2025年高考数学一轮复习讲义：任意角和弧度制及三角函数的概念（原卷版）

专题20任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】象限角及终边相同的角..............................................4

【考点2】弧度制及其应用....................................................6

【考点3】三角函数的定义及应用..............................................8

【分层检测】................................................................9

【基础篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培优篇】.................................................................13

考试要求：

1.T解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的喘点旋转所形成的图形.

、大!按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

Q)分六［按终边位置不同分为象限色和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={四夕=a+

k360。，左GZ}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于坐/旨的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

|a|=:(弧长用/表示)

角a的弧度数公式

角度与弧度的换算1。—180皿1rad一

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式

3.任意角的三角函数

⑴定义

如图，设a是一

个任意角，它的

前提*4,

终边与单位圆交

于点P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函数,记作sina,即sina=y_

余弦工叫做a的余弦函数,记作cosa,即cosa=1

正切)叫做a的正切函数，记作tana,即tana=、(xW0)

定义

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上

三角函数的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们

统称为三角函数

(2)定义的推广

2

设尸(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0),那么sina=*cosa

=',tana=%W0).

常用结论

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致,

不可混用.

3.象限角

第一象限角｛«|2ATT<a<2fcTT,k&Z

la\2kk&z]

第二象限角7T4-乎<a<2kTT+7T,

(a,kEz]

第三象限角尿TT+"<ot<2A：Tr+等

殊L4e

F十<aFZ

第四象限角la<2

4.轴线角

.真题自测

4

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)已知函数〃x)=sin3+0)，3>0)在区间］口单调递增，直线x=£和丁=等

为函数y=/(x)的图像的两条相邻对称轴，则/

1

A.B.——C.

222

2.(2022•全国•高考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的''会

圆术〃，如图，A5是以。为圆心，0A为半径的圆弧，。是A3的中点，。在AB上，CDLAB.”会圆术〃

2

给出A3的弧长的近似值s的计算公式：S=AB+^CD-.当Q4=2,NAO3=60。时，s=()

OA

3

A1”3曲11-4占C9-3百D9-4g

B.

'-22,-2---2-

二、填空题

3.（2023•北乐,IWJ考真题）已知命题P：若a,£为第一象限角，且。>4，则tana>tan#.能说明〃为假命题

的一组火尸的值为a

4.（2023•全国•高考真题）已知函数〃x）=sin（0x+9）,如图A,B是直线y=1■与曲线y=/（%）的两个交

点，若|A8|=g贝4（兀）=

6

5.（2023■全国■高考真题）若ee（0，W；tand=g,贝!|sin6-cos6=

6.（2021•北京•高考真题）若点A（cosO,sin0）关于y轴对称点为B（cos0+g）,sin（e+g）），写出6的一个取值为

o6

考点突破

【考点1】象限角及终边相同的角

一、单选题

1.（23-24高一下•河南•阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角。的集合是（

A.scc|----F2EWa<（2左+1）兀，攵£Z}B.------FEWaW（左+1）兀,左£Z

a|一个'+2左兀<a<（2"1）兀，左£ZD.（a|-e+2%兀<a<2kn,kGZ

C.

4

2.（2022•全国，模拟预测）己知角a第二象限角，且coas'ucoas,,则角n彳是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

二、多选题

3.（23-24高一上•吉林长春•期末）下列说法正确的是（）

a

A."a为第一象限角"是为第一象限角或第三象限角"的充分不必要条件

兀1

B.〃a=一+2E,左eZ"是"sina=—〃的充要条件

62

C.设=:，攵£Z,,N=，za=?«£Z,,则〃是"OwN〃的充分不必要条件

Q

D."sin。＞0"是"tan：＞0"的必要不充分条件

4.（22-23高二下•吉林长春•期末）下列说法正确的是（）

A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为岳

B.若贝！]Jl-2sin（■!+＜/]sin-a）=sina-cosa

a

c.已知a为锐角，sina=.角夕的终边上有一点P（2,l）,则tanQ+0=l

D.在-360。~360。范围内，与T10。角终边相同的角是310。和-50。

三、填空题

5.（2022•河南开封•三模）在平面直角坐标系xOy中，角a与角£均以Ox为始边，它们的终边关于直线＞=x

对称.若sina=g,则sin（a-£）=.

6.（2022•全国•模拟预测）已知a的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，sin?=@，

23

则tana的值为.

反思提升：

（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的

所有角的集合，然后通过集合中的参数网左©Z）赋值来求得所需的角.

n

（2）确定ka,不kGN*）的终边位置的方法

nn

先写出ht或强勺范围，然后根据上的可能取值确定ka或岩勺终边所在的位置.

K.K

【考点2】弧度制及其应用

一、单选题

1.（2023•陕西安康•三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托

5

上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端

所围成圆的直径是6cm,底部所围成圆的直径是2cm,据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆

心角为（）

2.（2024•全国•模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖

等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏

派砖雕被称为"南方之秀"，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑

中.图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABC。，如图（2）,砖雕厚度为6cm,AD=80cm,C£>=3AB，

CO所对的圆心角为直角,则该梅花砖雕的表面积为（单位：cm2）（）

图⑴图⑵

A.3200兀48071+960C.688071+960D.368071+960

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点4（1,0）,以无轴的非负半轴为始边作锐

7T

角a,6，a-（3,它们的终边分别与单位圆相交于点A，A，P.若a=；，则下列说法正确的是（）

B.当〃时，扇形0A［的面积为B

66

6

C.当月=?时，四边形。针居的面积为2+逐一行

48

D.四边形出面积的最大值为1

4.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）质点A,B在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆

时针匀速圆周运动，点A的起点在射线>=氐（x»0）与圆。的交点处，点A的角速度为lrad/s,点2

的起点在圆。与x轴正半轴的交点处，点8的角速度为2rad/s,则下列说法正确的是（）

A.在2s末时，点B的坐标为（-cos4,-sin4）

7T

B.在2s末时，劣弧A3的长为2-耳

C.在5兀s末时，点A与点5重合

D.当点A与点8重合时，点A的坐标可以为，J,#]

三、填空题

5.（2023・上海普陀•一模）若圆。上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆

心角的大小为.

6.（2024•上海黄浦・二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段尸与分别以

OC,OD为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点C,。是线段A3上的动点，点。为线段AB,CD的中

点，点区尸在以A3为直径的半圆弧上，且均为直角.若钻=1百米，则此步道的最大长度为一

百米.

E厂……

ACODB

反思提升：

应用弧度制解决问题时应注意：

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【考点3】三角函数的定义及应用

一、单选题

7T

1.（2024・湖北•模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角a（0<a<5）交单位圆于A

点、顺时针旋转角伙:</<勺交单位圆于8点，若A点的纵坐标为各，且ACMB的面积为也，则8点的纵

42134

7

坐标为（）

A.一立

11抗R7A/2n2也

RD.----------------U.-------------U.------------

2262613

2.（2024•新疆乌鲁木齐二模）已知角以0°<夕<360。）终边上A点坐标为（sin310o,cos310。），贝何=（）

A.130°B.140°C.220°D.230°

二、多选题

3.（2024•广东广州•模拟预测）下列命题正确的是（）

A.P："a是第二象限角或第三象限角"，q："cosc<0",则。是4的充分不必要条件

B.若a为第一象限角，则Jose+sine=也

A/1+COS2<Zvl-cos2«2

C.在AABC中，若tan4tanB>l,则AABC为锐角三角形

D.己知且cos2a=避则tana=——

I4）32

4.（2024•河北保定•二模）一般地，任意给定一个角aeR,它的终边OP与单位圆的交点尸的坐标，无论

是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的，所以点尸的横坐标尤、纵坐标y都是角a的函数.下面给出这些

函数的定义：

①把点P的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sina,即丫=$也。；

②把点P的横坐标龙叫作a的余弦函数，记作cosa,即》=30；

③把点尸的纵坐标y的倒数叫作a的余割，记作csca,即;=csca；

④把点P的横坐标尤的倒数叫作a的正割，记作seca,即工=seca.

C.函数/(x)=secx的定义域为左eZ}

D.sec2cif+sin2a+esc2a+cos2a>5

8

三、填空题

5.（2024・全国,模拟预测）在平面直角坐标系中，若角a-T1T的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经

过点尸（—3,—4）,贝卜211（20+5）=.

3

6.（2023■江西赣州・二模）已知6为锐角，满足sin20+sindcosd-3cos2，=M，贝l]tan6=.

反思提升：

1.三角函数定义的应用

（1）直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确

定这个角的三角函数值.

（2）已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函

数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

（2冗2兀）

1.（2023•安徽•模拟预测）已知角a终边上有一点尸[sin?-,cos工贝无一々为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

2.（23-24高一上•山东荷泽・期末）集合A=,8=[xx=E+],左ez},C=AQB,则集

合C中的元素个数为（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2024•湖南・一模）出土于鲁国故城遗址的"出廓双龙勾玉纹黄玉璜"（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，

呈扇面状，黄身外楼空雕饰"S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图

。3

2)：ABq8cm,AD«2cm,AO«5cm,若sin37°«—,兀。3.14,则璜身（即曲边四边形ABC。）面积近似为（）

图1图2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

9

4.（2024•北京房山•一模）己知角a的终边经过点（3,4）,把角a的终边绕原点。逆时针旋转得到角尸的

终边，则sin/?=（）

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

二、多选题

5.（2022•福建,三模）若a,尸满足sina=-、，cos（<z—/?）=—,则月可以是（）

7171571

A.lB.一C.—D.总

626

6.（23-24高一上•吉林延边•期末）已知函数〃了）=108小-2|+2（。>0且。*1）的图象经过定点A，且点A在

角。的终边上，则sin6的值可能是（

.2aR3岳D.平

1313

7.（22-23高一下•浙江杭州•期末）如图,质点A和B在单位圆。上逆时针作匀速圆周运动.若A和B同时出

发，A的角速度为lrad/s,起点位置坐标为,8的角速度为2rad/s,起点位置坐标为。,0）,则（）

A.在1s末，点8的坐标为（sin2,cos2）

TT

B.在Is末，扇形A03的弧长为

7兀

C.在末，点A8在单位圆上第二次重合

D.”403面积的最大值为g

三、填空题

8.（2021•四川泸州•一模）在平面直角坐标系中，角。与角夕均以以为始边，它们的终边关于>轴对

称.若tana=2,贝|tan（a-/）=.

2

9.（2023•上海•模拟预测）在平面直角坐标系工。，中，角。以。x为始边，且sina二4.把角。的终边绕端点

。逆时针方向旋转3弧度，这时终边对应的角是尸，贝|cos£=；

10.（2024•湖北•模拟预测）函数/（x）=sin（s+9）（0>O,O<9<n）,设T为〃x）的最小正周期，若

10

贝”9=.

四、解答题

11.（2021•上海闵行,二模）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30。，现在花

圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲

线DE表示（D、E两点分别在腰A3、AC上，以下结果精确到0.01）.

（1）如果曲线。E是以A为圆心的一段圆弧（如图1）,求的长；

（2）如果曲线OE是直道（如图2）,求AD+AE的最小值，并求此时直道DE的长度.

12.（2023•贵州・模拟预测）如图所示，角。的终边与单位圆。交于点尸［g,曰］,将OP绕原点。按逆时针

方向旋转g后与圆。交于点Q.

2

⑴求地;

⑵若的内角B,所对的边分别为“，b,c,=y/2,b=2,sinA=\y^,求工

AABCA,Ca18c.

【能力篇】

一、单选题

1.（23-24高三上•湖南长沙,阶段练习）"sin20>0且cos6<0"是"6为第三象限角"的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

2.（2024•安徽芜湖•二模）在平面直角坐标系xOy中，角。以坐标原点。为顶点，以x轴的非负半轴为始边,

其终边经过点Af（a,6）,|。叫=0）,定义“6）=*,g（®）=吐巴,则（）