数学课堂探究：平面向量的数量积（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量数量积的运算求向量数量积的方法：1．分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．如待求式是较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．在运算时要注意确定两个向量的夹角，特别是平行向量要注意向量是同向还是反向．2．如果涉及图形的数量积的运算，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量进行向量线性运算后求数量积．这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．【典型例题1】已知｜a|＝2，|b｜＝3，a与b的夹角为120°，试求：（1）a·b；（2)(a＋b)·（a－b)；（3）(2a－b)·（a＋3b）．解：(1）a·b＝|a｜·｜b｜cos120°＝2×3×＝－3。(2）(a＋b)·（a－b）＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝｜a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3）(2a－b)·（a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a｜2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34。【典型例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为2,E，F分别为BC，CD的中点，求·的值．解：由已知得|｜＝2，|｜＝2，∵⊥.∴·＝0.又由图可知，＝＋＝＋＝＋。＝＋＝＋＝＋。∴·＝·＝·＋2＋2＋eq\f(1,4）·＝|｜2＋|｜2＝4.探究二求向量的模利用数量积求解模的问题是数量积的重要应用,注意以下两点：1．此类求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系，要灵活应用a2＝｜a｜2，勿忘记开方；2．向量数量积与模的关系及其作用：a·a＝a2＝｜a｜2或｜a|＝，此关系用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【典型例题3】(1)已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝5,且a与b的夹角为60°,则｜2a＋b|＝________.(2）已知向量a,b满足｜a|＝，a与b的夹角为135°，｜a＋b｜＝，则｜b｜＝________。解析:(1）|2a＋b|2＝(2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4｜a｜2＋4|a|｜b｜cos60°＋|b|2＝4×25＋4×5×5×＋25＝175.∴|2a＋b｜＝5。(2)∵|a＋b｜＝，∴a2＋2a·b＋b2＝5，∴｜a|2＋2｜a|·｜b|cosθ＋|b｜2＝5。∴｜b｜2－2|b|－3＝0。∴｜b｜＝3或|b|＝－1（舍去)．答案：（1)5（2）3探究三有关向量的夹角与垂直问题1．求两向量的夹角主要借助公式cosθ＝，求解方法有两种：一是根据已知条件求出a·b，｜a｜与|b｜，代入公式求解;二是找出|a｜，｜b|与a·b的关系通过约分求解，注意夹角的范围．2．非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，应熟练掌握．【典型例题4】(1)已知向量a,b满足｜a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a,则a与b的夹角为________；(2）已知向量a，b满足a－b与a＋b垂直,2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为________．解析：(1）∵(a－b)⊥a,∴(a－b）·a＝0，∴a2＝a·b＝2。设a,b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∵0≤θ≤π，∴θ＝.（2）∵a－b与a＋b垂直，∴(a－b)·(a＋b）＝0。∴a2＝b2.∴｜a｜＝｜b|。∵2a＋b与b垂直,∴(2a＋b）·b＝0。∴2a·b＋b2＝0.∴a·b＝－b2＝－｜b|2.设a，b夹角为θ，则cosθ＝＝＝－。∵0≤θ≤π，∴θ＝.答案：(1)（2)探究四判断平面图形的形状1．依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状,关键是由已知建立数量积、向量的长度、向量夹角等之间的关系，移项、平方是常用方法，从中得到边角的关系．2．解决这类题型还要注意对向量加(减）法的几何意义、数量积为0的性质及平行四边形的性质等知识的应用,采用数形结合的方法解决问题．【典型例题5】在△ABC中，(－）·（＋)＝0，2＝·，则△ABC的形状是（)A．等腰三角形B．直角三角形C．等