2-102。2-101「2°-101c2"-100

A.-------D.------------------C.--------------D.-------------

102001020099009900

二、多选题

3.（2023・吉林・三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（）

A.若4人中男生女生各选2人，则有18种选法

B.若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法

D.若4人中既有男生又有女生，则有34种选法

4.（2024•河南信阳•二模）下列命题中真命题是（）

A.设一组数据4孙…,％的平均数为"方差为$2,则$2=,£尤；-（可2

〃i=\

B.将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法

C.一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158

D.已知随机变量乂的分布列为「（*=7）=吊%（，=1,2,3,...,100）,则。=粉

三、填空题

5.（2024・湖北•二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,则方程x+y+z=10的解的组数为.

6.（2024・广东•模拟预测）将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位

数比乙组的中位数小1,则不同的平分方法共有种.

参考答案:

题号1234

答案BCADABC

1.B

【分析】将问题等价转换为将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法,

利用隔板法即可求解.

【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，

等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.

用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，

由于10个小球中间共有9个空隙，因此共有C；=84种不同的分法.

故选：B.

2.C

12

【分析】利用组合数公式可得,再求和并结合二项式系数的性质求出5("),然后

(左+1)(左+2)(〃+2)(〃+1)

赋值即得.

n\n\

【详解】依题意,

(左+1)(左+2)(%+2)(左+1)•%!(〃一%)!(女+2)!("_%)!

1(几+2)!

(〃+2)5+1)(左+2)![(〃+2)—(％+2)]!(n+2)(n+l)

「左+2

11,+2

则$(")=£5+2ZC震=(ZC—久)

k=0(〃+2)(九+1)(〃+2)(〃+1)氏=0(〃+2)(〃+1)k=0

12n+2-n-3

[2"+2-(H+2)-1]=

(〃+2)(〃+1)(〃+2)(〃+1)

2100-101

所以5(98)=

9900

故选：C

n\

【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式C：而二初及阶乘的运算性质是解决本题的关键.

ml

3.AD

【分析】选项A、B根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选项C、D可采用

间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数即可得到结果.

【详解】对选项A,依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有=6x3=18种.所以该选项正确;

对选项B,依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有

砥=10种.所以该选项不正确；

对选项C,依题意，要从7名同学中选取4人，一共有C：=35种，而甲乙都不在内一共有C；=5种，

.•.甲与乙至少要有1人在内有C；-C；=35-5=30种.所以该选项错误；

对选项D,依题意，假设全是男生一共有C：=l种，全是女生的情况没有，

,既有男生又有女生一共有C；-C：=35-1=34种.所以该选项正确.

故选：AD

4.ABC

【分析】对于A,由方差公式平均数公式化简即可；对于B,由先分组再分配即可；对于C,由百分位数的

定义求解即可；对于D,由所以概率之和为1,裂项求和即可判断.

1〃7

【详解】对于A,由方差定义可得$2=—2(%-可

ni=l

所以52=工£任2-2XjX+)=—-2x^xi+加之］

n

NJ=13=1i=l)

13

=—^^-2rix2+rix^=—^j^-x2,A正确；

对于B,先把4个人分成3组，每组至少一个人，有Cj=6种分法,

再把三族人分配到三个不同的工作岗位，有A；=6种分配方法，

所以共有6x6=36种不同的方法，故B正确;

对于C,10x75%=7.5,所以该组数据的第75百分位数为158,故C正确;

对于D,尸(X=J=一4)«=1,2,3,…,100),

2(ZI1)kIII1J

111111Cl1110°〃1而山_101

©T以Q|1---1-----F•••H---------I=QI1-------------1所以”而,故D错误.

(223100101J1101J101

故选：ABC.

5.15

【分析】问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，

利用隔板法求解即可.

【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的

方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有C；=?==15种方法，

2x1

即方程x+y+z=10的解的组数为15.

故答案为：15

6.36

【分析】首先确定甲和乙的中位数，再从其他的数字分组，利用组合数公式，即可求解.

【详解】依题意，甲组的中位数必为5,乙组的中位数必为6,

所以甲组另外四个数，可从L2,3,4和7,8,9,10这两组数各取2个，共有C：Cj=36.

故答案为：36

反思提升：

组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元

素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多

这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复

杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【考点3】排列与组合的综合问题

一、单选题

14

1.（22-23高三下•湖北•阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A3,C三

个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率

为（）

19310025

A.-----B.-----C.—D.一

24324339

2.（22-23高三下•江苏苏州•开学考试）将六枚棋子A,B,C,D,E,尸放置在2x3的棋盘中，并用红、黄、

蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子48的颜

色必须相同，则一共有（）种不同的放置与上色方式

A.11232B.10483C.10368D.5616

二、多选题

3.（21-22高二•全国•单元测试）带有编号1、2、3、4、5的五个球，贝|（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C：种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有C；C；种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C；A：种不同的放法

三、填空题

4.（2024・广东佛山•二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站

的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下

车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是.

5.（2023・广东汕头•三模）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个

闸机都要有入经过，则有种不同的进站方式（用数字作答）

参考答案:

题号123

答案BCACD

1.B

【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去A的情况数，从而得到甲不去A小区的情况数，再

结合概率公式，即可得到结果.

【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况，

再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，

5人被分为3,1,1或2,2,1

当5人被分为3,1,1时，情况数为C；xA；=60；

15

当5人被分为2,2,1时，情况数为生与虫.=90；

A；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，

当5人被分为3,1,1时，且甲去A,甲若为1,则C；xA；=8,甲若为3,则C；xA；=12

共计8+12=20种，

当5人被分为2,2,1时，且甲去A,甲若为1,则"|xA；=6,甲若为2,贝|C；xC；xA；=24,共计6+24=30

种，

所以甲不在A小区的概率为-（20+3。）=W2

243243

故选：B.

2.C

【分析】进行颜色分配，然后利用分类原理的相加和分步相乘的原理进行分析即可.

【详解】①3个1,3个2,0个3如表：

□0

000

只用两种颜色，并选取两个位置放此时有：A；（C；+C；）=36种,

②1个1,2个2,3个3如表:

000

000

选用三种颜色（1+2+3,且只用一次的颜色放在拐角），并选取两个位置放AB,此时有：C〉A，（C；+C；）=96

种，

或

000

000

选用三种颜色（1+2+3,且只用一次的颜色放在中间），并选取两个位置放物此时有：C>ANC：+C；）=48

16

种，

③2个工，2个2,2个3如表:

0

00

选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放A3,此时有：C；・A；=18种,

或

n0

Q0

选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB,此时有：C；・A；=18种,

所以不同的放置与上色方式有：

（36+96+48+18+18>A；?A：=10368.

故选：C.

3.ACD

【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解;

对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解.

【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，贝IJ共有4x4x4x4x4=45种放法，A正确；

对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：

全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有

C；A：=240种放法，B错误;

对于C：先选择4个球，有C：种，再选择一个盒子，有C；种，故共有C：C；种放法，C正确；

对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共

有C；A：=240种放法，D正确;

故选：ACD.

4.120

【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，

另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，

【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点工人独自出下车，共有A；=60种，

17

3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有C；A；=60种，

故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120种.

故答案为：120.

5.720

【分析】考虑1+1+3和2+2+1两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案.

【详解】将5人分为3组，有1+1+3和2+2+1两种情况：

当分组为1+1+3时：共有.A；=360；

当分组为2+2+1时：共有V7^A，A；・A；=360；

A?

综上所述：共有360+360=720种不同的进站方式.

故答案为：720.

反思提升：

（1）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件

的排列问题的常用方法.

⑵对于分堆与分配问题应注意三点

①处理分配问题要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆时要注意是否均匀.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・贵州•三模）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖

北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少

有一名同学，则不同的站法有（）种.

A.48B.64C.72D.120

2.（2024・广东深圳•二模）已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，

丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

3.（2024•河北邯郸•二模）某班联欢会原定5个节目，己排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2

个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）

18

A.12B.18C.20D.60.

4.（2024・山东烟台•一模）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放

2个小球，则不同放法的种数为（）

A.3B.6C.10D.15

二、多选题

5.（23-24高三上•福建厦门•期中）以下结论中，正确的是（）

A.若复数z（l—3i）=2-i,则+

B.若复数z满足|z-2i|=l,则忖的最大值为3

C.已知复数2=。+历，其中ae{—2,0,1}4€{0,1,4,9},则复数2=。+历是纯虚数的概率为；

D.A,B,C,D,E五名学生按任意次序站成一排，则A和8站两端的概率为《

6.（2023•湖北武汉•一模）已知离散型随机变量X服从二项分布3（”,p）,其中〃wN*,0<p<l,记X为奇

数的概率为。，X为偶数的概率为6,则下列说法中正确的有（）

A.a-\-b=l8.2=3时，々=6

c.0<p<g时，。随着"的增大而增大D.J<P<1时，。随着〃的增大而减小

7.（2024•山东青岛•一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球，

设事件A="取出的球的数字之积为奇数"，事件3="取出的球的数字之积为偶数"，事件C="取出的球的数

字之和为偶数"，则（）

A.事件A与B是互斥事件B.事件A与8是对立事件

C.事件B与C是互斥事件D.事件8与C相互独立

三、填空题

8.（23