大学物理授课教案第七章真空中的静电场

第三篇电磁学

第七章真空中的静电场

本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。

静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。

§7-1电荷库仑定律

一、电荷

1、电箪种声正电荷

\负电荷

作用/同性相斥

\异性相吸

（一般地说：使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电

子）

2、电荷守恒定律

电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它

是物理学的基本定律之一。

3、电荷量子化

在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷e的整数倍。这也是自然

界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的

实验来否定这个规律。

二、库仑定律

点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，

带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点

一样，是假想模型）

库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小及他们电量乘积成

正比，及他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性

相吸。这叫做库仑定律。它构成全部静电学的基础。

数学表达式：%受名的作用力：°q

品=々峥>0斥力（同号）o——I-------->O

r\2<%

<0吸引（异号）

采用国际单位制，其中的比例常数&=9xl（）9N图7-1

写成矢量形式：

令人,与=8.85xl()T2c2/N•加2

4您o

1q、q”

A3'12

4在0r]2

(7-1)

说明：①“2是小对%是作用力，%是由小指到%的矢量。

②%对孙的作用力为：

③库仑定律的形式及万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和

斥力，后者只是引力，这是区别。

§7-2电场电场强度

一、电场

1、电荷间作用

电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之

间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即

直接作用、

两种看法①超距作用：电荷，电荷

<不看传递时间―

.到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存

在着电场，其他带电体受到的电力是电场给予的，即

②场观点：电荷“场”电荷

近代物理学证明后者是正福的Y

2、静电场的主要表现

表现］电场力：放到电场中的电荷要受到电场力。

'电场力作功：电荷在电场中移动时，电场力要作功。

二、电场强度

从静电场的力的表现出发，利用试验电荷来引出电场强度概念来

描述电场的性质。

试验电荷外（点电荷且|%|很小），放入A点，它受的电场力为人试验

发现，将外加倍。则受的电场力也增加为相IT.........r-同

实验电荷:%2%3%…

受力:2F

q与外।同号情形

可见,这些比值都为£,该比值及试验电荷

有关,因此,可以用工来描述电场的性质,

定义：

（7-2）

为电荷q的电场在A点处的电场强度。

三、场强叠加原理/工

外WA

试验电荷放在点电荷系外q,、名…纵所产生电场q（

中的A点，实验表明外在A处受的电场力户是各个["・久）2"

点电荷各自对外作用力M、E、E••比的矢量和，\/

声"+E+E+…+E

按场强定义：后=£=及+。+&+…+&=£+&+耳+.一+瓦

%%%%

上式表明，点电荷系电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单

独存在时在该点产生的场强矢量和，这称为场强叠加原理。

四、场强计算

1、点电荷电场的电场强度

q?A

q在A处产生的场强为：假设A处有试验电布•——-------►

4受力为户，有的？

图7-4

——广

即E二

4%/

(7-4)

不由“指向A,q>0E及不同向（由q-»A）

]<0E及不反向（由A-q）

*点电啬电场球对称。

2、点电荷系电场的电场强度5=7

即

EH

（7-5）

3、连续带电体电场的电场强度

把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有:

所产生场强为瓶=当一干

4m•4

总场强后=j■瓶

q°

4、电偶极子0

-qr+0

等量异号点电荷相距为/,如图所示，这样-O——7——O

P

电荷称为电偶极子。由+4的矢量7叫做电偶

的轴，万=〃叫做电偶极子的电矩。图7-7

*在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时,

这个分子构成了一个电偶极子。

例7T：已知电偶极子电矩为P，求

⑴电偶极子在它轴线的延长线上一点A的瓦;

⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B的瓦。

解：⑴如图所取坐标，

n瓦=3y（瓦及月同向）

4您，

⑵如图所取坐标

*分立电荷产生场强的叠加问题。

例7-2:设电荷q均匀分布在半径为R的圆五及

环心相距x的p点的场强。

解：如图所取坐标，X轴在圆环轴线上，把U%EI

部分在P点产生的电场为：

r—►r

况dE

根据对称性可知，&=0

q>0:E沿X轴正向

<0：后沿X轴负向

（X轴上后关于原点对称）

结论：E及圆环平面垂直，环中心处E=0,也可用对称性判断。

例7-3：半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为0,计算轴线上及盘

心相距x的p点的场强。

解：如图所示，x轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，

半径为「、宽度为力的圆环在P点产生的场强为：

dE〃=一身J（均匀带电圆环结果

4至

•・•各环在P点产生场强方向均杆

••・整个圆盘在P点产生场强为：

（7r>0：背离圆盘

,<0：指向圆盘

即后及盘面垂直（石关于盘面对称）

讨论：RT8时，变成无限大带电薄平板，耳,=£,方向及带电

2分

平板垂直。

例7-4：有一均匀带电直线，长为/,电量为“，求距它为「处p点场强。

解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，力段在p处产生场

强为：

由图知：y=rtg/3=rtgj-rctgO

代⑴中有：形=*y寸

讨论：无限长向匀带电直线d=o,%=乃，卜、

即无限均匀带电直线，电场垂直直手双二

2<0,9指向直线。工一^2^邑等一

例7-5：有一无限大均匀带电平面，电荷面带.——仁一"2

一点场强。2

图7-12

解：如图所取坐标，X轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行

于Z轴的无限长窄条，阴影部分在P点产生场强为（无限长均匀带电

直线结果）

Ey=JdEy=0（由对称性可知）

结论：无限大均匀带电平面产生均匀场，大小为£

2%

（7>0背离平面

<0指向平面

§7-3电力线电通量

一、电力线

电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。

1、后用电力线描述

规定：p方向：电力线切线方向

大小：后的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线

\条数=妲

ds

即E^—

ds

（即：某点场强大小=过该点并垂直于应的面元上的电力线密度。）

2、静电场中电力线性质

⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。

⑵任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要

求。

二、电通量

定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通

里，用叱表小。

卜面分几种情况讨论。

1、匀强电场

⑴平面S及后垂直。如图所不，由后的

大小描述可知：一寸

⑵平面S及巨夹角为6,如图所不，由

的大小描述知：

式中行为5的单位法线向量。

2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量.

如图所示，在S上取面元dS,dS可看成平面，dS上

后可视为均匀，设行为而单位法向向量，曲及该处巨夹角

皂为则通过心电场强度通量为：

通过曲面S的电场强度通量为：

中,平同(7-6)

S

在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量

①”国'(7-7)

S

注意：通常取面元外法向为正。

§7-4高斯定理

一、高斯定理▲

高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲i"'、、，-

的定理，现在从一简单例子讲起。X

1、如图所示，q为正点电荷，S为以q为中T—+0三平f

意「为半径的球面，S上任一点少处后为：\/'、Js

2、通过闭合曲面S的电场强度通量为：

(心山同向)

结论：①,及r无关，仅及q有关(4=const图7T6

2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度

⑴+4在S内情形

如图所示，在S内做一个以+q为中心，7t+弋3-

任意半径「的闭合球面&,由1知，通过&虱

的电场强度通量为"。;通过，的电力线z一i一A

必通过S,即止匕时=中”，，通过5的电

场强度通量为①”"•4=血图7-17

⑵+q在S外情形。％

此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即

穿入及穿出S面的电力线数相等，t/

结论：S外电荷对①,无贡献.

①…在S内\/V

%<

0夕在S外

3、点电荷情况

在点电荷的,%,夕3，,,q”电场中，任一点场强为

通过某一闭合曲面电场强度通量为：

即中,=,E,游=上>,q

________s%s内

(7-8)

上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包

围的一切电荷的代数和除以£。。这就是真空中的高斯定理。上式为高

斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。

说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅

是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证

明

⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围

比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适

用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基

本方程之一。

⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只及闭合面内的自

由电荷代数和有关，而及闭合曲面外的电荷无关。

>0时，不能说s内只有正电荷

当①”."心,工，〈°时，不能说S内只有负电荷

=00寸，不能说S内无电荷

注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。

⑷高斯定理说明①"W•而=：营4及S内电荷有关而及S外电荷无

关，这并不是说E只及S内电荷有关而及S外电荷无关。实际上,

后是由S内、外所有电荷产生的结果。

⑸高斯面可由我们任选。

二、高斯定理应用举例

下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。

可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。

例7-6：一均匀带电球面，半径为R,电荷为+4，求：球面内外任一

点场强。

解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强

方向沿半径向外，以0为球心任意球面上的各点后值相等。

⑴球面内任一点4的场强

以0为圆心，通过Pi点做半径为八的球面却为高斯西：直斯定理为:

\EdS=—^qq+"'、、

•后及詹•同向，且加上后值:/\、'

即均匀带电球面内任一点p场强为零。/7\

注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产+l\）+2所

有面元上电荷在球面内产生场强、y!

2）非均匀带电球面在球面内任一点+/B为

零。（在个别点有可能为零）

⑵球面外任一点的场强图7T9

以0为圆心，通过P2点以半径々做一球面S：作为高斯面,由高斯

定理有：

方向：沿函方向（若”0,则沿方方向）

结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图

的点电荷在该点产生的场强一样。

E='0(r<R)

7-20

例7-7:有均匀带电的球体,半径为R,电量为+q,求球内外场强（8-13）。

解：由题意知，电荷分布具有球对称性，.•.电场也具有对称性，场强

方向由球心向外辐射，在以0为圆心的任意球面上各点的罔相同。

（1）球内任一点匕的E=?

以。为球心，过匕点做半径为八的高斯球面高斯定理为：

但.曲,》

S,%s咕讥/--、\

•・Y及而同向，且Si上各点闰值相等，/ZzA.2\\

E沿加方向。（若q<0,则E沿而方向），（1।jj

结论：Socr,\\）!

注意：不要认为Si外任一电荷元在Pi处了\/=s,

外所有电荷元在Pi点产生的场强的'、、、二J」'

（2）球外任一点P2的后=?图72

以0为球心，过P2点做半径为4的球形高斯面高斯定理

为：

由此有：

E沿丽方向

结论：均匀带电球体外任一点的场强，如

全部集中在球心处的点电荷产生的场

E-r曲线如左图。EK八1

例7-8：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度/一点

场强。。/----:------------*

解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称白国“，仁

在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴

线，过考察点P做半径为「高为〃的圆柱高斯面，上底为扪、下底为S2,

侧面为S3。

高斯定理为：，及曲+A

sS内

在此，有：

•・,在Si、S2上各面元一，后，・••前二项积分

r

又在S3上看及而方向一致，且片常数，-R

即E=上一事

2%/

E由带电直线指向考察点。（若2<0,则巨在:线）

上面结果将及例4结果一致。图7-23

例7-9：无限长均匀带电圆柱面，半径为电荷面密度为b>0,求柱

面内外任一点场强。

解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线

向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。

1）带电圆柱面内任一点Pi的巨=?

以00'为轴，过Pi点做以八为半径IWJ为〃的圆柱图斯面，上底为

Su下底为S2,侧面为S3。高斯定理为：

在此，有：

•・•在Si、S2上各面元而口后，.•.上式前二项积分=0,

又在S3上曲及E同向，且片常数，

结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0

2）带电柱面外任一点场强后=?

以为轴，过P2点做半径为-2高为人的圆柱形高斯面，上底为

S/,下底为S2‘，侧面为S3'。由高斯定理有：

•・。.2成=『[2成.1]=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=4

=后由轴线指向P2。b<（）时，后沿P2指向轴线

2把。弓

结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都

集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场

强一样。

例7-10：无限大均匀带电平面，电荷面密度为+b,求平面外任一点场

解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂

直平面，距平面相同的任意二点处的巨值相等。设P为考察点，过P

点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为

S”左端面为S2,侧面为S3,高斯定理为：

在此，有：

•・•在S3上的各面元而，・•.第三项积分=0、

又•・•在&、S2上各面元曲及目同向，且在Si、S2J\

E=—（均匀电场）

E垂直平面指向考察点（若0<0,则巨由考察点指

例5完全一致。/

例7-11：有二平行无限大均匀带电平板A、B,电彳图7-25

+a,+a;2）+a,-（r0求：板内、外场强.“，

解：1）设Pi为板内任一点，有

设P2为B右侧任一点（也可取在A左侧）,

2）设P3为二板内任一点,

图7-26

E=EA+ER=--+--=

设R为B右侧任一点（也可取在A左侧）

即：E=EA-EB=三-三=0

242%

上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例

子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽

然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强不是都能由它

计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对

称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出

值。应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高

斯面；3）计算但.曲=?工1>=?4）由高斯定理f后•曲=，!>求出后。

§7-5静电场力的功电势

此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。

这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述

静电场的性质。

一、静电场力的功

力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只

及始末二位置有关，而及路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性

力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的

功

卬=势能增量的负值（-陶）

（7-9）

在此，我们研究一下静电力是否为保守力。

1、点电荷情况

点电荷+4置于0点，实验电荷拆由a点/

运动到b点。在c处，公在位移点内，静电力/“）

对外的功为：

afb：=

4厄0几场7-284.。比〃,」

（7-10）

可见：W仅及4。的始末二位置有关，而及过程无关。

2、点电荷系情况

设外在%、％、…、4”的电场中，由场强迭加原理有：

为从a-b中，静电场力的功为：

•・•上式左边每一项都只及外始末二位置有关，而及过程无关，，点电

荷系静电力对外作的功只及4。始末二位置有关，而及过程无关。

3、连续带电体情况

对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2

中结论仍成立。

综上所述，静电场力为保守力（静电场为保守力场）。外在静电场

中运动一周，静电力对它作功为：

[q（）E-dl=0（近代替疗）

=>，后•力=0

（7-11）

此式表明，静电场中的环流=0（任何矢量沿闭合路径的线积分称为该

矢量的环流），这一结论叫做场强环流定律。

静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结

论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定

律。（（7-10）、（7-11）等价，由（7-11）知，电场线不可能闭合）

二、电势能电势

1、电势能：

•・•静电场为保守力场，，可以引进相应势能的概念，此势能叫做

电势能。设吗“、Eg为外在a、b二点的电势能，可有

EEW

-[Pb-Pa]=ab=%[尼dr

（7-12）

电势能的零点及其他势能零点一样，也是任意选的，，对于有限

带电体，一般选无限远处型,=0（电势能只有相对意义，而无绝对意

义）选E独=0,令b点在无穷远，有

结论：外在电场中某点的电势能=%从该点移到电势能为零处电场

力所作的功，在此，电势能零点取在无限远处。

2、电势

由吃“表达式知，它及位置a有关，还有公有关。但是生且仅及

位置a有关，而及为无关。它如同巨=上一样，反映的是电场本身的性

q0

质，该物理量称为电势，记做力，

定义：&为a点电势，选q=0时，有

q。

ph—

4=JEdr

（7-13）

选匕f8,有

u“=「E•疗

（7-14）

结论：电场中某一点a的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零

处（即电势能为零处）静电力对它做的功。A点电势等于把

单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。

说明：1）。"为标量，可正、负或0。单位：v

2）电势的零点（电势能零点）任选。在理论上对有限带电体

通常取无穷远处电势=0,在实用上通常取地球为电势零

点。一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势

比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地

方都可以方便地将带电体及地球比较，以确定电势。

3）电势及电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，

而电势能是电场中电荷及电场组成的系统所共有的，若

电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存

在的。

4）场强的方向即为电势的降落方向。

3.电势差:

电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。

a一_

u-«,=E-dr

Ja

（7-15）

结论：a、b二点电势差等于单位正电荷从afZ,静电力做的功。

三、电势的计算

1、点电荷电势：

2、点电荷系电势

设有点电荷外%，…，

Ma=t—

（7-16）

结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势

的代数和，

此结论为静电场中的电势叠加原理。

3、连续带电体电势

设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，阳

在a处产生电势为：砥毋

整个带电体在a处产生的电势为：（r

例7-12：均匀带电圆环、半径为R,电荷为/

求其轴线上任一点电势。

解：如图所示，X轴在圆环轴线上，图7-31

〈方法一〉用力疗解：卷7

圆环在其轴线上任一点产生的场强为

I0XX

E=——竺一r（后及X轴平行）\J

4至0（斤+X2）2

〈方法二〉用电势叠加原理解4=JdM/,图732

把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，花在p点

产生电势为：

整个环在P点产生电势为：

讨论:1)%=0处，u---—

P4加0R

2)X»R时，叫=/-,环可视为点电荷。

4您

例7-13：一均匀带电球面，半径为H,电荷为

求球面外任一点电势。

解：如图所取坐标，场强分布为

E0（球面内）

〜球面外）

图7-33

球面外任一点P息电势

up=VE-dr=VEdr（二•积分及路径无关，，可沿斤方向

口Jr}J/i

—>oo)

结论：均匀带电球面外任一点电势，如同全部电荷都集中在球心的

点电荷一样。

球面内任一点P2电势

可见，球面内任一点电势及球面上电势相等。（.••球面内任一点

左=0,・•.在球面内移动试验电荷时，无电场力作功，即电势差=0,...

有上面结论）

例7T4:有二个同心球面，半径为小、&,电荷为“，-q,求二面的

电势差。

解：〈方法一〉用/-〃外=j:后.右解f

在二球面间，场强为：

〈方法二〉用电势叠加原理解I（飞；]

内球面在二球面上产生电势分别

外球面在二球面上产生电势分别为：

一二球面电势分另卜为：

注意电势计算方训。图774

§7-6等势面场强及电势的关系

一、等势面

1、等势面：电势相等的点连接起来构成的曲面称为等势面。

如：在距点电荷距离相等的点处电势是相等的，这些点构成的曲

面是以点电荷为球心的球面。可见点电荷电场中的等势面是一系列同

心的球面，如左图所示。

2、场中等势面性质

1）等势面上移动电荷时电场力不作功

设：设点电荷外沿等势面从a点运动到b点电场力作功为：

2）任何静电场中电力线及等势