数学自我小测：不等式（第3课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．（－∞，lg6］B．（－∞,3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)2．已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥eq\f（1，8)πD．V≤eq\f(1，8)π3．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．44．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为（)A．3eq\r(3，6）B．2eq\r（2）C．12D．12eq\r(3,5）5．若a＞b＞0,则a＋eq\f（1，b（a－b))的最小值为（）A．0B．1C．2D．36．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．7．若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．8．已知a＞0，b＞0，c＞0,且a＋b＋c＝1，对于下列不等式:①abc≤eq\f（1，27）;②eq\f(1，abc）≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f（1,3);④ab＋bc＋ca≤eq\f(1，3).其中正确不等式的序号是________．9．如图（1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器,如图（2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值．10．已知a,b,c均为正数,证明a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，a）＋\f(1,b)＋\f（1，c））)2≥6eq\r(3），并确定a，b，c为何值时，等号成立．

参考答案1．解析：∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz），而xyz≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x＋y＋z,3）））3＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B2．解析:如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R+2h=6,即2R+h=3。,当且仅当R=R=h=1时取等号．答案：B3．解析：xy＋x2＝eq\f(1,2）xy＋eq\f（1，2）xy＋x2≥3eq\r（3，\f(1,2）xy·\f(1，2)xy·x2）＝3eq\r（3,\f(1，4)(x2y）2)＝3eq\r（3,\f（4,4）)＝3。当且仅当eq\f(1,2）xy＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．答案：C4．解析：∵2x＞0,4y＞0，8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3eq\r（3,2x·22y·23z）＝3eq\r(3,2x＋2y＋3z）＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2,y＝1，z＝eq\f(2，3）时,取等号．答案：C5．解析：∵a＋eq\f（1，b（a－b））＝（a－b)＋b＋eq\f（1,b(a－b))≥3eq\r（3,（a－b)·b·\f（1,b（a－b)））＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋eq\f(1，b(a－b）)的最小值为3.答案：D6．解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8（sin2x·sin2x·2cos2x）≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（sin2x＋sin2x＋2cos2x，3））)3＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64，27)，∴y2≤eq\f(64，27），当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)时取等号．∴ymax＝eq\f（8,9）eq\r（3）,ymin＝－eq\f（8，9）eq\r(3）.答案:eq\f（8，9）eq\r(3)－eq\f(8,9)eq\r(3）7．解析：∵xy2＝4，x＞0,y＞0,∴x＝eq\f(4,y2)，∴x＋2y＝eq\f（4,y2)＋2y＝eq\f（4,y2）＋y＋y≥3eq\r(3，\f（4,y2)×y×y)＝3eq\r（3，4）。当且仅当eq\f(4，y2)＝y，即x＝y＝eq\r（3，4)时等号成立，此时x＋2y的最小值为3eq\r(3,4).答案：3eq\r(3,4）8．解析:∵a,b,c∈（0，＋∞），∴1＝a＋b＋c≥3eq\r（3,abc），0＜abc≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）)）3＝eq\f(1，27）,eq\f(1,abc）≥27。从而①正确，②也正确，又1＝(a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2）＋（b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3（a2＋b2＋c2),∴a2＋b2＋c2≥eq\f（1,3)，从而③正确，又2＝2(a＋b＋c)2＝（a2＋b2)＋（b2＋c2）＋（c2＋a2）＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca）,0＜ab＋bc＋ca≤eq\f(2，6）＝eq\f（1,3），∴④正确．答案：①②③④9．解:设正六棱柱容器底面边长为x(x＞0），高为h，由下图可有，∴，。当且仅当，即时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为。10．证明:因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式,得，①，所以.②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\