2025年高考数学专项复习：高中常见的恒（能）成立问题（4大常考点归纳）原卷版+解析版

实战演练04高中常见的恒(能)成立问题

考点归纳

①一元二次不等式中的恒(能)成立问题

②基本不等式中的恒(能)成立问题

③函数中的恒(能)成立问题

④利用导数研究不等式中的恒(能)成立问题

必备知识速记

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数/(X)的值域为(。4)或口,句，或(。,可或口，瓦)中之一种，则

①若22/(*)恒成立(即皆</(x)无解)，则42"(*)]四；

②若2V/(x)恒成立(即皆>/(x)无解)，则/〈"(切.；

③若X2/(.X)有解(即存在x使得A>/(X)成立)，则;I2[/(x)]nun；

④若;IK/(x)有解(即存在x使得；14/(x)成立)，则44[/(切皿;

⑤若；I=/(x)有解(即4w/(x)无解)，则;1e{y|y=/(x)}；

⑥若;l=/(x)无解(即；lw/(x)有解)，则;leC“{yR=/(x)}.

【说明】(1)一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.

(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！(即端点值

的取舍)

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如/L/(x)=g(x)n2="?;

/(x)

②倒数法分离参数：如2/(x)=g(x)=>-=；

2g(x)

【当/(*)的值有可能取到，而g(x)的值一定不为。时，可用倒数法分离参数.】

/(x)

2>,g(x)〉O

g(x)

③讨论法分离参数：如：2g(x)>

/(x)

2<,g(x)<0

g(x)

2</(〃),〃为正偶数

(-/(〃)(〃eN*)

-2</(«),〃为正奇数

④整体法分离参数：如力+4=/(%)；

⑤不完全分离参数法：如2=lnx+x—Y；

X

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

(1)分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果难以分离参数

或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法.

(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再

分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】

三、其他恒成立类型一

①/(x)在［凡可上是增函数，则/'(x)20恒成立.(等号不能漏掉).

②/(x)在［a,6］上是减函数,则尸(x)VO恒成立.(等号不能漏掉).

③/(x)在［/可上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①V』eA,3X2eB,使得方程g(》2)=/(再)成立o{y|y=/(x),xeA}^{y\y^g(x),xeB].

②叫EA,BX2EB,使得方程g(X2)=/(xJ成O{y==g(x),xe5}*0.

五、其他恒成立类型三

①5eA,X/x2GB,/(再)之g(%)O/(%"正,g(%)max；

；

②“&A,3x2eB,/(xj>g(x2)<=>/(再)minNg(%)min

③必e4V/e8,/(X])»g(%)o/a)max2g(X2)max；

X

④川e4*2e8,/(再)2g(%2)=/(xJmaxNg(2)min-

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I①一元二次不等式中的恒(能)成立问题

一、单选题

1.(2024高三・全国•专题练习)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数。取值

范围()

A.(-co⑵B.(-℃⑵C.(-2,2)D.(-2,2]

2.(23-24高三上•青海西宁•阶段练习)若关于x的不等式》2_2"-3<0对任意xe[0,2]均成立，则实数。

的取值范围为()

3.(23-24高三上•湖北•阶段练习)已知命题P：储一。-340.若P为假命题，则。的取值范围

为()

A.(-<»,-3)B.(-<»,-2)C.(-=0,6)D.(-«5,0)

二、填空题

4.(23-24高二下•辽宁沈阳•期末)若命题“太eR,x?-mx+9<0”为假命题，则加的取值范围是.

5.(2024高三・全国・专题练习)若存在xe[l,3],使不等式x?_26+。+2Vo成立，则a的取值范围为.

6.(2024高三下•全国•专题练习)己知/(x)=a?+x_a,若〃x)>_2x?-3x+l-2a对一切实数x恒成立，

则实数a的取值范围为.

|②基本不等式中的恒(能)成丽顾

一、单选题

1.(23-24高三上・江苏•阶段练习)若两个正实数X/满足,+2=1且不等式2x+v>〃/+2,〃恒成立，则实

xy

数加的取值范围是()

A.(-4,2)B.(-2,4)

C.(-°o,-4)o(2,+ao)D.(-oo,-2)U(4,+oo)

2.(22-23高三上•江西宜春•阶段练习)设x>y>2,且」一+二一2/一("eN)恒成立，则〃的最大值为

x—y—zx—z

()

A.2B.3C.4D.5

.3

3.(23-24高三上•浙江宁波・期末)设实数x,y满足x>a，y>3,不等式

川2y-3)(]，-3)・8/+/_12/-3/恒成立，则实数4的最大值为()

A.12B.24C.2邪D.473

二、填空题

4.（23-24高三上・安徽•期中）若Vx>-3,A<x+-^—,则实数2的取值范围是____.

x+3

22

5.（2024•江西・一模）已知正数x,y满足x+y=6,若不等式恒成立，则实数。的取值范

x+1y+2

围是.

I③函数中的恒（能）成立问题

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知=且/（x）<6在区间（1,2）恒成立，则实数。的取值范围是

（）

A.（-00,1]B.C.（-1,1]D.（-1,2]

2.（23-24高三下•河南•开学考试）已知正数加，〃满足也+1=2加，若m+2〃4方加恒成立，则实数，的

T1

最小值为（）

1214

A.-B.-C.vD.-

4525

3.（2024•福建厦门一模）已知。=x+L=ex+e-x,c=sinx+JJcosx,则下列结论错误的为（）

x

A.3xe[-l,l],a>cB.3xe[-l,l],b>c

C.3.xe[-1,1],a<cD.3.re[-l,l],b<c

4.（2024・广东深圳•模拟预测）已知函数f（x）=[：若迎《尺，使得/伍）〈10川+4〃/成立,

[log3x,x>3

则实数m的取值范围为（）

C.(—+8D.u[0,+s)

k4」L4

5.（2024•北京昌平•二模）己知函数/（x）=Q]；、’一；若对任意的》都有|/（x）|2or恒成立，则实数。

111IX—lj,X>1.

的取值范围是（）

A.（-8,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.（—,2]

二、填空题

6.(2024・辽宁•模拟预测)命题“任意xe[1,3],a42,+2-，”为假命题，则实数。的取值范围是.

7.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知函数/(x)=x2+m,g(x)=2x-»i,若对任意的网e卜1,2],总存

在使得/(xJ=g(X2)成立，则实数加的取值范围是.

8.(23-24高三下•湖南岳阳•阶段练习)己知函数/(x)=sinx+；x2-aYN0在xe[0.+a))上恒成立，则实数

a的取值范围为.

9.23-24高三上•重庆•阶段练习)己知/(x)=a/+x,g(x)=上l£吧，若对v』21,却eR使/(xj4g(.q)

2+sinx

成立，则实数a的取值范围是.

|④利用导数研究不等式中的恒(能)成立问题

一、单选题

1.(2024高三•全国・专题练习)若三<0,+OQ),使得不等式hi―2奴+120成立，则实数a的取值范围是

()

A.—>+ooJB.[1»+℃)C.°o»—D.(―00>1]

2.(23-24高三上•湖北孝感•阶段练习)己知函数+若f(x)在R上单调递增，

62

则实数。的最大值为()

A.-eB.-1C.1D.e

3.(2024•辽宁葫芦岛•一模)已知函数，x)=e、-s2在R上无极值，则a的取值范围是()

A.B.卜喘)C.[0,e)D.O.：

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=e\(e+l)x-a(aeR),g(x)=x2+2x.若存在xe[0,l],使得

/(r)=g(x)成立，则实数。的最大值是()

A.2e-2B.e-2C.e+1D.2e+l

5.(2024高三下•全国•专题练习)设函数/(x)=gx3-3/+(8-a)x-5-a,若存在唯一的正整数%,使得

贝M的取值范围是()

A・士]B.(昌C.(沪口.(%中

6.(2024・四川宜宾•二模)己知不等式axe，+x>l-liB■有解，则实数。的取值范围为()

1

A.I--B.--,+00D.—00,—

二、填空题

7.Q2-23高三上•湖北省直辖县级单位•阶段练习)若不等式e，-米NO(其中e是自然对数的底数)对Vx>0

恒成立，则实数上的取值范围为

8.(2024高三・全国・专题练习)已知函数〃x)=lnx-2ax+l,若存在x>0,使得/(x)20,则实数。的取

值范围_____.

9.(2024高三上•全国•专题练习)已知函数/■(x)=lnx-\,若在(1,+动上恒成立，则a的取值

范围是_______

10.(2024・广西•模拟预测)已知函数/(x)=ax-e、，若/(x)的图象经过第一象限，则实数。的取值范围

是.

11.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=xlnx-ax+l,若存在%e(o,+8),使得〃%)<0成立，

则实数。的取值范围_____.

12.(23-24高二下•四川南充•阶段练习)若对任意的正实数占户2e(m,+co),当网<%时，』In^1nxi<0

恒成立，则实数%的取值范围是—.

13.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx+a(l-x),aeR,若存在%e(o,+s),使得/(%)22”2

成立，求实数。的取值范围是.

实战演练04高中常见的恒(能)成立问题

考点归纳

①一元二次不等式中的恒(能)成立问题

②基本不等式中的恒(能)成立问题

③函数中的恒(能)成立问题

④利用导数研究不等式中的恒(能)成立问题

必备知识速记

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数/(X)的值域为(。4)或口,句，或(。,可或口，瓦)中之一种，则

①若22/(*)恒成立(即皆</(x)无解)，则42"(*)]四；

②若2V/(x)恒成立(即皆>/(x)无解)，则/〈"(切.；

③若X2/(.X)有解(即存在x使得A>/(X)成立)，则;I2[/(x)]nun；

④若;IK/(x)有解(即存在x使得；14/(x)成立)，则44[/(切皿;

⑤若；I=/(x)有解(即4w/(x)无解)，则;1e{y|y=/(x)}；

⑥若;l=/(x)无解(即；lw/(x)有解)，则;leC“{yR=/(x)}.

【说明】(1)一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.

(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！(即端点值

的取舍)

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如/L/(x)=g(x)n2="?;

/(x)

②倒数法分离参数：如2/(x)=g(x)=>-=；

2g(x)

【当/(*)的值有可能取到，而g(x)的值一定不为。时，可用倒数法分离参数.】

/(x)

2>,g(x)〉O

g(x)

③讨论法分离参数：如：2g(x)>

/(x)

2<,g(x)<0

g(x)

2</(〃),〃为正偶数

(-/(〃)(〃eN*)

-2</(«),〃为正奇数

④整体法分离参数：如力+4=/(%)；

⑤不完全分离参数法：如2=lnx+x—Y；

X

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

(1)分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果难以分离参数

或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法.

(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再

分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】

三、其他恒成立类型一

①/(x)在［凡可上是增函数，则/'(x)20恒成立.(等号不能漏掉).

②/(x)在［a,6］上是减函数,则尸(x)VO恒成立.(等号不能漏掉).

③/(x)在［/可上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①V』eA,3X2eB,使得方程g(》2)=/(再)成立o{y|y=/(x),xeA}^{y\y^g(x),xeB].

②叫EA,BX2EB,使得方程g(X2)=/(xJ成O{y==g(x),xe5}*0.

五、其他恒成立类型三

①5eA,X/x2GB,/(再)之g(%)O/(%"正,g(%)max；

；

②“&A,3x2eB,/(xj>g(x2)<=>/(再)minNg(%)min

③必e4V/e8,/(X])»g(%)o/a)max2g(X2)max；

X

④川e4*2e8,/(再)2g(%2)=/(xJmaxNg(2)min-

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I①一元二次不等式中的恒(能)成立问题

一、单选题

1.(2024高三・全国•专题练习)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数。取值

范围()

A.(-co⑵B.(-℃⑵C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【分析】分类讨论，利用判别式小于0,即可得到结论

【详解】当。—2=0,即。=2时，-4<0,恒成立：

」

当时.'|f4a(-”2<20)F6("2)<。'解»之得一2<”2,

综上可得-2<aM2

故选：D

2.(23-24高三上•青海西宁•阶段练习)若关于x的不等式*2一2点一3<0对任意、H0,2]均成立，则实数a

的取值范围为()

A.卜力3)B/-刊C.(。高D.卜力)

【答案】D

【分析】当x=0时显然恒成立，当xe(O,2]时参变分离可得2a>x-(恒成立，令=xe(0,2],

根据单调性求出/(&)1nM,即可求出参数的取值范围.

(详解】因为关于x的不等式f-2m-3<0对任意xH0,2]均成立，

当x=0时，-3<0恒成立，

当xe(0,2]时，2"三二^=》一上恒成立，

XX

3

令〃x)=x-Txe(O,2],

□

因为y=x与y=-=在(0,2]上单调递增，

则〃x)=x_；在(0,2]上单调递增，所以当X=2时/(x)=x-；取得最大值，

31

即〃x)w=〃2)=2-『a，

所以2a>g,贝！|a>],

综上可得实数a的取值范围为

故选：D

3.(23-24高三上•湖北•阶段练习)已知命题P：3xe[-L3],』一。一3Mo.若P为假命题，则。的取值范围

为()

A.(-oo,-3)B.(-oo,-2)C.(—,6)D.(-<»,0)

【答案】A

【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.

2

【详解】若命题P为真命题，即：3X6[-1,3],x-3<a.

设/(x)=/-3,则由二次函数图象与性质知，

当xe[-l,3]时,最小值为/(0)=-3,所以心-3.

因为命题P为假命题，所以。<-3,

即。的取值范围为(T»，-3).

故选：A.

二、填空题

4.(23-24高二下•辽宁沈阳•期末)若命题“HxeR,x?-〃?x+9<0”为假命题，则加的取值范围是

【答案】[-6,6]

【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得〃，的取值范围.

【详解】因为命题“HxeR,--+9<0”为假命题，

所以命题“VxeR,x?-7HX+9W0”真命题，

所以△=(-，〃/-4x940,

解得-6<m<6,

所以"7的取值范围是[-6,6].

故答案为：卜6,6].

5.(2024高三・全国•专题练习)若存在xe[l,3],使不等式/-26+&+2Vo成立，则。的取值范围为

【答案】[2,+«)

【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到。取值范围.

【详解】由一-lax+a+2<0=>x2+2<a(2x-1),

因为xe[l,3],所以2x-le[l,5],令f=2.—1目1,5卜=卓，

由2cGX2+27(厂+2，+9)1(9A

ttl.V+2<o(2.r-l)^>a>——-=-----------=—|Z+-+2I,

构造函数g(f)=:(，+>>孑2后+2卜2,

即g(r)a=2,当且仅当f=3e[l,5]时取等号,

所以aWg(r)1nm=2

故答案为：［2,+8).

6.(2024高三下•全国•专题练习)己知/(x)=，+x-。，若〃x)>-2x2-3x+l-2a对一切实数x恒成立，

则实数a的取值范围为.

【答案】(2,内)

【分析】思路一：移向转换为(a+2)x2+4x+。-l>0对一切实数x恒成立，对。分类讨论即可求解；思路

二：移向构造函数，对。分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可：思路三：分离参数，构造函数,

利用导数求最值即可求解.

【详解】解法一(运用判别式)：由已知可得就2+x一。>_2/一3》+1-24,

BP(a+2)储+4x+a-l>0对一切实数x恒成立.

当”-2时，4.3>0不可能恒成立，

从而由二次函数的性质可得，只能［；［74("2)(”1)<0,解得Q2・

因此实数a的取值范围为(2,内).

解法二(利用二次函数图像与性质)：原不等式整理得(。+2)《+4.丫+。-1>0,

令g(x)=(a+2)x?+4x+a-1,则原问题转化为g(x)>。对xeR恒成立.

当a<-2时，抛物线开口向下，显然不合题意；

当。=-2时，g(x)=4.r-3,其图像是一条直线，也不合题意：

当。>-2时，抛物线开口向上，只要g(x)mm=g(A^j>0,即a2+a-6>0.

解得a<-3或。>2,二。>2,因此实数a的取值范围为(2,+oo).

解法三(参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值)：

(JX~+x—a>—2x'—3x+1—2〃.

.响题转化为a>一2/「4x+1对*£R恒成立,从而”产「4：+1

2(2x+l)(x-2)

令

g(x)=仁+1)2

令g，(x)wo,贝!JxM-；或xN2.

从而g(x)在口《，⑵+00)上单调递增，在上单调递减.

又g(-；)=2,且当xfR时，g(x)<0,故g(x)皿=g(-;)=2.

于是。>2,因此实数a的取值范围为(2,包).

故答案为：(2,内).

|②基本不等式中的恒(能)成嗣面

一、单选题

12

1.(23-24高三上•江苏•阶段练习)若两个正实数满足一+—=1且不等式2x+y>M+2/〃恒成立，则实

xy

数加的取值范围是()

A.(-4,2)B.(-2,4)

C.(-00,-4)kJ(2,+<»)D.(-<»,-2)U(4,+oo)

【答案】A

【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m

的范围.

【详解】由题设2x+y=(2x+y)d+2)=4+1+空之4+2)匕把=8,

xyxyyxy

当且仅当x=2/=4时取等号，

又2x+y>nr+2m恒成立，即初?+2m<8=>{m+4)(7w-2)<0=>-4<m<2.

故选：A

2.(22-23高三上・江西宜春•阶段练习)设且」一+'*'一("eN)恒成立，则"的最大值为

x—yy—zx—z

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

1

【分析】由基本不等式得出x-z=(x-y)+(y-z)N2j(x-y)(j-z),——+>2I,再由不等式

x-yy-zyx-yy-z

的性质求解即可.

【详解】因为x>V>z,所以X—y>0,y-z>0,x—Z>0,所以不等式-之旦恒成立等价于

x-yy-zx-z

〃V(x_z)j—］恒成立.

y-z)

因为x_z=(x_y)+(y_z)N2j(x_y)(y_z),-^—+-^—>2------,所以

x-yy-zj-z

(x-z)-1—^+―=4(当且仅当X-y=y-z时等号成立)，则要使

"M（x-二）1二一+二一］恒成立，只需使〃M4（"eN）,故n的最大值为4.

\x-yy-z）

故选：C

3.（23・24高三上•浙江宁波・期末）设实数x,y满足y>3,不等式

才（2》一3乂、一3）忘8丁+/_12/-3/恒成立，则实数后的最大值为（）

A.12B.24C.2>/3D.4币

【答案】B

.22-22

【分析】令a=2x-3>0,A=.v-3>0,不等式变形为三+/^±后，求出丹+〈三的最小值，从而

y-32x-3y-32x-3

得到实数上的最大值.

3

【详解】x>-,y>3,变形为2x-3>0,j-3>0,

令〃=2x-3>0,b=y-3>0,

贝!|左（2》一3）（了一3）48/+/-12》2-3贯转化为

>8X3+V3-12X2-3V24x2v2

k<—厂———.......—即------+———之左，

(2x-3)(j-3)y-32x—3

其中4?।/=g+3)2।修+3)2之0A)上届)

y-32x-3baba

a=3,

b=3

当且仅当即x=3,y=6时取等号，可知才424.

ba

ab

故选：B

【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等““一正''就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、填空题

4-⑵-24高三上•安徽•期中）若S3般x+士，则实数力的取值范围是—

【答案】（if

【分析】由题知可将式子构造为：x+3+」二-3,然后利用基本不等式从而求解.

x+3

【详解】因为x>3所以x+3>0,

于是％+」一=（x+3）+」3>2.（x+3）♦-----3=-1,

x+3'7x+3V7x+3

当且仅当x+3=—1，即x=-2时取等号，所以％<-1.

故答案为：（口,一1）.

22

5.（2024•江西•一模）已知正数x,y满足x+y=6,若不等式。4——+二恒成立，则实数a的取值范

x+1y+2

围是.

【答案】（y，4]

x2v21414

【分析】将1+'变形为X+1+F-2+y+2+-^-4=3+-^+-^,利用均值不等式求

x+ly+2x+1y+2x+ly+2

14

Q+否的最小值即可求解.

【详解】因为x+y=6,

所以r上+工=（x+12（x+l）+l+什+2）一（『+2）+4

x+1y+2x+1y+2

14-4=3+^—+---4----,

=x+1+-------2+v+2+--------

x+1"y+2x+1y+2

°14°x+l+y+2[114

所以一+byL——+——

9x+1y+2

=%+上2+上独>%+2号招等号成立当且仅当"4-2,

99（x+l）9（v+2）9

2

所以向+尹y22

=4,a<4,

min

故实数a的取值范围是（一双4].

故答案为：（口,4]

->2

【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到总y14

+/2=3+於+或，再进一步结合乘法即可顺利得

I③函数中的恒(能)成立问题

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)己知/(x)=2*-a+l,且f(x)<6在区间(1,2)恒成立，则实数。的取值范围是

()

A.B.[―C.(—1,1]D.(—1,2]

【答案】B

【分析】/(x)<6在区间(1.2)恒成立，只需要/(x)111ax<6即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可

得解.

【详解】由解析式易知：/(x)单调递增，

当xe(l,2)时，/(x)<6恒成立，贝！⑵=5-。46,得

故选：B.

2.(23-24高三下•河南•开学考试)已知正数加，"满足四+1=2?〃，若用+2〃4力〃/恒成立，则实数久的

最小值为()

A.-B.-C.yD.-

4525

【答案】D

【分析】变形得到/甯，变形得到彗产“，求出想得到答案・

I2

【详解】因为所以加+2〃4力=>f+——<2,

nnm

e、，3m.~12〃？一1

因为---F1=2ni所以一二-----,

n9n3m

..(2ni-1V22w-l_4nr+Sm-5

故-----+----------<2=>------5——

I3mJm3m9nr

口门4nr+8777-51Y814

即------5——

9加2)9m9

当且仅当加=3时，等号成立,

4

故兀2与4，实数2的最小值为q4.

故选：D

3.(2024•福建厦门•一模)己知a=x+^,方=^+仁3c=sinx+Jicosx,则下列结论错误的为()

A.3xe[-l,l],a>cB.[-1,1],b>c

C.Hre[-l,l],a<cD.3.re[-l,l],b<c

【答案】D

【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.

【详解】对于A,当x=g时，

0

兀636~13c.

a=-I—>—I—=2,c=—I—=2,4>c,

6兀6422

所以％a>c,故A正确：

对于B,当x=0时，6=2,c=6此时6>c,

所以3xe[T,l],b>c,故B正确:

对于C,当x=-5时，

0

716c13,.

a=------<0c=---1—=1,此时a<c,

6兀922

所以上e[T,l],a<c,故C正确：

对于D,当xe[-Ll]时，

b=ex+e-x>2y/exe-x=2»当且仅当e'e",即x=0时取等号,

c=sinx+5/3cosx=2siiix+jj,

由得x+§e_l+yJ+y,

r-兀.兀c.兀兀

而一<1+—<兀,0〈一1+—v—,

2332

所以当x+5,即时，c=sin.r+>/3cosx=2sm^.r+yj=2,

所以CM2,当且仅当x=?时取等号,

6

而0工2,所以VxH-Ll],b>c,故D错误.

故选：D.

4.（2024•广东深圳•模拟预测）已知函数/（x）=[：若加©R,使得了"。^脂切+彻?成立,

[log3x,x>3

则实数〃，的取值范围为（）

915

c.—QO,----O--,+a?D.—QO,----3--。,+叫

442

【答案】C

【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.

【详解】因为函数y=1-3x在区间上单调递减，在区间[3别上单调递增,

2

所以当X=；3时，函数J，=X?-3x,x43取得最小值-彳9.

又因为函数1，=1y3*在区间(3,+R)上单调递增,

所以当x>3时，log3X>l.

?一二"：3的最小值为？

综上可得函数/")=<

log3x,x>34

因为使得/(XO)M1O〃7+4/成立,

90

所以—<10/W+4〃厂解得：m<—或m>—.

4944

故选：C.

—+4YX«]

5.(2024•北京昌平•二模)已知函数/(x)=,「/，'若对任意的X都有|/(x)|w«r恒成立，则实数。

in(x-1kx>1.

的取值范围是()

A.(-00,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(YO,2]

【答案】B

【分析】首先画出函数g(x)=|/(x)|的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.

——4vY«1

【详解】因为/")=皿1)'1'令烈外巾(砌'作出g(x)图象,如图所示，

令力(X)=QX,由图知，要使对任意的》都有|/(X)|之双恒成立，则必有

y=X2-4x

当x4O时，=x2-4x,由,消歹得至!|一—(4+4口=0,

y=ax

67=-4,由图可知-44。M0,

故选：B.

二、填空题

6.(2024•辽宁・模拟预测)命题“任意xe[l,3],a42,+2-，”为假命题，则实数。的取值范围是.

【答案】

【分析】根据题意，问题转化为存在xe[L3],。>2、+2T为真命题，即。>(2、+2-")1m,求出y=2'+2T

的最小值得解.

【详解】若命题任意"x«L3],av2'+2一工”为假命题，

则命题存在xe[1,3],a>21+2~x为真命题，

因为14x43时，2<21<8,

令1=23则2Mt48,

则^=，+；在[2,8]上单调递增，

所以，

28

所以

故答案为：a>|.

x

7.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知函数/(*)=/+加，g(x)=2-w,若对任意的再e[-1,2],总存

在240,3]使得/(xj=g(x2)成立，则实数小的取值范围是.

【答案】|-2

【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可.

【详解】函数/(x)=/+加在[-1，2]的值域为A=[m,m+4],

函数g(x)=2"-m在[0,3]的值域为B=8-间，

因为对任意的演e[-1,2],总存在马e[0,3]使得/($)=g&)成立，

所以2=5,所以,解得…“2・

口〃+4V8一加2

故答案为:；，2

8.(23-24高三下•湖南岳阳•阶段练习)己知函数/(x)=sinx+；x2-GN0在xe[0,+s)上恒成立，则实数

a的取值范围为.

【答案】(y』

【分析】由题意，先求出了'(X)在xe[O，E)上的最小值为广(0)=1-%然后分/'(0)=1-心0和

r(0)=1-a<0讨论/(x)在xe[0,+oo)上是否恒成立，即可得到答案.

【详解】因为/(x)=sinx+gx2-aic,xe[0,+s),

所以/'(x)=cosx+x-a,xe[0,+<x>),设g(x)=cosx+x-a,

所以g'(x)=-sinx+lN0,

所以/'(x)=cosx+x-a在[0,+旬上单调递增，

所以/'(x)在xe[0,+«>)上的最小值为r(0)=l-a,

①当/'⑼=1-。20时，即时，/⑺在[0,+8)上单调递增，

又/(0)=0,所以函数〃*)=$111*+；》2-奴20在X€[0.+00)上恒成立，

所以“41满足题意；

②当/(0)=1-。<0时，即0>1时，又/'(X)在[0,+功上单调递增，且xf+s/(x)fE,

所以，3xoe(O,+(»),使得了'伉)=0,当xe(O,%)时，/*(x)<0,

即/(x)在(0,%)上单调递减，又/(。)=0,

所以当xe(O,x°)时，/(x)<0,不满足/(x)NO恒成立，

综合①②可得实数a的取值范围为(口』].

故答案为：(fJ.

【点睛】关键点点睛：求出了'(X)在xHO.+s)上的最小值为广(0)=1-。，通过讨论](0)=1-。的正负得

到函数/(x)20在xe[0,”)上恒成立时实数a的取值范围.

9.23-24高三上•重庆•阶段练习)己知小"一，名⑴=汽