解三角形中的最值与范围问题 限时训练-2025届高三数学二轮复习【原卷版】

解三角形中的最值与范围问题一、单项选择题1．(★)(2024·湖北联考)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＝2ccosB，则eq\f(b,a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)))2的最小值为()A．2eq\r(2)B．3C．2eq\r(3)D．42．(★★)(2024·黄山模拟)已知△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为2，C＝eq\f(π,3)，则AB边上的高的取值范围为()A．(0,3] B．(0,3)C．(2,3] D．(2,3)3．(★★)(2023·马鞍山模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则eq\f(sin2A,sinC－A)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))4．(★★★)(2023·河南省实验中学模拟)已知△ABC中，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，若eq\f(BD,DC)＝eq\f(1,2)，则△ABC面积的最大值为()A．1B．2C．3D．4二、多项选择题5．(★)(2023·江西师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝eq\f(π,3)，b＝4，则下列判断中正确的是()A．若A＝eq\f(π,4)，则a＝eq\f(4\r(6),3)B．若a＝eq\f(9,2)，则该三角形只有一解C．△ABC周长的最小值为12D．△ABC面积的最大值4eq\r(3)6．(2023·深圳中学模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C满足sinB＋2sinAcosC＝0，则下列结论正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．sin2023A＋sin2023B>sin2023CC．角B的最大值为eq\f(π,6)D．角C的最大值为eq\f(2π,3)三、填空题7．(★★)(2023·普宁二中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．8．(★★★)(2024·德州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若2S＝a2－(b－c)2，则eq\f(b2＋c2,bc)的取值范围为____________．四、解答题9．(★★)(2024·苏州模拟)记△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(3)，eq\r(3)c＝3cosB＋bsinA.(1)求A；(2)若点A，D位于直线BC异侧，BD⊥BC，BD＝1，求AD的最大值．10．(★★)(2023·华南师大附中模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b＋c)(