2025年高考数学一轮复习讲义：正弦定理和余弦定理（原卷版）

专题26正弦定理和余弦定理（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................5

【考点1】利用正、余弦定理解三角形..........................................5

【考点2】判断三角形的形状..................................................6

【考点3】和三角形面积有关的问题............................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................11

考试要求：

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知识梳理

1.正'余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理余弦定理正弦定理

—22CCOSA；

a_____b_____c___

公式〃=/+/_2cacosB；

sinAsinBsinC

/=〃2+/—2〃bcosC

⑴〃=2HsinA,Z?=27?sinB,c=

Z?2+.2—〃227?sinC；

cosA—&；a

/c\•..nb.厂c

(2)smA—2H，smsm^~2R;

常见变4十次―序

cosB—2ac；

形(3)a：b：c=

6z2+Z?2—c2sinA'sinB：sinC；

3s「lab

(4)asinB=Z?sinA,Z?sinC=csinB,

asmC=csinA

2.在△ABC中，已知a,6和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

ccc

图形

AB；…BA…….吐

ARAB

关系式a=bsinAZ?sinA<a<ba^ba>baWb

解的个数一解两解一解一解无解

3.三角形常用面积公式

(l)S=：a・瓦(瓦表示a边上的高).

111dbc

(2)S=]absinC=/acsin3=/Z?csinA=4H.

⑶S=J(a+b+c)(r为内切圆半径).

|常用结论

1.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+B)=sinC；

2

(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BC

(3)sin~~2-=cosy；

A+BC

(4)cos-2—=sin].

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=Z?cosA+acosB.

3.在△ABC中,两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,A>5u>a>b=sinA>sin50cosA<cos

B.

.真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

则APBC的面积为（）

A.2A/2B.3亚C.4V2D.672

2.（2023•全国•高考真题）已知AABC为等腰直角三角形，为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角

C-AB-O为150。，则直线与平面A2C所成角的正切值为（）

A.-B.—C.—D.-

5555

二、多选题

3.（2022•全国•高考真题）双曲线C的两个焦点为斗鸟，以C的实轴为直径的圆记为过耳作。的切线

3

与。交于M,N两点，且cosN片NK=g,则。的禺心率为（）

A&R2c屈D如

2222

三、填空题

4.（2023•全国,高考真题）在AABC中，NBAC=60。,AB=2,BC=娓，/5AC的角平分线交BC于。，则

AD=.

AT

5.（2022•全国,高考真题）已知44BC中，点。在边上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.当士取得

AB

最小值时，BD=.

四、解答题

6.（2023•全国,高考真题）在“1BC中，已知N&1C=12O。，AB=2,AC=l.

⑴求sinNABC；

⑵若。为BC上一点，且44。=90。，求△ADC的面积.

3

7.（2023•全国考真题）已知在AABC中，A+5=3C,2sin（A—C）=sin5.

⑴求sinA；

⑵设AB=5,求A3边上的高.

8.（2023•全国•高考真题）记融。的内角A5,C的对边分别为已知AABC的面积为石，。为中

点，且AD=1.

TT

⑴若NAOC=,,求tan8；

⑵若。2+02=8,求瓦C.

9.（2022•全国•高考真题）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个

正三角形的面积依次为岳,邑,S3,已知凡-S2+S3=亭,sin8=g.

⑴求△ABC的面积；

（2）若sinAsinC=，求b.

3

10.（2022•全国•高考真题）记AABC的内角的对边分别为已知sinCsin（A-b）=sin3sin（C-A）.

⑴证明:2/=/+」2;

25

（2）若a=5,cosA=/，求△ABC的周长.

11.（2022•全国•高考真题）记“RC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosAsin2,.

1+sinAl+cos2B

⑴若c=q,求8

（2）求《42的最小值.

c

12.（2021•全国,高考真题）在“BC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b^a+1,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求"IBC的面积；

（2）是否存在正整数。，使得AABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

“考点突破

【考点1］利用正、余弦定理解三角形

一、单选题

1.（2024•山东枣庄•模拟预测）在AABC中,ZACB=l20o,BC=2AC,D为zABC内一点,,ADLCD,

ZBDC=120°,贝hanZACD=()

A.2A/2B.正C.76D.也

22

4

22

2.（2024•浙江金华•三模）已知椭圆C:子+3=1（4＞行），K、&分别为其左右焦点，点M在C上，且

NMFR=60。,若人吗后的面积为亭，则。=（）

A.20B.3C.2石D.4

二、多选题

3.（2024・山东济南•三模）已知AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=l,且

sinA-/;sinB=（c+/?）sinC,贝|（）

A.sinA=—B.AASC面积的最大值为更

24

C.R="D.BC边上的高的最大值为遮

36

三、填空题

4.（2024・四川成都・三模）»SC的内角A,&C的对边分别为。,6,c,若=2ac且sinC=2sinA,则cosA的

值为______

四、解答题

5.（2024•广东广州•模拟预测）在AABC中，角ABC的对边分别是〃，4c,且4acos3-Z?cosC=ccosB

⑴求cos5的值；

⑵若44BC的面积为生叵,b=3&,求AABC的周长.

2

6.（2024•江西•模拟预测）在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为2百，且

73

bcosC=a-\-----csinB•

3

⑴求角8；

⑵若23的角平分线交AC于点。,8。=百，点E在线段AC上，EC=2EA,求△«£电的面积.

反思提升：

（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是

方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件

化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

【考点2】判断三角形的形状

一、单选题

1.（2024•四川成者B•模拟预测）已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,面积为S,若

人+「

asin——=Z?sinA,6S=V3ABAC,则AABC的形状是（）

5

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

2.（2024•河北秦皇岛•三模）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且3=2C,b=42a，

则（）

A.AASC为直角三角形B."1SC为锐角三角形

C.AASC为钝角三角形D.AASC的形状无法确定

二、多选题

3.（2021•黑龙江鸡西•模拟预测）在AABC中，有如下四个命题正确的有（）

A.若宓.通>0，则AABC为锐角三角形

B.若|丽+前|=|码，则AABC的形状为直角三角形

c.AABC内一点G满足砺+丸=0，则G是N4BC的重心

D.若丽.而=丽.正=正.而，则点尸必为AABC的外心

三、填空题

4.（2021•浙江宁波•模拟预测）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若

J^tzsinB+J豆sinA=2csinA,若a=b,则4=,三角形的形状为.

四、解答题

5.（2024•上海宝山•二模）在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sirL4sinC.

⑴求角8的大小；

（2）若AABC的面积为6,求的最小值，并判断此时AABC的形状.

6.（2024•全国•模拟预测）在“BC中，内角ABC的对边分别为"c,tan信-李=匕言等.

<42）sm2B

⑴判断AABC的形状，并证明；

⑵求£-一文的最小值.

c4ccosB

反思提升：

1.判定三角形形状的途径：（1）化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；（2）化角为边，通过

代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.

2.无论使用哪种方法，都不栗随意约掉公因式，栗移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的

可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

【考点3】和三角形面积有关的问题

一、单选题

Ojr

1.（2024•贵州毕节三模）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,4=可，若点。满足砺.通=。，

6

—.4►1—.b

^AD=-AC+-ABf则上=()

55c

11

A.-B.2C.-D.4

24

2.(2024・贵州遵义三模)在AABC中，角A氏C的对边分别为风或c,D为AC的中点，已知c=2,3。=也,

2

且acos_B+)cosA=-2ccosB,则AABC的面积为()

A.2.73B.2C.6D.记

22

二、多选题

3.(2024・江西•二模)已知&4BC中，AB=l,AC=4,/BAC=60。,AE为N54C的角平分线，交BC于点E,D

为AC中点，下列结论正确的是()

A.BE=—

5

B.AE=^-

5

C.AABE的面积为3

5

D.尸在的外接圆上，则+的最大值为近

三、填空题

4.(2024・山东,二模)在AABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,V2^a~+b~—c2^=absinC,且c=l,

则AABC面积的最大值为.

四、解答题

5.(2024・陕西西安•模拟预测)设AABC的内角A5C所对的边分别是a,6,c,且向量

m=(a,b),n=(-6cosA,sinB)满足正//元.

⑴求A;

(2)若a=JiWb=3,求BC边上的

6.(2024•安徽蚌埠•模拟预测)己知a,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，a(sinB-A/3COSB)=A/3(^-c).

⑴求角A；

(2)若44BC的面积为百，周长为6,求。.

反思提升：

与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

分层检测

7

【基础篇】

一、单选题

b,c,已知sin3sin[c—F）=

1.（2024・重庆•模拟预测）在AASC中,角A,B,C所对的边分别为a,

（）・Rb

cosBsinC+g,b=2,sinB=-----则。的值为（）

7

也721

A.77B.rD.后

23

2.（2024•云南昆明•三模）已知44BC中,AB=3,BC=4,AC=5则AABC的面积等于（）

A.3B.而C.5D.2A/5

3.（2024•四川•模拟预测）已知弓，工分别为双曲线C的左、右焦点，过百的直线与双曲线C的左支交于4

B两点，若|A耳|=2闺同，|AB|=|骐则cosNK8^=（）

4.（2024•陕西渭南•三模）已知AABC中，角A,B,。所对的边分别是〃，b,c,若Z?cosC+ccos3=b,且

a=ccosB,则AABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

二、多选题

5.（21-22高一下•江苏南京•期中）三角形△ABC中，角A,B,。的对边分别为mb,c,下列条件能判断

△ABC是钝角三角形的有（）

A.a=2,b=3,c=4B.ABBC=-2a

sinA-sinBc

C.----------------=-------D.b1sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC

sinC+sinBa+b

6.（2022•吉林长春•模拟预测）如图所示,设单位圆与无轴的正半轴相交于点4（1,0）,以x轴非负半轴为始

边作锐角a,B,a-j3,它们的终边分别与单位圆相交于点片，A，P,则下列说法正确的是（）

A.M|=|AP|

8

B.扇形。4片的面积为

C.阊斗=2sin/£

D.当a=1时，四边形0蝴片的面积为:sin[p+5]

7.（2024•广东肇庆•模拟预测）若AABC的三个内角A,民C的正弦值为sinA,sin5,sinC,则（）

A.sinA,sin5,sinC一定能构成三角形的三条边

1____11

B.定能构成三角形的三条边

sinA'sinB'sinC

C.sin2AsiI?8,sin2c一定能构成三角形的三条边

D.JsinA,JsinB,JsinC一定能构成三角形的三条边

三、填空题

8.（2024•山东威海•二模）在"1SC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=",b+c=4,

cosC=-亚贝!JsinA=.

6

2兀

9.（23-24高三下•江西•阶段练习）在AASC中，内角A3,C的对边分别是a,6,c,S.ZBAC=—,AD平分

NBAC交BC于D,AD=1,则AABC面积S的最小值为；若a=2&",则AABC的面积为

10.（2024・山东泰安•模拟预测）在AABC中,a,b,c分别为内角A,3,C的对边，若asinB+bsinA=4csinAsinB,

S.a2+b2-c2=4y/3,则AA6C的面积为.

四、解答题

11.（2024•河南•模拟预测）记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,己知csin28-bsinC=0.

⑴求角8；

⑵若2〃=2c2+ac,求巴吆的值.

C

12.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，ABIICD,AD-sinD=V3AC-cosZACD,

—A4C的角平分线与BC相交于点E,且4£=1,43=指.

⑴求NACZ）的大小;

（2）求BC的值.

【能力篇】

9

一、单选题

1.（2024•陕西•模拟预测）在"1BC中，角A,aC所对的边分别为a,，,c,已知。=6,史史=出段，则AABC

sinAb

面积的最大值为（）

1921

A.—B.-C.12D.15.

22

2.（2024•陕西咸阳•三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在

市区多地规划建设了〃口袋公园〃.如图，在扇形“口袋公园〃。尸。中，准备修一条三角形健身步道Q4B,已知

TT

扇形的半径。=3,圆心角