不定积分换元法

二、类换元法节一、类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法章2021/6/271第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有2021/6/272一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称即凑微分法)机动目录上页下页返回结束2021/6/273机动目录上页下页返回结束例1

求解（一）解（二）令原式2021/6/274机动目录上页下页返回结束解（三）令原式2021/6/275机动目录上页下页返回结束例2

求解一般地2021/6/276机动目录上页下页返回结束例3

求解2021/6/277例.

求解:想到公式机动目录上页下页返回结束说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程P160,公式(18)SCU2021/6/278例3.

求想到解:机动目录上页下页返回结束P160,公式(21)SCU2021/6/279例4.

求解:机动目录上页下页返回结束类似P160,公式(14,15)SCU2021/6/2710例5.

求解:∴原式

=机动目录上页下页返回结束P160,公式(19,20)SCU2021/6/2711常用的几种凑微分形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束2021/6/2712机动目录上页下页返回结束2021/6/2713例7.

求解:

原式例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2714例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束2021/6/2715例10.

求解法1机动目录上页下页返回结束2021/6/2716解法2同样可证或(P199例18)机动目录上页下页返回结束P160,公式(16,17)SCU2021/6/2717例11.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束2021/6/2718例12.

求解:机动目录上页下页返回结束2021/6/2719例13.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束思考：2021/6/2720例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

2021/6/2721机动目录上页下页返回结束例15

求解2021/6/2722机动目录上页下页返回结束解例14

设

求令2021/6/2723例15.

求解:原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2724小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如ex13,P164,SCU2021/6/2725思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2021/6/27262.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束2021/6/2727二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，2021/6/2728定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式2021/6/2729例16.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束2021/6/2730例17.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束P160,公式(22)SCU2021/6/2731例18.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束可以不管具体形式P160,公式(22)SCU2021/6/2732令于是机动目录上页下页返回结束可以不管具体形式2021/6/2733原式例19.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束解法一：三角代换解法二：倒代换2021/6/2734小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令机动目录上页下页返回结束第四节讲根式代换Ex21,P167,SCU2021/6/2735机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P205,P160(SCU))(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2021/6/2736机动目录上页下页返回结束2021/6/2737机动目录上页下页返回结束川大教材没有公式(24)2021/6/2738解:

原式(P205公式(20))机动目录上页下页返回结束例20.

求例21.

求解:(P206公式(23))2021/6/2739例22.

求解:

原式=(P206公式(22))机动目录上页下页返回结束例23.

求解:

原式(P206公式(22))根式代换；三角代换2021/6/2740例24.

求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束三角代换2021/6/2741例25.

求解:

原式令例16目录上页下页返回结束三角代换2021/6/27421.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束思考与练习2021/6/2743作业P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三节目录上页下页返回结束2021/6/2744备用题1.求下列积分:机动