2025年高考数学一轮复习讲义：向量法求空间角（（解析版））

专题41向量法求空间角（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................11

【考点1】异面直线所成的角..................................................11

【考点2）直线与平面所成的角................................................19

【考点3］平面与平面的夹角..................................................30

【分层检测】...............................................................42

【基础篇】.................................................................42

【能力篇】.................................................................57

【培优篇】.................................................................63

考试要求：

1.掌握空间向量的应用.

2.会用空间向量求空间角和距离.

知识梳理

1.两条异面直线所成的角

设异面直线/1,/2所成的角为仇其方向向量分别为"，P,

...|u-v|Izrol

则ncos6=|cos〈〃，。〉尸|而尸面面

2.直线和平面所成的角

直线AB与平面a相交于3,设直线A3与平面a所成的角为仇直线A3的方向向量为〃，平

面a的法向量为〃，则sin6=|cos〈〃，n)尸|遍卜黑.

3.平面与平面的夹角

⑴两平面的夹角：平面a与平面仅相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。

的二面角称为平面a与平面少的夹角.

(2)两平面夹角的计算：设平面a,4的法向量分别是"2,平面a与平面”的夹角为仇则

ni-ii2[nrnl

COS6=|COS〈〃7,"2〉I一2

\ni\\n2\

4.点尸到直线/的距离

设A>=a,u是直线I的单位方向向量,则向量轮在直线I上的投影向量恁=3〃)〃.在RtAAPQ

中，由勾股定理，得PO=V|#|2—I通2.

5.点尸到平面a的距离

若平面a的法向量为n,平面a内一点为A,则平面a外一点P到平面a的距离d=力•白=

如图所不.

6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.

|常用结论

2

1.线面角。的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量〃所成角的余弦值的绝对值，即sin

O=|cos〈a,n)I，不要误记为cos6=|cos〈a,n)|.

TT

2.二面角的范围是[0,7i],两个平面夹角的范围是0,2.

-真题自测

一、解答题

L(2024•全国•高考真题)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边形所

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=26M为AD的中点.

⑴证明：氏0//平面0)£；

⑵求二面角/-E的正弦值.

2.(2023•全国•高考真题)如图，在正四棱柱AB。-A耳CQ中，AB=2,"=4.点人也©。分别在

棱AAi,BB{,CC\,DD］上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(2)点P在棱8月上，当二面角尸-旬4-2为150。时，求82P.

3.（2023•全国•高考真题）如图，三棱锥A-3CD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,

E为8C的中点.

3

AF

(1)证明：BC±DA；

⑵点尸满足斯=D4，求二面角。-AB-/的正弦值.

4.(2022•全国•高考真题)如图，尸。是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中点.

(2)^ZABO=ZCBO=30°,尸0=3,PA=5,求二面角C-的正弦值.

5.(2022•全国•高考真题)如图，四面体ABCD中，AD_LCD,AD=CD,ZADB=/BDC,E为AC的中点.

⑴证明：平面5ED_L平面AC£＞；

(2)设A3=3。=2,/ACB=60°,点尸在8。上，当_AFC的面积最小时，求CP与平面A5D所成的角的正弦

值.

参考答案：

L(1)证明见详解；

(2)逑

13

【分析】(1)结合已知易证四边形3coM为平行四边形，可证物"/CD,进而得证；

(2)作交AD于。，连接OF,易证OB,OD,O/三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即

可求解.

4

【详解】（1）因为3C〃AD,EF=2,AD=4,M为A£）的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形为平行四边形，所以BM//CD,又因为劭平面CDE,

CDu平面CDE,所以8M〃平面CDE；

（2）如图所示，作8。，仞交4。于。，连接0/，

因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合（1）3coM为平行四边形，可得RW=CD=2,又AM=2,

所以一ABM为等边三角形，。为A"中点，所以0B=g,

又因为四边形ADEF为等腰梯形，”为AD中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形£KWD为平行四边形，FM=ED=AF,

所以ZXAFM为等腰三角形，ASA/与△AEM底边上中点。重合，OF1AM,OF=->JAF2AO2=3-

因为O笈+Or=B尸，所以O3_LOP,所以03,020厂互相垂直，

以08方向为x轴，OD方向为V轴，OF方向为z轴，建立。-孙z空间直角坐标系,

*0,0,3）,5（A/3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（->/3,1,0）,BF=（-73,0,3）,

BE=卜也,2,3）,设平面BR0的法向量为记=Oi，yi，Zi）,

平面EM?的法向量为元=02，先*2），

则，即।八，令玉=石，得M=3，Z=1,即记=（百,3,1）,

m-BF=0〔一据%+3zi=0

n•BM=0—V3X+必=0r-

则，即-用9+2-0'”=6得%=3,z「l

〃-BE=0

/i-\m-n1111

即”=（后3,-1bc°sm,"=丽=屈・而二卫'则sin〃〃=若AR,

故二面角b—氏0-£的正弦值为生8.

13

(2)1

5

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设P(0,2")(0WX<4),利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【详解】(1)以。为坐标原点，C2C&CG所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),C2(0,0,3),蛆(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

...32G=(°，—2,1),44=(0,-2,l),

又与G，42不在同一条直线上，

,52c2〃4。2.

(2)设尸(0,2,4)(044),

则4c2=(-2,—2,2),尸G=(0,-2,3-2),D2C2=(-2,0,1)，

设平面尸4G的法向量〃=(兀y,2),

n,A2c2=-2x-2y+2z=0

?

、(n-PC2=-2j+(3-2)z=0

令z=2,得y=3-4%=几-1,

YI—(A-1,3—A,2),

设平面4c2。2的法向量根=(a,b,c),

m-AC=-2a-2b+2c=Q

则?，

m•D2c2=-2a+c=0

令a=l,得b=1,c=2,

6

=2),

n-m6=|cosl50°|=^-,

cos(n,m

“加76^4+("1)2+(3—4)2

化简可得，22-42+3=O,

解得a=1或X=3,

尸(0,2,1)或P(0,2,3),

:.B2P=1.

3.⑴证明见解析;

喈.

【分析】(1)根据题意易证3C_L平面ADE,从而证得3C_LZM；

(2)由题可证平面BCD,所以以点E为原点，即,即,胡所在直线分别为x，XZ轴，建立空间直角

坐标系，再求出平面ABRA5尸的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.

【详解】(])连接AE,Z)E,因为E为BC中点，DB=DC,所以①，

因为DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60,所以ACD与△ABD均为等边三角形，

:.AC=AB,从而AE_LBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE,

所以，3C_L平面ADE,而ADu平面ADE,所以3C_LD4.

(2)不妨设ZM=D3=OC=2,BDLCD,BC=2,42,DE=AE=s/2.

AE2+DE2=4=AD2,：.AE±DE,又:AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面BCDAEJ_平面BCD.

以点E为原点，ERE民创所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设£>(72,0,0),4(0,0,伪,5(0,也0),E(0,0,0),

设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为%=(占,Z]),%=优，%，Z2)，

7

二面角O-A3—尸平面角为氏而A8=(o,0,-⑹,

因为跖=D4=卜形,0,及)，所以尸卜顶,0,0),即有卜0,0,0卜

,取力=1,所以a=(0,1,1),

所以，|cos(9|=，从而sin0=

所以二面角AB-尸的正弦值为且.

3

4.⑴证明见解析

【分析】(1)连接30并延长交AC于点D,连接CM、PD,根据三角形全等得到OA=03,再根据直角三

角形的性质得到49=DO,即可得到。为3。的中点从而得到OE〃尸D,即可得证；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基

本关系计算可得.

【详解】(1)证明：连接30并延长交AC于点。，连接Q4、PD,

因为尸。是三棱锥P—ABC的高，所以尸O_L平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOA三APOB,即。4=03,所以=

又AB/AC,即/54C=90°,所以/。45+/。4。=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以/OZM=NQ4D

所以AO=OO,即AO=DO=OB,所以。为8。的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD,

又OE<Z平面PAC,9<=平面尸4?,

所以0E//平面PAC

8

p

(2)解：过点A作上〃OP,如图建立空间直角坐标系,

因为PO=3,AP=5,所以Q4=,Ap2_p02=4,

XZOBA=ZOBC=30°,所以BD=2OA=8,贝！）A£>=4,AB=443,

所以AC=12,所以。（2百,2,0）,B（4A0,0）,P（2瓜2,3）,C（0,12,0）,

所以

贝I]AE=（3G,1,£|,AB=（4若,0,0）,AC=（0,12,0）,

一o

/、n-AE=3y/3x+y+—z=0

设平面AES的法向量为〃=（%,y,z）,贝“2,令z=2,贝曲二一3,兄=0,所以

n•AB=4G尤=0

n=（0,-3,2）；

.,/、HI,A.E=3y/3（i+Z?H—c=0

设平面AEC的法向量为加=（〃也c）,贝叫2,

m-AC=12b=0

令〃=6，则c=—6,b=0,所以用=（有,0,-6）；

/-\n-m-124A/3

所以8虫⑺=标/IT一寸

9

⑵b与平面由所成的角的正弦值为哈

【分析】（1）根据已知关系证明△■噂△CBD,得到AB=CB,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系,

结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.

【详解】（1）因为AD=CD,E为AC的中点，所以ACLDE；

在△ABD和MBD中，因为AD=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以所以A5=CB,又因为E为AC的中点，所以ACL3E；

又因为OE,BEu平面BE。，DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因为ACu平面AC£>,所以平面BED_L平面ACD

（2）连接E7L由（1）知，ACmBED,因为EFu平面BED,

所以AC，£F,所以Z,c=；ACEP,

当时，最小，即—AFC的面积最小.

因为所以CB=AB=2,

又因为NACB=60。，所以VA3C是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=6,

因为ADLCZ）,所以。E=：AC=1,

在,DEB中，DE2+BE2=BD2,所以

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系石-孙z,

则4（1,0,0）,网0,百,0）,。（0,0,1）,所以4£>=（-1,0,1）,钿=卜1,石,0）,

设平面ABD的一个法向量为n=（x,y,z）,

n-AD=-x+z=Q

则取y=6，则〃=卜，后3）,

nAB=-x+y/3y=0

又因为CGI,。,。）],#,],所以CF=jl,亭,:

几.CF

所以侬〃,庭=丽

设CF与平面所成的角为

10

所以sin0=|cosn,Cp|=，

所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为生叵.

7

【考点1］异面直线所成的角

一、单选题

1.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体中，已知48=42=4^=1,

ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线A。与8。所成的角为90。

B.线段AC的长度为四

C.直线AC与B耳所成的角为90。

D.直线与平面ABC。所成角的正弦值为亚

3

2.（2023•云南保山・二模）已知正方体ABC。-A与G2,Q为上底面所在平面内的动点，当直线

与DA,的所成角为45。时，点Q的轨迹为（）

A.圆B,直线C,抛物线D.椭圆

二、多选题

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）如图，在边长为1的正方体A3CD-A与G2中，点P为线段AC上的动点,

则（）

11

A.不存在点尸，使得APLCR

B.RP-AP的最小值为-g

C.当AP=gAC时，DtPl.AP

TT

D.若平面A8CD上的动点〃满足/加2c=7,则点Af的轨迹是直线的一部分

6

4.（2025・甘肃张掖•模拟预测）如图所示，四面体S-ABC的各棱长均为4,E,尸分别为棱AB,BC的中点，M

为棱SC上异于顶点的点，则以下结论正确的为（）

A.EFLSB

B.直线SE与BC所成角的余弦值为由

6

C.四面体S-ABC的外接球体积为8扃

D.平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8

三、填空题

5.（2024・辽宁抚顺・三模）在直三棱柱ABC-ABC中，AB1AC,AB=AC^4^=6,E为CQ的中点,

点F满足AF=2FAi,则异面直线EF,BQ所成角的余弦值为.

6.（2023•河南开封•二模）己知矩形ABC。，CD=4AO=4石，过CD作平面a,使得平面ABCD_La,点

TT

P在a内，且AP与CD所成的角为则点尸的轨迹为,3尸长度的最小值为.

参考答案：

1.D

【分析】在平行六面体ABCL）-A瓦G2中，取至=4,">=6/14,=c,利用空间向量的线性运算及数量积

12

运算，逐一分析选项，即可得出答案.

【详解】在平行六面体A3CD—A瓦GQ中，令=AD=b9AAi=c,

由"=4。=朋=1,ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,

得|〃|=|Z?|=|c|=l,a-b=b-c=a-c=^,

对于A,显然4。=。+6一。，BD=-a+b，

贝!J4。•BD=(a+/?—c)•(-a+〃)=-a2+b?+a.C-b，C=b,即AC_LBD,

因此直线AC与80所成的角为90。，A正确；

对于B,|AC『=（a+匕一右）2=。2+^+，一》・。=2,即从4=夜，B正确;

对于C,B耳=（a+b—c—ci-c-\-h-c一c2=0?即ACJ_BB、,

因此直线AC与24所成的角为90。，C正确；

对于D,在平行六面体ABC。-A耳G2中，四边形"CD是菱形，即AC/BD,

又AC_L8。，ACnAC=C,ACACu平面4c4,于是平面48,

又BDu平面ABCD,则平面\CA±平面ABCD,

连接AC交3。于点0,在平面AG4内过点A1作AELAC于点石，如图，

由平面ACA平面ABCD=AC,因此平面ABC。，即直线A。与平面ABCD所成角为N41cA,

AC=a+b-贝1&0|2=卜+6『=力+62+242=3,即|AC|=G,

1_73

由4V/8用及选项C知，ZAA,C=90°则sin/AC4=D错误.

出一3

故选：D

2.C

【分析】建系，利用空间向量结合线线夹角分析运算.

【详解】以点。为原点，DA，DC，DR为x,y,z的正方向，建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为1,则。（0,0,0）/（1，。，1），设Q（%y,i）,

13

可得£>Q=(x,y,l),ZM,=(1,0,1),

因为直线DQ与DA1的所成角为45。,

DQDA=¥，化简可得丁=2尤,

则cos45°=

所以点。的轨迹为抛物线.

3.BC

【分析】A选项，根据线面垂直的性质证明当尸为AC的中点时APLCR；B选项，设A户=4AC，然后利

用向量的线性运算和数量积的运算律得到DEAP=N（3N-2）,最后求最小值即可；C选项，利用空间向量

再证明即可；D选项，建立空间直角坐标系，然后根据=m列方程得到点M的轨迹方程，即可得到

点〃的轨迹.

A选项：当p为A。的中点时AP_LC£\,理由如下：

由图可知，当尸为AC的中点时APu平面AAG。，

因为ABCD-ABCiR为正方体，所以45，平面CDRG，DC,±CZ）,,

因为CD|U平面CD2G，所以小＞_L。，

因为ADDQ=D,AZZOGu平面ABC。，所以C2_L平面,

14

因为APu平面AgCQ,所以4尸，故A错误；

B选项：设4尸=彳4。，2e[o,l],

贝|J2尸=RA+A尸=一+彳（一胡+AB+AD）=（%-1）A。-2AAi+%A3,

AP=A\+\P=A\+A,{-AAX+AB+AD^=（1-/）AAl+A,AB+AAD,

11

所以。P-AP=〃3X-2）,当X=§时DPA尸取得最小值，最小值为一屋故B正确；

2uur1uLim21012uunuuniumr7uun2uuin10ruun224

C选项：当AP=]AC时，DlP=--AD--AAi+-AB,AP=-AAi+-AB+-AD,DtP-AP=----+-=0,

所以RPLAP,故C正确；

D选项：如图，以D为原点、,分别以D4，DC,£»2为x,%z轴建立空间直角坐标系，

2（0,0,1）,C（0,l,0）,设“（苍y,o）,xe[0,l],好[0,1]则。阳=（苍"-1）,D1C=（O,l,-l）,

兀

D,|01+y+l|173

当平面ABC。上的动点M满足/MRC=B时，cosDXM,DXC=-T-=,/—==,

整理得\+（＞一2）2=1，所以点"的轨迹为椭圆的一部分，故D错.

3

故选：BC.

4.ABD

【分析】用向量的数量积可判断A,用向量的夹角余弦公式可判断B,把正四面体放入正方体中，求外接球

体积，可判断C,把四面体S-ABC侧面展开，即可求得平面跳河截四面体所得的截面图形的周长最小值，

进而判断D.

JT

【详解】由题意坂=3E=2,SB=4,ZSBA=ZSBC=-,

所以斯•SBMCB尸-8£）・52=2尸-52-2石-52=2义4乂（：0$二一2*4'8$工=0,

''33

所以EFLS3,故A正确；

因为△&48为等边三角形，E为棱的中点，所以SEL",

SE=Q4-方=25同理M'BC,SF=2y/3,BC=二4,

因为分别为棱AB,BC的中点，所以匹=；AC=2,

EF//AC,

TT27r

又VA5C为等边三角形，所以ZACB="ZEFC=­I>

SE-BC=(^SF+FE^-BC=SF-BC+FE-BC=0+2x4x^-

15

SF-RCI-4I

设直线SE与BC所成角为e,贝"ose=」_卜一，故B正确;

S£BC|2V3X4|6

把四面体S-ABC放入正方体中,

则正方体的面对角线长度等于四面体S-ABC的棱长4,

所以正方体的棱长为2行，正方体的体对角线长为2"，

正方体的外接球半径为布，正方体的外接球体积为:兀=8府,

即四面体S-ABC的外接球体积为8面兀，故C错误；

将四面体S-ABC的侧面展开如图所示，连接E尸，交&4、SC于N、M,

当班〃4?时，平面£7力1截四面体所得的截面图形的周长最小，

此时M"分别为SC的中点，

EN==2,MN=；AC=2,MF=/赛=2,

所以平面EFN截四面体所得的截面图形的周长最小值为硒+上亚+板+2=8.

故D正确.

故选：ABD.

5

5.—

17

【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则B（4,0,0）,q（0,4,6）,E（0,4,3）,F（0,0,4）,

所以3G=（T，4,6）,£F=（0,-4,1）,

16

\EF-BC]

设异面直线所成的角为6,则cose=^__=-5.

回n唱17

【分析】建立空间直角坐标系，设点尸坐标，结合已知条件求出尸点轨迹方程进行求解即可.

yjk

如图，以。为原点，0c所在直线为x轴，平面a内过。且与CD垂直的直线为V轴，D4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则由已知，0(0,0,0),A(0,0；V3),C(4A/3,0,0),B(4>/3,0,A/3),

回点尸在平面a内，团设P(x,y,0),则42=1,%-豆)，0c=(4出,0,0卜

团直线AP与直线CO所成的角为三，

APDC卜呵国」

回DC

AP\\DC\7X*2+/+3X4A/3'*+^+32'

2

两边同时平方，化简得尸点轨迹方程为/-匕=1,

3

团点。的轨迹为双曲线.

\BP\=^(%-4V3)2+(y-0)2+(0-73)2=々-8瓜+51+/，

2

团P点轨迹方程为冗2一q=1,回丁=3%2_3,且X£(Y0,—1]D[1,_HD0),

^\\BP\="炉_8氐+51+3f_3=4x2一8瓜+48=小卜—国+36，

团当％=6时，忸耳的最小值为忸尸1=736=6.

17

故答案为：双曲线，6

【点睛】易错点睛：本题第二个空容易误认为当点P在线段C。上时，长度最小，使用空间向量运算,

可以有效避免这种直觉上的错误.

反思提升：

用向量法求异面直线所成角的一般步骤:

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,I,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余

弦值的绝对值.

【考点2】直线与平面所成的角

一、解答题

1.(2024•江苏南京•模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，以，底面ABCD,AD//BC,

AB=A£）=AC=3,*8c=4,",N分另IJ为线段上一点，AM=2MD.

⑴若"为2(7的中点，证明：〃平面

(2)求直线©V与平面CMN所成角的正弦值的最大值.

2.（2024•山东淄博•二模）已知直角梯形ABC。，ZADC=9Q°,AB//CD,AB=2CD=®AD=6M为

对角线AC与BD的交点.现以AC为折痕把ADC折起，使点。到达点尸的位置，点。为PB的中点，如图

所示:

(1)证明：AC_L平面PBM；

⑵求三棱锥尸-ACQ体积的最大值；

⑶当三棱锥P-ACQ的体积最大时，求直线4B与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2024•新疆乌鲁木齐•三模)由平行六面体ABCD-A片GR截去三棱锥耳-ABC后得到如图所示的几何

18

体，其体积为5,底面A2CD为菱形，AC与8。交于点。，A5=-

⑴证明。。〃平面AB。；

(2)证明平面平面ABG；

⑶若AB=2,DAB=60°,AA与底面ABC。所成角为60。，求他与平面4台。所成角的余弦值.

4.(2024・贵州贵阳•二模)由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台A8C。-中，瓦厂分别

为ARAB的中点，AB=2A瓦=4,侧面38((与底面ABCD所成角为45。.

⑴求证：2。〃平面4£厂；

(2)线段上是否存在点M,使得直线AM与平面吊£尸所成的角的正弦值为遗，若存在，求出线段A0

10

的长；若不存在，请说明理由.

5.(2024,河南驻马店•二模)在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得

ABJL平面ACDE,过点E作砂//AB,且所=连接FD,FB,BD,所得图形如图②所示，其中G为

线段8。的中点，连接FG.

⑴求证：PG_L平面A3。;

19

(2)若AC=AD=2,直线尸G与平面BCD所成角的正弦值为立，求A3的值.

7

6.(2024•新疆•三模)已知底面ABCD是平行四边形，丛，平面ABC。，PA//DQ,PA=3DQ=3,

AD=2AB=2,且NABC=60°.

(1)求证：平面PAC_L平面CDQ；

(2)线段PC上是否存在点使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是巫.若存在，求出名的值；若

5

不存在，说明理由.

参考答案：

1.(1)证明见解析

(2)在

3

【分析】(])取的的中点T,连接AT,TN,先证四边形为平行四边形，有再由线面平

行的判定定理，得证；

(2)取3c的中点E,连接AE,以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)证明：由已知AM=2A®得40=2,取族的中点T,连接AT,4V,

由N为尸C的中点知力V〃BC,

TN=-BC=2.又AD/IBC,故工N〃AM,且=

2

回四边形AWT为平行四边形，^\MN//AT,

ElATu平面RIB,AW平面RW,

〃平面PAB.

(2)取8c的中点E,连接AE,建立如图所示的空间坐标系A-孙z.

20

A(0,0,0),M(0,2,0),C(75,2,0),P(0,0,4),

不妨设CN=2CP,/le[0,l],

则AN=AC+ACP=(君,2,0)+2(-75,-2,4)=(A/5-0,2-22,42),

CN=,-2X,4X),CM=(-75,0,0)

设平面OWN的一个法向量为元=(x,y,z),

n-CM=0卜=0

n-CN=0[-V5x-2y+4z=0'

取y=2,贝心=(0,2,1).

设直线AN与平面OWN所成角为

\AN-n\_________4________4

sin6=

\AN\\n\75X79(1-2)2+16A2A/5XV2522-182+9

____________4_____________好

3

^xJ25xgJ-18x1+9

故直线AN与平面CMN所成角的正弦值的最大值为更.

3

2.(1)证明见解析

(2)正

4

⑶叵

13

DCDMCM1

【分析】⑴相似可得‘分=砺=而=5'结合勾股定理逆定理得到ACS”以及折叠后A"加,

AC1PM,即可证明；(2)证明点P到平面ABC的距离，即为点尸到的距离，运用等体积法即可求解;

(3)建立空间直角坐标系，求出平面PBC法向量，再用向量夹角余弦值公式求解即可.

【详解】(1)直角梯形ABCD中,

DCDMCM

由相似可得,商

MB~AM2

21

因为A2=2CD=指，AD=6,可得AC=^,BD=3,

2

故可得AM=2MC=VLBM=2DM=2,

AM2+BM2=AB2，则由勾股定理逆定理得，AMYBM,即AC人3D,

AC±DM,

翻折后可得，ACLBM,ACLPM,

又因为月0cBM=M,PM,3M在平面PBM内，

故AC_L平面PBAf

（2）因为点。为边PB的中点，

所以《一加一PAC'又%-PAC=^P-ACQ^B-PAC~^P-ABC'

所以/YCQ=：K-ABC'

因为ACu平面ABC,所以平面ABC_L平面尸的欣，

所以点P到平面ABC的距离，即为点P到的距离，设为h,

因为SABC=」AaACsinNCAB=L"•迪・逅=还为定值，

的22232

当/z最大时，三棱锥P-AC。的体积最大，

PApr

而PAf=—：—=1,贝IJ/z4PM=l,

AC

当〃=1时，（LACO）=-（^ABC）=-X-X^Xl=—.

（3）由（2）得，当三棱锥P-AC。的体积最大时，

点尸到平面ABC的距离为9=1,即RW_L平面ABC.

故PM_LAC,PMVMB,

又因为AC_LaW,

故M4,MB,MP两两垂直.

故可以Af为原点，

直线MA,MB,MP分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，

22

则AB=(-应,2,0),尸8=(0,2,-1),C8=(拳,2,0),

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

ri-PB=2y-z=0

则应，令y=l，得n=(-2也,1,2),

n-CB=^-x+2y=0

设直线AB与平面PBC所成角为。，则sin0=|cos<AB,ri)|==6=争，

\AB\\n\V6-V1313

所以直线A3与平面尸2C所成角的正弦值为叵.

13

3.(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶半

2

【分析】(I)补全平行六面体，连接24交AG于点a，连接。出，由平行四边形证得2。〃。田，即可

得到线面平行；

(2)由底面4耳GA是菱形，得到耳2，由等腰三角形三线合一得到AG，。田，从而得到线面垂

直，进而得到面面垂直；

(3)由几何体的体积先求出几何体的高九=6,建立空间直角坐标系，由AA与底面ABC。所成角为60。，

求出441的坐标，进而用向量求出用与平面42。所成角的余弦值.

【详解】(1)如图补全平行六面体，连接。旦交AG于点。一连接。出，

在平行六面体ABCD-A瓦G2，BBJ/DD],BBX=DDX,

所以四边形BBQ。为平行四边形，所以2。=a。,8。//gR,

又。为3D的中点，。I为用2的中点，所以DR=OB,

所以四边形为平行四边形，所以£)0〃。出，

又所以平面ABC1，&Bu平面ABC]，所以R。〃平面ABC1.

(2)因为底面44GA是菱形，所以AC42，

又因为AB=BG，AQ|=CQ1，所以AG_LQ3,

又与Ru平面RDO,。乃U平面DQO,B"O,B=O,,

所以AG_L平面2〃。，又AQU平面48G，所以平面平面4台弓.

23

(3)咚棱锥马—ABG=§咚棱柱ABC—WMG=k4行六面体ABCD—ABIG。，，

因为截后的几何体体积为5,所以平行六面体体积为6,

又因为AB=2,ZDAB=60°,设平行六面体的高为〃，

所以gx2x2xsin60°x2x/?=6,所以〃=道，BD=2,AC=26,

以。为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，

过。与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(若,0,0),8(0,1,0),C(-A/3,0,0),设相=(4也C),则c=G，

又因为34=班+朋=(百+a,6—Lc)，BC；=BC+Cq=(-也+a,b-1©,

因为AB=BG,所以J(V3+a)2+(^-l)2+c2=7(->/3+a)2+(^-l)2+c2，

所以。=0,因为A4与底面48CD所成角为60。，

平面ABC。的一个法向量为根=(0,0,1),

所以IcosAA.,m\=,C=cos30°,

11yla2+b2+c2

又a=0,c=6,由图可知6>0,所以人=1,所以=(0,l,G),

设平面ABC]的一个法向量为力=(x,y,z),

n-BA.=y/3x+A/3Z=0

则取一个法向量”=(0,1,0),

n-BC[=-Jr3x+,3rz=0

IM,«!i

设AA与平面A3G所成角为e,则sine=^~昌=展，

K|H2

所以AA与平面所成角的余弦值为且.

2

4.⑴证明见解析

(2)存在，且

24

【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平

行，再由面面平行的性质定理即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线。/与平面4石尸所成的角的正弦

值，计算即可得解.

【详解】（1）连接8£）、BR,由E,b分别为AD,A3的中点，贝IJEF//3D,

又跖N平面BBQD,BDu平面BBRD,故EF〃平面

正四棱台ABCD-AAG2中，A}B}IIAB且4片=JA8