河南省南阳市2022-2023学年高三上学期文数期终质量评估（期末）试卷

河南省南阳市2022-2023学年高三上学期文数期终质量评估（期末）试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．若集合A={x∣x2−2x−3≤0}，B={x∣A．[−1，3] B．(−∞，3]2．设复数z满足(1+i)z=|3+i|，则复数z的虚部是（）A．−5 B．5 C．−102 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13 B．16 C．664．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）A．14 B．13 C．125．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生30天内在该校食品小卖部消费过的天数进行统计，将所得数据按照[0，5)、[5，10)、[10，15)、A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间6．已知x∈R，y∈R，若p：|x+1|A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为A．π6 B．π3 C．2π38．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，f(−x−1)=f(−x+1)，当x∈(0，1)时，f(x)=2A．−55 B．−455 9．已知函数f(x)=xA．4 B．7 C．11 D．4或1110．已知函数f(x)=2sin(ωx−πA．2 B．32 C．1 D．11．已知过坐标原点O的直线l交双曲线C：x2A．3 B．33 C．6 D．12．已知a=ln1.5，A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b二、填空题13．已知向量a=(4，−25)，b=(1，14．已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)15．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则直线16．在菱形ABCD中，A=π3，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．则得到的四面体ABCD的外接球的表面积为三、解答题17．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分[[[[[[[男性人数22436067533015女性人数12234054512010附：K2=n临界值表：P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

不太了解比较了解总计男性女性总计（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，18．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，S（1）求数列{a（2）若bn=(19．如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD=12BC=1，设平面PAD（1）证明：BC∥l；（2）证明：l⊥平面PAB；（3）求点B到平面PCD的距离．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若F121．已知函数f(（1）当a=1时，求证：f(（2）若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosφy=（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；（2）若点A，B为曲线C上的两个点且OA⊥OB，求证：1|23．已知存在x0∈R，使得|x（1）求a+2b的取值范围；（2）求a2

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由x2−2x−3≤0得−1≤x≤3，所以由log2x≤1得0<x≤2所以A∪B={故答案为：A

【分析】求出集合A、B，然后进行并集的运算即可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】复数z满足(1+i)z=|3+i|，即(1+i)z=3所以z=10故复数z的虚部是−10故答案为：C

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的运算，求出z，再结合虚部的定义，即可求解出答案.3．【答案】B【解析】【解答】如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，PC=1，由题意可知，题中所指几何体为图中三棱锥P−ABD，故该几何体的体积是V=1故答案为：B

【分析】由三视图可知四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为边长为1的正方形，根据棱锥的体积公式可得答案.4．【答案】A【解析】【解答】从3，4，5，6四个数中任取三个数，共有（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）四种情况由32由32由32由42则构成的三角形是锐角三角形的概率是1故答案为：A

【分析】利用古典概型的概率公式求解可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】由图可得，该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在[20，30]内的占比为该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在[0，10)内的占比为估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值为2.该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在[0，该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在[0，15)的占比为所以该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间，D正确，不符合题意；故答案为：C.

【分析】根据频率分布直方图的数据，逐项进行判断，可得答案.6．【答案】B【解析】【解答】p：|x+y−2=0x−y+4=0⇒x=−1x+y=0x−y+4=0⇒x=−2x−y+2=0x+y=0⇒x=−1x+y−2=0x−y+2=0⇒x=0则p对应的点在正方形ABCD的外部（包括边界），如下图所示.q：则q对应的点在以(−1，2)为圆心，半径为由图可知p是q的必要不充分条件.故答案为：B

【分析】由已知可得p对应的点在正方形ABCD的外部（包括边界），q对应的点在以(−1，2)为圆心，半径为7．【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，sinA+sinB即(a+b)(b−a故cosA=b2故A=π故答案为：B

【分析】根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：由题知f(x)+f(−x)=0，所以f(x)为奇函数，因为f(−x−1)=f(−x+1)，将上式中−x代替x，有f(x−1)=f(x+1)，将上式中x+1代替x，有f(x)=f(x+2)，所以f(x)周期T=2，则f(=f(=f(2+=f(=−f(−=−f(2−lo因为log即1<lo所以2−lo因为x∈(0，1)时，所以f(2−======−5所以f(lo故答案为：D

【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性即可求出答案.9．【答案】C【解析】【解答】解：由f(x)因为f(x)所以f(−1)=0f'(当a=1b=3时，f'(x)当a=2b=9时，f'(x)=3x2+12x+9，令f综上，a=2所以a+b=2+9=11，故答案为：C

【分析】求出原函数的导函数，由已知可得关于a，b的方程组，求解a与b的值，验证函数是否在x=−1时有极值0得答案.10．【答案】D【解析】【解答】0≤x≤π，所以ωπ−π由于f(所以−2π3ω−所以k=0，故答案为：D

【分析】由f(x)11．【答案】B【解析】【解答】设双曲线的左焦点为F'由双曲线的对称性可知：F'AFB为平行四边形，所以由双曲线的定义可知：|AF|−|AF'|=3|BF|−|BF|=2a=4|AF|=3|BF|=6，在△F'BF由余弦定理可知：cos∠所以∠F'BF=60°所以S△ABF故答案为：B.

【分析】设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，又双曲线的定义可得|BF|=2，由余弦定理可得∠F'BF=60°12．【答案】A【解析】【解答】因为0<π2−1.25<由于π2=6π12<设u(x)即u(x)=sin故sin13<a=ln1.令f(x)=lnx，令h(则h'当0<x<1时，h'(x)<0，h(x所以h(x)≥h(∴f(1.5)>g(1.5)，即∴a>b>c，故答案为：A

【分析】利用诱导公式及放缩法可得c<b，由a=ln1.5，b=13=0.5113．【答案】-1【解析】【解答】解：由题知a=(4，−2b在向量a方向上的投影为：a⋅故答案为：-1

【分析】根据向量的投影的概念，向量的数量积的运算，即可求解出答案.14．【答案】1【解析】【解答】解：由题知数f(x)=sin(x+φ)+cos所以f(π即sin(即cosφ−即cosφ=sinφ所以3sin故答案为：1

【分析】先利用辅助角公式对已知函数解析式化简，然后结合偶函数的对称性可求出φ，再由同角基本关系可求出答案.15．【答案】y=3x−【解析】【解答】解：由题知，直线AB斜率存在且不为0，因为抛物线y2所以焦点F(1，不妨设直线AB方程为x=my+1，A(x联立x=my+1y可得：y2所以y1+y2=4m因为|AF|=3|BF|，且A，所以AF=3即(1−x即−y1将①③联立可得：y1代入②中有−12m解得：m=±3代入直线方程有x=33y+1写成截距式为y=3x−3故答案为：y=3x−

【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|转化为关于直线斜率的方程求解可得直线AB的斜截式方程.16．【答案】28π【解析】【解答】设菱形ABCD的对角线交点为E，因为四边形ABCD为菱形A=π3，AB=2，所以△BCD和△ABD均是边长为2的等边三角形，则在△AEC中，AE=EC=3，AC=3，由余弦定理可得：cos∠AEC=A过球心O作OO'⊥平面BCD，则O因为OA=OC，EA=EC，EO为公共边，所以则有∠OEC=∠OEA=12∠AEC=π3，因为AE=EC=3，O'在Rt△OEO'中，由∠OEO在Rt△OCO'中，设四面体ABCD的外接球的半径为R，则R2所以四面体ABCD的外接球的表面积为S=4πR故答案为：28π3

【分析】根据题意，△BCD和△ABD均是边长为2的等边三角形，过球心O作OO'⊥平面BCD，则O17．【答案】（1）解：由题意得列联表如下：

不太了解比较了解总计男性125165290女性75135210总计200300500计算得K2因为2.所以有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（2）解：由题意可知，抽到的女性有5×3075=2记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为(a，b，c)、(a，b，d)、(a、b、e)、抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是35【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解出结论；

(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及列举法，即可求解出抽取的3人恰好是两男一女的概率.18．【答案】（1）解：当n=1时，S1=a1=因为an>0，故因为Sn=n(即an2+(1−n又an>0，即可得（2）解：由（1）知，bn=(n+1)⋅(∵bn+1−bn=(89)当n>7时，bn+1故数列{bn}【解析】【分析】(1)由n=1可求得a1，再由等差数列的前n项和以及已知等式即可求解数列数列{an}的通项公式；

(2)计算bn+1−bn=(89)n×7−n19．【答案】（1）证明：由题可知BC∥AD，BC⊈平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD，∵BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，∴BC∥l；（2）证明：∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥BC，∵底面ABCD为直角梯形，且∠ABC=∠BAD=π∴AB⊥BC，∵PB∩AB=B，PB⊂平面PAB，AB⊂平面∴BC⊥平面PAB，由(1)知BC∥l，∴l⊥平面PAB；（3）解：由题知PB=AB=AD=1且∠ABC=∠BAD=π连接BD，如图所示：可得BD=2，DC=∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥BC，∴PC=5，PD=∵PC∴△PDC为直角三角形，设点B到平面PCD的距离为h，∵V即13即13解得：h=6故点B到平面PCD的距离为63【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理与性质定理，即可证明出BC∥l；

(2)根据线面垂直的判定定理，即可证明出l⊥平面PAB；

(3)根据等体积法思想，即可求解出点B到平面PCD的距离．20．【答案】（1）解：设椭圆焦距为2c，由题意知：ca=12，即可得：a=2，c=1，b=a故椭圆C的方程为：x2（2）解：不妨设直线MN交x轴于Q点，由F1M=2F2由于F1(−1，0)，F故Q(3，设直线MN的方程为x=my+3，M(x1，y1)，由F1M=2F2N，得故kMN=y由x=my+3x24+y∴y1+y2=−又∵F1M=2F2N，得y故2(−6m3m由m<0得m=−2所以直线MN的方程为：x=−253另解：延长F1M交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知，得F1设M(x1，y1)，设直线PM的方程为x=my−1，（同上可判断m>0）联立x=my−1x24满足Δ=144(∴y1+y2=又∵F1M=2P则可得−y2=6m3解得m=2故y1+y因此，直线MN的斜率k=y不妨设直线MN交x轴于Q点，由F1M=2由于F1(−1，0)，F故Q(3，所以，直线MN的方程为：y=−3510【解析】【分析】(1)由离心率为12得到a=2c，又|PF1|的最小值为1，则a−c=1，即可求解出椭圆C的方程；

(2)不妨设直线MN交x轴于Q点，由F1M=2F2N，易得F1Q=2F221．【答案】（1）证明：当a=1时，f(x)f'当0<x<1时，f'(x)>0所以f(x)在(所以f(x)max=f(1)=0（2）解：函数f(x)当a＝0时，f(x)=−x2=0当a≠0时，由f(x)=0得1a=lnx+x因为函数f(x)有且只有一个零点，设g(x)=lnx+xx2，则函数g'令h(x)=1−2lnx−x，则h'因为x>0，所以h'所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，且所以当0<x<1时，h(x)当x>1时，h(x)所以g(x)在(0，1)上单调递增，在所以g(当0<x<1时，g(x)<g(1)=1，令φ(x)=2x+lnx，0<x<e−1，则当0<x<e−1时，2x+lnx<0⇔lnx+x<−x⇔g(x)<−1当e−1≤x<1时，e−e2≤x<1，于是得当0<x<1时，g