2025年新高考数学一轮复习第5章第01讲平面向量的概念及线性运算(六大题型)(练习)(学生版+解析)

第01讲平面向量的概念及线性运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：平面向量的基本概念 2题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 2题型三：共线定理及其应用 3题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 3题型五：平面向量的直角坐标运算 5题型六：向量共线的坐标表示 502重难创新练 603真题实战练 8题型一：平面向量的基本概念1．下列说法正确的是（

）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行C．模为1的向量都是相等向量D．向量的模可以比较大小2．关于平面向量，下列说法正确的是（

）A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的3．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．C．若非零向量，则与的方向相同D．若，则题型二：平面向量的线性运算及求参数问题4．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（

）A． B． C． D．5．（2024·山东聊城·一模）是内的一点，若，，则（

）A． B．1 C． D．6．已知向量共线，且，则．题型三：共线定理及其应用7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（

）A．、、三点共线 B．、、三点共线C．、、三点共线 D．、、三点共线8．已知非零向量和不共线，若与共线，则的值为．9．已知是不共线的向量，且，则（

）A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线10．已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为．11．在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为；的最小值为.题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用12．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋13．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（

）A． B．C． D．14．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和15．在中，，，则（

）A． B．C． D．16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（

）

A． B．C． D．17．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（

）

A． B．C． D．18．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．题型五：平面向量的直角坐标运算19．若向量，则对应的位置向量的终点坐标是．20．如图，直线､与轴正方向的夹角分别为和，，，则的坐标是.21．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形中，，，则．22．已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为.23．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为．24．已知点，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.题型六：向量共线的坐标表示25．如果三点共线，则的值为.26．已知，，且，则实数．27．若，，三点共线，则.28．在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为．1．已知向量，不共线，实数，满足，则（

）A．4 B． C．2 D．2．设是非零向量，则是成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．4．已知为不共线向量，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（

）A． B． C． D．6．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为的重心，，则（）A． B． C．1 D．67．（2024·青海海西·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C．0 D．28．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（

）A． B．

15．（2024·江西鹰潭·模拟预测）的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量，，若向量与向量共线，则角．16．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（广东卷））已知平面向量，，且，则等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）2．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））已知向量，，若，则实数m等于（

）A．－ B．C．－或 D．03．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（

）A． B．C． D．4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅱ））在中，是边上一点.若，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））平面向量，共线的充要条件是（

）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，7．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．8．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））已知向量，，且，则．9．（2020年江苏省高考数学试卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是．

第01讲平面向量的概念及线性运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：平面向量的基本概念 2题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 3题型三：共线定理及其应用 4题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 7题型五：平面向量的直角坐标运算 10题型六：向量共线的坐标表示 1302重难创新练 1403真题实战练 21题型一：平面向量的基本概念1．下列说法正确的是（

）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行C．模为1的向量都是相等向量D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.故选：D.2．关于平面向量，下列说法正确的是（

）A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的【答案】B【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；零向量方向任意，D错误.故选：B3．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．C．若非零向量，则与的方向相同D．若，则【答案】C【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；对于B选项，，B错误；对于C选项，因为，所以，所以，所以，设向量又向量与是非零向量，所以，又，所以，故与的方向相同；C正确；若，方向不一定相同，则不一定相等，D错误；故选：C.题型二：平面向量的线性运算及求参数问题4．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，则，所以，则，所以，则.故选：B.5．（2024·山东聊城·一模）是内的一点，若，，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由，则，所以，即，又，故，故.故选：D6．已知向量共线，且，则．【答案】或【解析】由向量共线，故向量可能同向、可能反向，当向量同向时，由，则，当向量反向时，由，则.即可能为或.故答案为：或.题型三：共线定理及其应用7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（

）A．、、三点共线 B．、、三点共线C．、、三点共线 D．、、三点共线【答案】C【解析】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.故选：C8．已知非零向量和不共线，若与共线，则的值为．【答案】/【解析】非零向量和不共线，则，由与共线，得，因此，解得，所以的值为.故答案为：9．已知是不共线的向量，且，则（

）A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线【答案】C【解析】A：假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故A错误；B：假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故B错误；C：，假设存在实数，使得，则三点共线.，得，解得，所以假设成立，故C正确；D：，假设存在实数，使得，则三点共线.，得，无解，所以假设不成立，故D错误.故选：C10．已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为．【答案】【解析】如图所示：因为，所以又，所以，所以,三点共线，，化简得；，当且仅当，，取等；故答案为：.11．在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为；的最小值为.【答案】【解析】如图所示，由得，即，又，所以，又为上的一点，所以，因为，，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：；.题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用12．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分别为的边上的中线,则,,由于，，所以,故解得故选：B13．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，由，，得.故选：A14．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C15．在中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，如下图所示：所以.故选：D16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为线段的中点，则，因为点是线段上靠近的三等分点，则，因此，.故选：A.17．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以，即.故选：D18．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如下图所示：易知；即可得.故选：C题型五：平面向量的直角坐标运算19．若向量，则对应的位置向量的终点坐标是．【答案】【解析】，所以对应的位置向量的终点坐标是.故答案为：20．如图，直线､与轴正方向的夹角分别为和，，，则的坐标是.【答案】【解析】如图所示，过点A、B分别作垂线，垂足分别为C、D,由题得A的坐标为由于,所以点B的坐标为所以的坐标为即.故答案为：21．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形中，，，则．【答案】-3【解析】由题意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故答案为：-3．22．已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为.【答案】【解析】设是坐标原点，由于在线段延长线上，且，所以，则，所以，所以点的坐标是.故答案为：23．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴,设点D的坐标为(x，y)，则，，∴，∴，解得，∴点D的坐标为(2，4).故答案为：(2，4).24．已知点，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.【答案】(3,3)【解析】法一:由O，P，B三点共线，可设,则,又，由共线，得，解得，所以,所以点P的坐标为(3,3),故答案为：法二:设点P(x,y)，则，因为，且与共线，所以，即x=y.又，，且共线，所以，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3,3)，故答案为：题型六：向量共线的坐标表示25．如果三点共线，则的值为.【答案】3【解析】因为三点共线，所以存在使得.即，解得.故答案为：326．已知，，且，则实数．【答案】【解析】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：27．若，，三点共线，则.【答案】【解析】因为，，，所以，因为，，三点共线，所以与共线，所以，得，故答案为：28．在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】A，B，C三点能构成三角形，则与不共线，，若与共线，则有，解得，若A，B，C三点能构成三角形，即实数m的取值范围为.故答案为：1．已知向量，不共线，实数，满足，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】由，不共线，实数，满足，得，解得，，所以.故选：A2．设是非零向量，则是成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对于非零向量，由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立；由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立，所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件，故选：C.3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，所以，从而与向量同方向的单位向量为.故选：A.4．已知为不共线向量，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】A【解析】因为，所以三点共线，故选：A．5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设的中点为，则，所以，，则．设，由于，则，则．假如的起点均为，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点如图所示，所以．故选：A．6．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为的重心，，则（）A． B． C．1 D．6【答案】A【解析】根据向量加法三角形运算法知（∗）；F为中点，则（∗∗）；点O为的重心，则，代入（∗∗）得到，，代入（∗）得到，，结合，可得，所以.故选：A.7．（2024·青海海西·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】若，有，解得．故选：B．8．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，所以，故选：D9．（多选题）（2024·高三·山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，由向量加法的三角形法则得，又F为AE的中点，则，故A正确；，故B正确；，故D正确；，故C错误.故选：ABD10．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）下列说法不正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若是两个单位向量，且，则【答案】ACD【解析】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误；对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确；对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数使得，故C错误；对D，由，所以，故D错误.故选：ACD11．（多选题）（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为1 B．的最大值为C．的最大值为12 D．的最小值为4【答案】BD【解析】因为，所以，又，因为、、三点共线，所以，又，为正实数，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；，当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.故选：BD12．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则．【答案】/【解析】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，，因此，所以.故答案为：13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是.【答案】【解析】因为在中，，所以，又因为，则，因为三点共线，则，结合题意知，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：14．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为（用表示）.

【答案】【解析】由已知，则，所以，所以.故答案为：.15．（2