冲刺2024年高考数学真题重组卷02

冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考专用）

真题重组卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（2023・全国统考高考真题）已知集合”={-2,-1,0,1,2},/V=|X|X2-X-6>0},则（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2022•浙江•统考高考真题）已知诉R,a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（）

A.«=1,/?=-3B.«=-1,/?=3c.a=-\,b=-3D.。=1,〃=3

3.（2023•天津•统考高考真题）已知函数/（X）的一条对•称轴为直线x=2,一个周期为4,则/（力的解析式

可能为()

A.sin—xC.sin—x

(2)14J

4.（2022・全国统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水

平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。2，CC「84，A4是举，

O4gC%%是相等的步，相邻桁的举步之比分别为偿=05*=加普=&，鲁=&.已知。&A

C//>|LzC|CO|o74|

成公差为o.l的等差数列，且直线。4的斜率为0.725,则勺二（）

5.12021•全国J卷统考高考真题）已知“，尸2是椭圆C：卷+?=1的两个焦点，点何在C上，则1MHM用

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

6.（2023•全国•乙卷统.”甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外

读物中恰有1种相同的选法共有（)

A.30种B.60种C.120种D.240种

7.（2023•全国.甲卷统考高考真题）已知向量a/3满足同=W=l1c：|=x/5，且a+〃+c=0，则

cos{a-c,b-c)=()

4

A.BD

5-4-I-?

8.（2021・全国/卷统考高考真题）若过点（。/）可以作曲线），=』的两条切线，则（）

A.B.ea<bC.0<«<eAD.0<b<ea

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多以符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.（2021.全国山卷统考高考真题）下列统计量中，能度量样本土,占，7”的离散程度的是（）

A.样本小勺，…，与的标准差B.样本王,马，…,人的中位数

C.样本和林•,山的极差D.样本内,七，•，Z的平均数

10.（2023・全国・H卷统考高考真题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,48为底面直径，ZA尸8=120。，

心=2,点C在底面圆周上，且二面角。一47-0为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46冗

C.AC=2y/2D.△P4C的面积为75

11.（2022・全国」卷统考高考真题：已知O为坐标原点，点41J）在抛物线C.x2=2py（p>0）上,过点B（0,-l）

的直线交C于P,。两点，则（）

A.C的准线为y=TB.直线4B与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.\BP\\BQ\>\BAf

12.（2023・全国・1卷统考高考真题）已知函数/（力的定义域为R,）=y2/（x）+x2〃y）,则（）.

A./（0）=0B.“1）=0

c.f（x）是偶函数D.x=0为f（x）的极小值点

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2023.天津.统考高考真题）在2/的展开式中,小项的系数为

14.（2023全国•甲卷统考高考真题）若/（力=（1）2+依+呵%+?为偶函数，则。=.

15.（2022•全国•甲卷统考高考真题）已知中，点。在边8C上，ZADB=120°MZ）=2,CD=2BD.当

AC

而取得最小值时，BD=

16.（2021•个国•【卷统考M考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称

轴把纸对折，规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx&lm两种规格的

图形，它们的面积之和'=240dn/,对折2次共可以得到5dmx12dm,lOdinx6dm,20dmx3chn三种规格

的图形，它们的面积之和S?=180dm）以此类推，则对折4次去可以得到不同规格图形的种数为；如

果对折〃次，那么之耳=dm2.

hl

四、解答题：本题共6小题，共7。分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）

（2022.全国山卷统考高考真题）已知｛叫为等差数列，他｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=hA-aA.

（1）证明：％=々；

（2）求集合任期=%+%1工屋500｝中元素个数.

18.（12分）

21.（12分）

（2022.全国.乙卷统考岛考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某

种树木的总材积量，随机选取了1。棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m?）和材积量（单位：

mD,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横械面积N0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量H0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得ZX=0-038.Z3<=1.6158,Zu=0.2474.

i-lt»l-I

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样木相关系数（精确到0.01）:

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数r=I“，JT嬴之1.377.

、力％-丁茂（》-苏

Vi-li«l

22.（12分）

（2021.全国J卷统考高考真题）在平面直角坐标系My中，已知点川-如,0）、6（a,0川加用-四眉=2,

点仞的轨迹为C.

（1）求C的方程；

⑵设点/在直线x上，过7的两条直线分别交。于A、6两点和凡Q两点，且|刑・|用=|丁斗|图,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考专用）

真题重组卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（2023•全国/统考高考真题）已知集合用={-2,-1,0,1,2},N=„7—6N0},则（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【解析】方法一；因为N=kk2_x_6\0}=（-8,—2]33,+8）,

而”={-2,-1,0,1,2},所以何cN={—2}.故选：C.

方法二：因为M={-2,-1,012},将一2,-1,0,1,2代入不等式产一尸6之0,

只有-2使不等式成立，所以McN={-2}.故选：C.

2.（2022•浙江•统考高考真题）已知诉R,〃+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.。=1,）=-3B.a=-l,b=3C.«=-l,Z>=-3D,a=\,b=3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求。力.

【解析】a+3i=-\+bi,而。，力为实数，故〃=-1,力=3,故选：B.

3.（2023•天津•统考商考真题）已知函数的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则/（x）的解析式

可能为（）

【答案】B

【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值,

排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.

【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性:

FI=_2_71_AA丁f__2_冗__A人

A选项中£,B选项中£

22

T-97二2"二g

C选项中一工一，D选项中四一，排除选项CD,

44

对「A选项，当x=2时，函数值sinyx2l=0,故(2.0)是函数的一个对称中心，排除选项A,

对于B选项，当x=2时，函数值cos^x2j=-I,故％=2是函数的一条对称轴，故选：B.

4.(2022•全国11统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，A4'.B8,CC',。。'是桁，相邻桁的水

平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A，CG,34,A4是举，

叫g,C综纳是相等的步，相邻桁的举步之比分别为黑-0.5,盘=配萼=禽普=&.已知"，心

CO|o/Aj

成公差为0.1的等差数列，且直线。4的斜率为0.725,则3=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】设OR=OG=CB|=BA=1.则可得关于心的方程.求出其解后可得正确的选项.

【解析】设OD1=DC,=CB1=%=1，则CG=k1,BBX=&,AA=&,

DDy+CC]+BR+AAy

依题意，有&-0.2=心与一().1=&2,且=0.725,

OR+DC[+CB1+BAy

0.5+3&—0.3

所以=0.725,故占=09,故选：D

4

/V2

5.12021•全国I卷统考高考真题)已知片，鸟是椭圆C：---1----=1的两个焦点，点M在。上,则|岬|.|咽|

94

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|M用+|"周=2a=6,

借助基本不等式|〃。|用周/幽士幽］即可得到答案.

【解析】由题,/=9,6=4,则|M用+|M图=2〃=6,

所以6区区需幽P=9（当且仅当|峥|=|M段=3时，等号成立）.故选：C.

6.（2023/；国・乙卷统考高考真迎）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外

读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.3（）种B.6（）种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【解析】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C>-A；=120种，故选：C.

7.（2023•全国•甲卷统考高考真题）已知向量。也。满足|a|=W=l,|c|=夜，且a+b+c=0则

cos（a-c,b-c）=（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【解析】因为％+〃+c：=0,所以£+Z?=」,即片+2〃力=T,即1+1+2。•〃=2,所以“•方=0.

如图，设OA=a,OB=Z?.OC=c,

c

b-c

由题知1,。4=。8=1,0。=夜，048是等腰直角三角形，

/W边上的高0。二也，皿「巫，

22

所以。。=。。+。。=&+也=逑，

22

tanZ.ACD==-,cosZ.ACD=~^=*

CD3加

cos(a-c,b-c}=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-1=2x-1=1.故选:D.

8.(2021・全国・1卷统考高考真题)若过点(“〃)可以作曲线)，=e，的两条切线，则()

A.eh<aB.e<bC.0<a<ehD.Ovbve"

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果：解法二：画出曲线)，=er的图象，根据直观即可判定点(。力)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两

条切线.

【解析】在曲线y=e'上任取一点2亿，)，对函数产-求导得y'=e"

所以，曲线尸-在点夕处的切线方程为y—/=e'(xT),即)，=£H(1T)，，

由题意可知，点(&/?)在直线y=e'x+(]-t)e'±.,可得匕=〃/+(}-t)el=(a+\-t)e'.

令/⑴=(a+lT)d,则:(/)=(〃—)，.

当时，/'(，)>0,此时函数/⑴单调递增，

当/>〃时，r(/)<o,此时函数/⑺单调递减，

所以，=/(〃)=/，

由题意可知，直线y=A与曲线），=/（，）的图象有两个交点，则〃

当rva+1时，7（/）＞0,当f＞4+l时，/（，）＜0,作H函数/（，）的图象如下图所示:

由图可知，当。"时，直线），=〃与曲线），=/“）的图象有两个交点.故选：D.

解法二：画出函数曲线,="的图象如图所示，

根据直观即可判定点（。力）在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.（2021・全国卷统考高考真题）下列统计量中，能度量样本加兀.…,孔的离散程度的是（）

A.样本对勺，,，%的标准差B.样本玉,马,,，人的中位数

C.样本和〜，，与的极差D.样本和〜，，%的平均数

【答案】AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度：

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.

10.(2023•全国山卷统考高考真题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，48为底面直径，NA尸8=120。,

%=2,点C在底面圆周上，且二面角2一月。一0为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面现为4公冗

C.AC=2y/2D.△PAC的面积为G

【答案】AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【解析】依题意，ZA尸8=120。，PA=2,所以。尸=1,04=08=6，

A选项，圆锥的体积为gx兀x(g)\i=兀，A选项正确：

B选项，圆锥的侧面积为兀x石X2=2GTT，B选项偌误；

C选项，设。是AC的中点，连接

则AClOD^AClPD,所以4W是二面角P-AC—。的平面角,

则NPOO=45。，所以OP=O/)=1,

故AO=CO==则AC=2&,C选项正确；

D选项，夕0=户下=&，所以S,"二gx2&x0=2,D选项错误.故选：AC.

11.(2022・全国・【卷统考高考真题」已知O为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C：x2=2〃)，(p>0)上，过点3(01)

的直线交C于P,。两点，则()

A.。的准线为y=-lB.直线A3与。相切

C.\OP\-\OQ\>\OA)[D.18Pl|80|>|以|2

【答案】BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可

判断C、D.

【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2〃，

所以抛物线方程为“=，故准线方程为尸廿，A错误;

心8=〒彳=2,所以直线A8的方程为+,=2x7,

1-0

联立<2，可得V-2x+l=(),解得x=l,故B正确；

=y

设过8的直线为/,若直线/与)轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=丘-1,夕(%/)，。*2，*)，

y=H-1

联乂(2，得Y一区+]=(),

x"=y

△=/一4>0

所以，X)+x2=k,所以攵>2或A<-2,)1乃=(中2『=1，

中2=1

又[0一|=jH+y：=Qyry；,|OQ|=父=M+y：,

所以|OP||Q2I=廊了工而工5力=向温=左l>2=|OA|2,故C正确：

因为|/7P|=J1+&2|,|，|8。|=J1+公⑷,

所以15PH5。|=(1+22)|%也|=1+上>5,而|8A|2=5,故D正确.故选:BCD

12.(2023・全国・1卷统考高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,fM=y2f(x)+x2f(y),则().

A./(O)=OB./(1)=0

C.“X)是偶函数D.工=0为/'(X)的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例/。)=。即可排除选项

D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对TD,可构造特殊函数/=由弓"二°进行判断即可.

0,x=0

【解析】方法一：因为/(盯)=_/〃/)+//(),),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,.f(l)=l〃l)+"⑴，则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(一1)=0,

令丁=7,/(-x)=/'(X)+x2f(-\)=f(x)，

乂函数/“）的定义域为R,所以/"）为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/*）=0,显然符合题设条件，此时/⑶无极值，故D错误.

方法二:因为/(孙)=y2f(X)+x2/(y),

对于A,令x=)，=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则/(1)=0,故B正确.

对于C,令人=y=-1,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(—1)=0,

令)'=T，f(-x)=f(x)+?/(-1)=f(x),

又函数/“）的定义域为R，所以/*）为偶函数，故C正确，

对于D,当Vy2工。时，对/（孙）=y2/（M+x2/（y）两边司时除以％2）,2,得至=+绊

xyxy

故可以设△^=h1|X（xNO）,则吗,4工0,

•T1［0,x=0

当x＞0肘，f（x）=x2Inx,则r（%）=2xhix+x2,=x（21nx+l）,

X

令r（x）＜0,得o-T；令/轲＞。，得.（〉内

故f（x）在fo,eT］上单调递减，在（eW+oo］上单调递增，

因为J"）为偶困数，所以八x）在一e-5,0上单调递增，在上单调递减,

显然，此时％=0是f（x）的极大值，故D错误.故选：ABC.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2023・天津•统考高考真题）在（2.d-的展开式中，/项的系数为

【答案】60

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式小=(-1)鼠26-隈。，/』，令18-必=2确定k的值,

然后计算/项的系数即可.

(解析】展开式的通项公式加广或(2/广，-斗=(-1/x2jxC：x/』,

I-T/

令18—必=2可得，2=4,

则/项的系数为(T)'x2…xC：=4xl5=60.故答案为：60.

14.(2023全国•甲卷统考高考真题)若/(x)=(x-l)2+or+sinx+3为偶函数，则"=______

乙)

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到/q=/从而求得。=2,再检验即可得解.

【解析】因为1y=/(x)=(x—l)2+ar+sinx+g=(.r—l『+or+cosx为偶函数，定义域为R,

X乙)

n九

+—a+cos—

所以抬M3哈可22

则必=(1+1)-(.-1=2兀，故a=2,

此时/(x)=(x-l)'+2x+cosx=x2+1+cosx,

所以/(-A:)=(-X)2+14-cos(-.r)=x2+l+cosx=/(x),

乂定义域为R,故/("为偶函数，所以。=2.故答案为：2.

15.(2022•全国•甲卷统考高考真题)已知A4C中，点。在边8。上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当

取得最小值时，BD=______.

AB

【答案】g

【分析】设8=28O=2〃z>0,利用余弦定理表示出某后，结合基本不等式即可得解.

【解析】［方法一］:余弦定理

设CD=2AO=2〃z>0,

则在AABD中，AB~=BD2+AD1-2BD-ADcosZADB=tn2+4+2m，

在-ACD中，AC2=CD'+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4-4/〃，

2

AC=4〃y+4-4〃?=4(〃/+4+2/〃)-12(1+6)=4_12>4.口=4_2^

所以48?加+4+2〃？/+4+2加W+i)+告2^1-F1)—

当且仅当6+1=二7即m=6-1时，等号成立，

m+\

Ar

所以当商取最小值时，〃，坨T.故答案为：V3-1,

［方法二］:建系法

令BD二t,以D为原点，0C为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,>/3),B(-t,0)

,£=(2一)：+3=4i4=4一_

A/«+l)-+3厂+2/+4(z+1)+_3_

')t+\

当且仅当7+1=#,即5。=6-耐等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2%,,,

,,,,「，，:.2c~+b-=12+6x，

b~=4+4x--4X

c2=x2+4+2x

.-.2r+/?2=12+6x2,

h2=4+4x2-4.v

令生』

则2c2+re2=12+6x2»

AH

2r12+6x2124-6x2

+2=-----；—=------------r2>4-2x/3.

c~x~+2x+4

当且仅当川二合，即钎石+i时等号成立.

［方法四1：判别式法

设用）=x,则CD=2x

在Z\ABD中，AB?=BD2+AD2-2BDAOcosZADB=f+4+2x，

在^ACD中，AC2=CD：+AD1-2CDAOcosZADC=4x2+4-4x，

AC~4x"+4-4.r!4x~+4-4x

所以一r=---------，记/--------

AB~x-+4+2xx~+4+2x

fjiiJ（4-r）x2-（4+2/）x+（4-4r）=0

由方程有解得：A=（4+2r）2-4（4-/）（4-4r）＞0

即『-81+4W0，解得：4-2限Y4+26

所以」=4一26,此时人尹」6-1

4-t

所以当绘取最小值时，x=6-\，即BZ）=G-1.

AB

16.（2021・企国•【卷统考高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称

轴杷纸对折，规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的

图形，它们的面积之和S=240dm。对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格

的图形，它们的面积之和S?=180dm：以此类推，则对折4次表可以得到不同规格图形的种数为；如

果对折〃次，那么丑&=dm2.

£•1

-we..15（3+〃）

【答案】5720

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【解析】（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，

所以对着三次的结果有：：xl2,5x6,10x3；20x；,共4种不同规格（单位dm?）：

故对折4次可得到如下规格：^5x12,|5x6,5x3,10x]3,20x（3,共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，

不论规格如何，其面枳成公比为g的等比数列，首项为120（出/）,

第〃次对折后的图形面积为120x（gJI

对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，

猜想为〃+i种（证明从略），故得猜想邑」2r2+1）,

120x2120x3120x4120(/1+1)

设S=Z'=2。++L+

*=12"一’

则：5=120x2120x3120〃1205+1)

++^~+-2"----'

2'

120(〃+1)60

-S=240+120[-+4-++120(/2+1)

两式作差得:4^=240+一

2U222"

1-----

2

120120(〃+1)_360120(〃+3)

=360一声一

2〃2〃

240(/2+3)”八15(n+3)

因止匕，5=720

2"2“一4

15(〃+3)

故答案为：5；720――3r

四、解答题：本题共6小题,共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)

（2022・全国卷统考高考真题）已知｛q｝为等差数列，｛仇｝是公比为2的等比数列，且

（1）证明：4=。；

（2）求集合｛=品十%,1工m<500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；（2）9.

【分析】（1）设数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得川=2卜2,即可解出.

【解析】（I）设数列｛4｝的公差为d.

a.+d-2b.=a,+2d-4bl/

所以.「〃一纥18Mq+3办即可解得—所以原命题得证.

(2)由(1)知，b1=a、=；,所以4=4+4X2*T=4+("?-1"+4,

即2i=2〃z,亦即〃7=2-41,500],解得24<10,

所以满足等式的解A=2,3,4,,10,

故集合卜也=4+%/。区500｝中的元素个数为10-2+1=9.

18.(12分)

（2023♦北京•统考高考真题）如图，在三楂锥P—A4c中，PA_L平面A5C,PA=AB=8C=1,PC=+.

（1）求证：8C工平面以8；

（2）求二面角A—PC-3的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）y

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得尸A_L8C,再利用勾股定理证得3C_L依，从而利用线面垂直的判

定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面尸伙?的法向量，再利用空间向量

夹角余弦的坐标表示即可得解.

【解析】⑴因为尸A_L平面A8cBeu平面48C,

所以。4_L〃C,同理

所以二Q48为直角三角形，

又因为尸8=，一不+人）=近,BC=\,PC=y/3,

所以。82+8。2=。02,则二PBC为直角三角形，故8C_LP8,

又因为3clp4,PA\PB=P,所以BC/平面PAR

（2）由（1）BCJ.平面以8,又A8u平面PAN,则8C_L/W,

以A为原点，A8为“轴，过A且与8C平行的直线为＞轴，”为z轴,

建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),P(0,0』).C(l,1,0),4(1,0,0),

所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

设平面PAC的法向量为〃z=(X,y,z।),

m-AP=0Z[=0,

则，即]

m-AC-0x+y=0,

令芭=1,则y=T,所以机=（1,一1,0）,

n-BC=0），2=°

设平面P8C的法向量为〃=(工2，%，22)，则，，即《

n-PC=0x2+y2-z2=0

令9=1，则Z2=l,所以〃=（1,0,1）,

/\m-n\1

所以cos

乂因为二面角A-PC-4为锐二面角，所以二面角4-夕。一4的大小为'.

19.(12分)

(2023・全国・1统考高考真题)已知函数〃x)=a(e'+a)-x.

(1)讨论的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21nt/+-.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论々，()勺々>0两种情况，结合导数y函数单调性的关系即可得解；

(2)方法一：结合(I)中结论，将问题转化为/-3一皿。》。的恒成立问题，

构造函数g(a)=/-g-ln“a>0),利用导数证得屋。)〉0即可.

方法二：构造函数人(x)=e'-x-l,证得e'Nx+1,从而得到了⑴2x+lna+1+/-x,

进而将问题转化为片—g—In。>0的恒成立问题，由此得证.

【解析】(1)因为/。)=。伫+〃)-%,定义域为R,所以/'(》)=止'-1,

当时，由于e、>0,则ae'YO,故/'(6=优'-1<0恒成立，所以/(可在R上单调递减:

当〃>0时，令r(x)=ae'—l=0,解得x=-lna,

当.tv-Ina时，/'⑴<0,则/(x)在(Y»,Tna)上单调递减：

当x>7na时，f\x)>0,则/(*)在(—hw,”)上单调递增；

综上:当时，f(x)在R上单调递减;

当〃>0时，/(X)在(70,Tn上单调递减，/(X)在(-Ina,收)上单调递增.

ln<J2

(2)方法一：由(I)得，f(x)n.n=/(-In«)=«(e"+«)+In«=1+a+\na,

i31

要证/@)>21na+二，即证l+a2+ina>21na+-,即证/——lna>0恒成立,

222

令g(a)="-《-In””。)，则/(a)=2a-L=至__1,

2aa

令/(a)<0,则0<〃<曰；令<(a)>0,则a>当；

所以g(。)在上单调递减，在母+81:单调递增，

所以4叱.(用=(用-1-,n2f-=，n^>0.

则g(a)>0恒成立,

3

所以当a>0时，/(x)>21na+5恒成立，证毕.

方法二：令〃(x)=e-x—1,则“(x)=e=1,

由于尸e，在R上单调递增，所以“(x)=e、-1在R上单调递增，

又〃(0)=犬-1=0,所以当x<0时，”(力<0；当x>0时,Az(x)>0；

所以〃(力在(-8,0)上单调递减，在(0,y)上单诡递增，

故〃(X)2/7(O)=O,则e-x+l,当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(x)=a(e'+a)-x=ae'+a2-x=e,+lnw+a2-x>x+\na+\+a2-x,

当且仅当x+lna=0,即x=-lna时，等号成立，

33i

所以要证/'(x)>21na+-,印证x+lna+l+/-x>21na+-,即证/——\na>0,

-222

令g(a)=/-^--lna(67>0),贝ijg，(a)=2a」=+——-,

2aa

令g〈a)vO,则()<4〈等；令g〈a)>0,贝卜/>当；

所以g⑷在0,孝|上单调递减，在(日,+8上单调递增，

所以g（〃）min=g（用=（用-^-ln^=lnV2>0,则g(