2025年高考数学一轮复习讲义：平面向量的概念及线性运算（解析版）

专题28平面向量的概念及线性运算（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点1】平面向量的概念.....................................................7

【考点2】向量的线性运算....................................................12

【考点3］共线向量定理的应用................................................17

【分层检测】...............................................................23

【基础篇】.................................................................23

【能力篇】.................................................................31

【培优篇】.................................................................35

考试要求：

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

■,知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

的方向.向量后的大小就是向量的是度(或称模)，记作画1.

(2)零向量：长度为0的向量,记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,8平行，记作a〃氏规定：0与任

一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

C

交换律：

A，a'B(1)

=

求两个向量和三角形法则a~\~bb~\~a.

加法

的运算(2)结合律：

(a+A)+c=a+(A+c)

OA

平行四边形法则

求两个向量差

减法a~b=a+(—b)

的运算a

三角形法则

规定实数丸与

(lW=|2||fl|；

向量a的积是

(2)当丸＞0时，加的方向=2"。；

一个向量，这

数乘与a的方向相回；当丸＜0(2+fi)a—；

种运算叫做向

时，7a的方向与a的方向〃〃+1)=/1。+劝

量的数乘，记

相反;当7=0时，2a=0

作ka

3.共线向量定理

2

向量a（aWO）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使归公.

|常用结论

1.中点公式的向量形式：若P为线段A3的中点，。为平面内任一点，则。＞=/以+丽）.

2.OA=AO5+//OC（A,〃为实数），若点A,B,C共线，则4+〃=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向;

二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）已知向量〃也c满足同=网=1,同=3,且〃+6+3=0,则cos〈a—c,A-c〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.（2020・山东•高考真题）已知平行四边形ABC。，点E,尸分别是AB,的中点（如图所示），设A5=〃，

AD=b,则石尸等于（）

D______________7c

—a+b

2

3.（2020,海南•高考真题）在ABC中,。是AB边上的中点,则CB

A.2CD+CACD-2CAC.2CD-CACD+2CA

、填空题

4.（2021•全国•高考真题）已知向量4=（2,5）力=（几,4）,若°〃6，贝1］彳=.

3

5.（2020・天津•高考真题）如图，在四边形A3CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=ABC,ADAB=--,

则实数％的值为,若MN是线段BC上的动点，且|MN|=1,则。的最小值为.

6.（2020•江苏•高考真题）在EIABC中，AB=4,AC=3,N8AC=90。,。在边BC上，延长40至l」P,使得AP=9,

^PA=mPB+（--m）PC（m为常数），则CD的长度是.

3

参考答案:

1.D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为a+/;+e=0,所以1+/?=-

即必+)2+2无方=/，即1+1+2」•/?=2,所以。=0-

如图，设。4=口。月=方,。0=乙

C

ADB

由题知,OA=OB=1,OC=^/2,^OAB是等腰直角三角形,

AB边上的高0。=立,A£>=走，

22

所以CO=CO+OO=应+变=逑,

22

tanZACD=-=-,cosZACD=2

CD3VTo

cos(a-c,b-c〉=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

2.A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,则AC为.ABC的中位线，

EF=-AC=-a+-b,

222

4

D,C

F

AEB

故选：A

3.C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2^CD-CA)=2CD-CA

故选:C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于2的方程，解方程即可求得实数％的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案为：—.

【分析】可得NBAD=120,利用平面向量数量积的定义求得彳的值，然后以点8为坐标原点，3c所在直

线为左轴建立平面直角坐标系，设点M（x,O）,则点N（x+l,O）（其中0WxW5）,得出。关于》的函

数表达式，利用二次函数的基本性质求得DA7.DN的最小值.

【详解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120;

ABAD=ABC-AB=^BC^AB^cos120

=Ax6x3x=-92=,

解得2=,，

o

以点3为坐标原点，3c所在直线为无轴建立如下图所示的平面直角坐标系xHy,

5

BC=6,.\C(6,0),

团又团AD=pC,则竽，设Af(x,O),则N(x+l,O)(其中04x45),

3行

DM=x——,—-—,DN=x——

I22JI2

DMDN==x2-4x+—=(x-2)2+—,

2l72

所以，当x=2时，DA1.DN取得最小值了.

、113

故答案为：—；--.

62

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于

中等题.

18一

6.二或。

【分析】根据题设条件可设*2即(2>0)，结合日加尸""也与民D,C三点共线，可求得力,再根

据勾股定理求出BC,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】回ARP三点共线，

团可设PA=XPD(X>0),

0PA=mPB+—J，

^APD=mPB+(^-m]pC,即m,

\ZJrLf——JTDH-------rC

3

若mwO且加工5,则民D,C三点共线，

Em(I-™]「即2=3,

--1-------=1o

22乙

回AP=9,团AT>=3,

6

AB=4,AC=3,ABAC=90°,

团5C=5,

设CD=x,/CDA=®,贝！|BD=5—x,ZBDA=7r-e.

团根据余弦7E理可得cos蚱2皿⑺=%，=2皿BD=提了,

团cos0+cos（"一e）=0,

2

x（5—x）—7ATJZH18

回"+</<\=。，解得％=”，

66（5-x）5

1Q

团8的长度为£.

当机=0时，PA=^PC,C,。重合，此时CD的长度为0,

当m=5时，PA=^PB,氏。重合，此时m=12,不合题意，舍去.

1Q

故答案为：0或

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出

PA=APD（/l>0）.

■考点突破

【考点1J平面向量的概念

一、单选题

1.（2024•广西南宁•一模）已知.ASC的外接圆圆心为。，且2AO=A2+AC,pd=kq,则向量C4在向量

CB上的投影向量为（）

A.-CBB.CBC.—CBD.-CA

4442

2.（2024•湖南永州•三模）在，ABC中，ZACB=12O,\AC\=3,|BC|=4,DCDB=0,则|AB+A4的最

小值为（）

A.65/3-2B.2V19-4C.373-1D.719-2

二、多选题

3.（2022•浙江•模拟预测）已知向量。=（0,1）,ZJ=（cos0,sin0）（0<6><^-）,则下列命题正确的是（）

A.若o_L。，则tan。=也

B.若B在a上的投影向量为-也。，则向量a与6的夹角为当

63

7

C.若6与“共线，贝也为［乎，半］或［一半，一半

D.存在仇使得卜+0=忖+忖

4.（2022•辽宁丹东•模拟预测）已知°,b，c为单位向量，若a+26+3c=0，则（）

A.|a-c|=2B.b=c

C.ab+bc=0D.3a+2b+c=0

三、填空题

5.（2022・辽宁，模拟预测）已知四棱锥P-ABC。的底面ABC。是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球。的

球面上，B4团平面ABC。，B4=AB=2,BC=20，点E在棱尸3上，且序=2傥，过E作球。的截面，则

所得截面面积的最小值是.

6.（2022•江苏•三模）己知向量。=（6,2）,与°共线且方向相反的单位向量/=.

参考答案：

1.A

【分析】根据题意，得到03=-0C，得到点。为线段3C的中点，得出ABC为直角三角形，且AOC为

等边三角形，进而求得向量值在向量C2上的投影向量.

【详解】由2Ao=A3+AC，可得(A8-AO)+(AC-AO)=OB+OC=0,

所以O3=-OC，即点。为线段8C的中点，

又因为sABC的外接圆圆心为O,所以ASC为直角三角形，所以|Q4|=JB4

因为|OA|=|AC|,可得|oA|=kc|=|oc|,所以二AOC为等边三角形，

故点A作AD13C,可得|CD|=|AC|cosNACB=<|AC],所以

因为向量C4在向量C2同向，所以向量CA在向量C8上的投影向量为;CB.

故选；A.

8

B.

A

2.A

【分析】以C为坐标原点，C5所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为〉轴建立如图所示的平面直角坐标

系，求得点。的轨迹方程，取瓦）的中点为求得M的轨迹方程，数形结合可求

【详解】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为无轴，过C垂直CB的直线为>轴建立如图所示的平面

直角坐标系,

则A（弓竽），8（4，。），由0008=0,可得。是以BC为直径的圆,

所以。的轨迹方程为（x-2）2+V=4,

取的中点为设M（x,y）,D（Xo，%）,

3+4

X=

2x0=2x-4

可得<,所以所以(2x—6)2+(2y>=4,

%+。y0=2y

y=

2

所以点M的轨迹方程为（了-3）2+/=1,圆心为8（3,0）,半径为1,

由AB+AO=2AM，所以|AB+AD|=2|所以|AB+AD1mhi=21AM1mto,

(一,-3)2+(竽—Op-1=3A/3-1，

所以IAM1mhi=|A"|-1=

所以IAB+AO1mto=66-2.

故选：A.

3.BD

【分析】由向量垂直的坐标表示可知A错误，由投影向量的定义可知B正确，由单位向量和共线向量的定

9

义可知C错误，由向量。与方同向，可求得tane=，2,可知D正确.

2

【详解】对于A,若a_Lb,则有V^cose+sin。=0，即tanO=-A错误；

对于B,同=6,6在.上的投影为一?口=彳，又因为忖=1,所以cos*4,

：.9弋2%,B正确；

对于C,若匕与〃共线，设6=（但"），所以有呼方=1，解得一冬

因为Z?=（cosasin8）（00，《»）,sin>0,:.九=与,所以石=（坐,孝），C错误；

对于D,若卜+0第+欠成立，则。与人同向，所以〃=私（丸>0）,即有夜=Xcos6，l=4sine,解得

tan0=故D正确.

2

故选：BD.

4.AC

【分析】对Q+2〃+3c=。移项后平方可得出：b•c=—1，a=1,c-a=-1f对于A,

。）={J+c-2a.c,代入即可判断A；由b.c=-l可判断B；由人.〃=1，b.c=-l可判断C；

由恸+2Z?+d=J（3〃+2/?+c'代入即可判断D.

【详解】因为a，b，c为单位向量，所以忖=W=H=1,由a+2Z?+3c=0，则a=-2>-3c,两边同时平方

得：a=4b+9c+12b-c^所以6・c=—1；由a+2b+3c=0，则3c=-a-2b,两边同时平方得：

9c之—(X+4Z?2+4b-a'所以〃•〃=1；由Q+2Z?+3c=0,则2〃=—a—3c，两边同时平方得：4//=a+9(?2+6c•a,

所以C,Q=—1;

对于A,卜—c|=J（a—c）=+——2a•c=2,故A正确；

对于B,因为〃.c=-l，所以瓦c为反向共线的向量，故B错误;

对于C,ab+bc=l-l=09故C正确；

对于D,pa+2Z?+c[=J(3a+2.+c)=y/9a2+4Z?2+c2+I2ab+6ac+4cb

=:9+4+1+12—6—4=4,所以D错误；

故选：AC.

16

5.—7C

9

【分析】将四棱锥尸-ABCD补形为长方体，再根据长方体里面的三角形关系求得0E=2叵，再根据当。瓦

3

10

截面a时，截面积最小求解即可

【详解】如图，将四棱锥尸-ASCD补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥尸-ABCD的外接球,

SPC为长方体的体对角线，回球心。在尸。的中点上，回外接球半径R=LPC=UBCZ+A笈+PA?=2,设

22

平面a为过E的球。的截面，则当。£0平面a时，截面积最小，由图可知0E=Job'+E保？=*,设截

3

面半径为广，则产=改一。£2=令，所以截面圆的面积为g万，即所得截面面积的最小值为gw

【点睛】本题主要考查了球的截面问题，重要思路是当OE0截面a时，截面积最小，同时也考查了立体几

何中的线段求解，需要利用直角三角形求解，属于中档题

a

【分析】利用与a共线且方向相反的单位向量为一百，即可得出答案.

【详解】a=(6,2),|«|=73674=2710,所以与a共线且方向相反的单位向量是:

a_(3^/10屈、

故答案为：［-何,J.

反思提升：

平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移

混淆.

(4)非零向量a与言的关系：言是与a同方向的单位向量.

11

【考点2】向量的线性运算

一、单选题

_____ULULULUUUU

1.（2024•广西•模拟预测）在ABC中，AB=4AD^CE=2ED,若BC=JLAE+从CD,则（）

2

A.九十〃=5B.A-jU=lC.加=6D.­=3

A

2.（2024•河北承德•二模）在中，。为中点，连接AD,设E为AD中点，且胡.=羽55=了，则

（）

A.4x+2yB.-4x+y

C.-4x-2yD.4y-2x

二、多选题

3.（2023•山东潍坊•模拟预测）已知点。为内的一点，D,E分别是3C,AC的中点，则（）

A.若。为中点，则AO=g（QB+OC）

31

B.若。为中点，则OBn7AB-彳AE

42

C.若。为0A8C的重心，贝！）OB+OE=0

D.若。为EABC的外心，且BC=4,则03."=-8

4.（2024・福建厦门•三模）已知等边「ABC的边长为4,点。，E满足8£>=2D4，BE=EC,AE与CD交于

点。，贝U（）

21

A.CD=-CA+-CBB.B0BC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC1=73

三、填空题

5.（2023•上海黄浦・三模）在：ABC中，NC=90,ZB=30,NBAC的平分线交8C于点。，若

AD=AAB+juAC（A.,jueR）,则一=.

6.（2024•山西太原•三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一

书作序时，介绍了“勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比"赵爽弦

图"，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，

且DF=AF,点尸在A3上，BP=2AP,点Q在DEF内（含边界）一点，若尸。=/LPD+PA,则几的最大

值为—.

12

参考答案：

1.C

【分析】将向量AEC。看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到8C=_3AE-28即

可.

【详解】依题意，AB=4AD，

所以BC=DC-=-CD-3AD=-CD-3（AE+ED）,

又因为CE=2E£），

所以BC=-CO-3AE-3EO=-8-3AE-。=-3AE-2cO，

所以4=—3,〃=—2,

23

所以2+〃=-5,2-//=-1,力〃=6,—=只有选项C正确；

〃2

故选：C.

2.D

【分析】利用平面向量基本定理将BE用BC,BA表示出来，再用向量的线性运算把BC用BE,BA表示即可.

【详解】由于BE=g（K4+BD）=：BA+：BC,所以8C=4BE-28A=4y—2x,

故选:D

3.ABD

【分析】由。为AD中点，结合平面向量的加法法则即可判断A,B；由重心的性质即可判断C；由三角形外

心性质结合数量积公式判断D.

【详解】对于A,因为。为AD中点，所以AO=OO=；（OB+OC）,故A正确；

13

对于B,由。为AO中点，则

1-I-I2*1al

OB=OA+AB=——AD+AB=——x-（AB+AC]+AB=-AB一一AC=-AB——AE,故B正确;

222、）4444

对于C,由。为S48c的重心，则根据三角形重心的性质得08=2E0，所以O8+OE=-OE，故C错误;

对于D,若点。为0A8C的外心，BC=4,则根据三角形外心的性质得OCBC，

^OBBC=(^OD+DB)BC=-^BC2=-8,故D正确.

4.ABD

【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出。为AE中点，。为8上靠近点。的四等分点,

对选项进行判断，得出答案.

【详解】

B

14

对于A选项，CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB,故A正确;

33、'33

对于B选项，因为，ABC为等边三角形，BE=EC,E为中点，所以

所以A07.BC,即AO.8C=0，所以BO-8C=(胡+A。1BC

=BA-BC+AO-BC=BA-BC=|BA||BC|cos600=4x4x1=8,故B正确；

对于c选项，设co=/ia),

9i222A2A

由(i)^CD=-CA+-CB=-CA+-CE,所以CO=—CA+一CE,

333333

OJOJ]Q

又O,A,E三点共线，所以<+『=1,解得2=；,所以。为CD上靠近点。的四等分点，故C错误；

111313

对于D,AE=-AC+-AB=-AC+-AD,设A£=rAO，贝1"40=—4。+—4。，

222222

所以AO=k1AC3+?A-r>,又o,CD三点共线，所以丁1+*3=1,解得f=2,

2t2t2t2t

所以。为AE中点，所以OA+O8+OC=Q4+(O2+OC)=Q4+2OE=OE=1AE,故D正确，

故选：ABD.

5.—/0.5

【分析】根据给定条件，探求出线段CD与。3的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.

【详解】在，ABC中，NC=90,ZB=30,则ZBAC=60,又AD平分/BAC,即有NC4O=ZDAB=30,

11I2

因此BD=AD=2CD,即有。。=万。*AD-AC=-(AB-AD)fAD=-AB+-AC,

12

ffi]AZ)=2AB+//AC,且A民AC不共线，于是；1=耳,〃=1，

故答案为：;

DP2

【分析】先利用向量线性运算得到AQ.町作出辅助线，得到上MH,且而方从而得到答案.

【详解】PQ=APD+PA^PQ-PA=A.PD=>AQ=APD,

15

取DE的中点连接AW,

因为BD=DE,故BD=2HD,

又BP=2AP,所以北=黑=］，故DP//AH,且名■=1，

ABBH3AH3

3

所以2的最大值为:，此时点。与点H重合.

2

3

故答案为：；

反思提升：

1.（1）解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反

向量将加减法相互转化.

（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及

三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向

量线性表示.

2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加

法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

【考点3】共线向量定理的应用

一、单选题

1.（2024•全国,模拟预测）己知平面上点O,A,8满足|。4卜|。4=2,且|。4+。5|=|。4|,点°满足

\OC-OB\=^-,动点P满足=则|。尸|的最小值为（）

A.叵B.巫C.1D.1或叵

777

22

2.（2024•浙江台州•二模）设耳，耳是双曲线C：+-当=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，点M,N分别在双

ab

rr

曲线。的左、右两支上，且满足NgN=§,则双曲线。的离心率为（）

NF2=2MFX,

7厂5

A.2B.—C.D.一

32

二、多选题

3.（2022•全国•模拟预测）如图，在等腰梯形A3CD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是BC的中点，连接

AE,8。相交于点尸，连接CR则下列说法正确的是（）

16

A.AE^-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

4255

—1—2——1—3—

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

4.（2024•河南•模拟预测）已知。是坐标原点，平面向量Q=OA，b=OB，c=OC，且〃是单位向量，a,b=2,

4•:=1,则下列结论正确的是（）

.21

B.若A,B,。二点共线，则

C.若向量b—q与c-Q垂直，则1+c—2M的最小值为1

D.向量与b的夹角正切值的最大值为史

4

三、填空题

UUUuuuUUULILIU4

5.（2023・上海黄浦•一模）已知四边形A8CZ）是平行四边形，右AD=2£）E，BF〃BE，AF-BE=0,且

UUUuuu

AF-AC=60，则AC在AF上的数量投影为.

6.（2024,安徽淮北•一模）已知抛物线/=2/（2>0）准线为/,焦点为F,点A,B在抛物线上，点C在/

上，满足：AF=AFB，AB=JUBC,若4=3,则实数〃=.

参考答案：

1.A

【分析】由题设三个条件依次得到0402==,推得点C的轨迹是以点B为圆心，叵为半径的圆，再得

点P,A,C三点共线，通过建系将问题转化成由点4卜1,百）向圆做切线，求原点到该切线的最短距离问

题.

【详角单】由题意，OA2=（OA+OB）2=OA2+OB2+2OA-OB

=4+4+2x2x2xcosOA,OB=4,所以cosOA,OB=一；.

2兀

因为OVQAOBVTI,所以。A,02=7.

又|oc-02卜浮，即|BC|=g,所以点C的轨迹是以点B为圆心，理为半径的圆.

17

如图，以。为坐标原点，以05的方向为％轴正方向，建立平面直角坐标系.

易知3（2,0）,石），则点C的轨迹方程为（尤-2）2+/=,

由OP=〃M+（1—得点P,A,C三点共线.

过点A作圆3的切线，设其方程为y-6=Mx+l）,即&+6=0.

由点8（2,0）到该切线的距离为叵，可得笆窣上画=@,解得人一走或左=一走.

7717F725

由图知，当左=-1时，网最小，切线的方程为屈+2y-百=0,

此时耳的最小值即为点O到切线的距离，即|。尸|一上喝一里一回

।1mhi,3+4V77

故选：A.

2.B

【分析】设Nf；与“鸟的交点为尸，进而根据下向量关系得，叫再结合双曲线的性

791n

质即可得|尸工|=耳（2°+同，\PN\=^（2a+2x）,进而结合余弦定理求得x=，最后在△口物中利用余

弦定理求得7〃=3c,进而可得答案.

【详解】解：如图，设NE与“的交点为尸，\MF^x,

因为%=25，所以|N耳=2防|=2尤，

所以，由双曲线的定义可知：|M/^=|MF；|+2a=2a+x,\NFl\=2a+\NF2\=2x+2a,

因为入月=25，所以NF/MK，

所以NF『S.RMP,ZFlMF2=ZMF2N=,

2992

所以附|=1M用=耳（2"+无），冲|=总附=耳（20+2%）,

TT

所以，在，PN8中，ZPF2N=ZMF2N=-,

18

照「+内甘_曲「兀J

所以，由余弦定理有：cos/P《N=

2|尸巴卜|西川i2

代入|尸马=^（2〃+“，|9|二中2〃+2耳/叫卜2元，整理得3丁—10改=0,

解得%=g[,X=0（舍），

所以，阿周=,限马=2[+%=与〃，闺司=2c,

所以，在△耳加工中，由余弦定理有：cos/用吟=笆雪龙町手丛=〈,

2\FYM\-\F,M\2

代入数据整理得：7a=3c,

c7

所以，双曲线的离心率为：e=-=-.

a3

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到NFiPs.RMP,进而在PN8中结合余

弦定理求得四用=不。.

3.ABD

【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.

【详解】对于A选项，AE=AB+BE=AB+~^C=AB+-1-AB+AD+DC\

=AB+-\-AB+AD+-AB\=-AB+-AD,故A选项正确；

对于B选项，因为8,F,。三点共线，设/=尤凝+（1-到显），由於〃怠，所以存在唯一实数入，使

得后=兄京，结合A可知，XAB+（1-X）AD=^AB+^AD\^L-^AAB=^-1+AAD,因为

-43t3T2T

A民AO不共线，所以1=%=，所以.二人加三A。，故B选项正确;

-2-l+x=0355

12

~~—>2~'2-'

对于C选项，结合B,BF=AF-AB=--AB+jAD,故C选项错误；

19

—>—>—>—>1—>—>Q—>O—>1—>Q—>

对于D选项，结合B,CF=CD+DA+AF=--AB-AD+-AB+-AD=—AB一一AD,故D选项正确.

255105

故选：ABD.

4.AD

【分析】根据给定条件，用坐标表示向量。，仇再结合向量的坐标运算逐项计算判断即得.

【详解】在平面直角坐标系中，令a=(L0),Z?=(%,b),c=(X2，c),

由〃心=2，得石=2,则匕=(2*),。=§,。)，

对于Aa-c=(g,-c),因此|〃一°|==|c|,A正确;

对于B,由A,&C三点共线，得。4=(1-4)。3+20C,即(1,0)=(1-4)(2,b)+2(；,c),

1212

于是2(1—X)H—4=1,解得4=—,即〃=——c,B错误；

2333

对于C,b—a=(l,b\c—a=(——,c),由向量b—〃与°一〃垂直，得be=，

而Z7+c—2a=(g,b+c),则|b+c—2。|=J'+(A+c,=+Z?2+c2+2bc>,

当且仅当6=c时取等号，C错误；

对于D,令向量力一〃与人的夹角为6,b-a=(l,b),当人=0时，0=0,tan6=0,

b

当bwO时，不妨令6>0,D(l,b),则b—a=3=/BOD,显然tanNDOA=b,tanZBOA=—,

2

tanZD