2024-2025学年上学期河北高二数学期末试卷

第1页（共1页）2024-2025学年上学期河北高二数学期末一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）数列-15，17，-A．an=(-1)n-13n+2 B．C．an=(-1)n-12n+3 D2．（5分）（2020秋•德城区校级期中）直线3x﹣3y﹣5＝0的倾斜角为（）A．π6 B．π3 C．23π D3．（5分）（2023春•西山区校级期中）已知向量a→=(-3，2，7)，A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣54．（5分）（2016春•红河州校级月考）若A（﹣1，2），B（0，﹣1），且直线AB⊥l，则直线l的斜率为（）A．﹣3 B．3 C．-13 D5．（5分）（2022秋•河北期中）已知A，B均为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点，F为C的焦点，且3AF→=7FBA．±55 B．±259 C．6．（5分）（2021秋•凉山州期末）过双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点P，且满足|F1A．2-1 B．2+1 C．2 D7．（5分）（2023春•河南月考）在等差数列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，那么a4＝（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）（2023秋•启东市校级月考）已知等腰△ABC底边两端点的坐标分别为B（4，0），C（0，﹣4），则顶点A的轨迹方程是（）A．y＝x B．y＝x（x≠2） C．y＝﹣x D．y＝﹣x（x≠2）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2024春•相山区校级月考）已知函数f(x)=4lnx-A．曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为y=3x-B．函数f（x）的极小值为4ln2﹣1 C．函数f（x）的单调增区间为（0，2） D．当x∈[1，e]时，函数f（x）的最大值为4ln2﹣1，最小值为1（多选）10．（5分）（2022秋•晋中期末）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＞0，公比q＞1，且T2021＜1，T2022＞1，则（）A．a2022＞1 B．当n＝2021时，Tn最小 C．当n＝1011时，Tn最小 D．存在n＜1011，使得anan+1＝an+2（多选）11．（5分）（2023秋•越秀区期末）已知向量a→A．若m＝1，则|aB．若a→∥b→，则C．“m＞-12”是“a→D．若m＝﹣1，则b→在a→（多选）12．（5分）（2023秋•河南期末）已知双曲线E：x24-y2=1，点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在两条渐近线上（不与原点O重合），点M是E上的一个动点，且OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)A．kOA•kOB为定值 B．当AB⊥x轴时，kOM为定值 C．λμ为定值 D．λμx1x2为定值三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•河北区期末）将直线x﹣y+c＝0向右平移一个单位后，被圆x2+y2＝5截得的弦长为23，则c＝14．（5分）（2022春•西城区期末）设函数f（x）=lnxx，则f′（1）＝15．（5分）（2022秋•建瓯市校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是．16．（5分）（2023秋•海安市校级期中）写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝．①2an+1＝an+an+2；②an+1＜an．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l经过点A（2，﹣1），且与直线l1：x+y﹣1＝0垂直．（1）求直线l的方程；（2）设圆C与直线l相切，且圆心为直线l1与直线l2：2x+y＝0的交点，求圆C的方程．18．（12分）（2024•河东区校级三模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是等差数列，满足a1＝b2＝3，1+a2＝2b3，S2+S4＝2（S3+a3）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=an，n=2k-1bn（Ⅲ）证明：k=1n19．（12分）（2023秋•海陵区校级期中）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到抛物线C的焦点F的距离为12，点A到y轴的距离为9．（1）求p的值；（2）若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于M、N两点．求线段|MN|的长．20．（12分）（2022•攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1（m∈R）在（0，f（0））处的切线平行于x轴（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥ax+2alnx恒成立，求实数a的值．21．（12分）（2024•房山区一模）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，EF＝2，AB＝4，AD＝2．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求二面角F﹣BC﹣D的余弦值．22．（12分）（2023秋•濮阳期中）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为（1）求E的标准方程；（2）设直线l与E交于P，Q两点，且四边形BPFQ为平行四边形，求l的方程．

2024-2025学年上学期河北高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）数列-15，17，-A．an=(-1)n-13n+2 B．C．an=(-1)n-12n+3 D【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】依次将n＝1，n＝2依次选项验证，即可求解．【解答】解：对于AC，当n＝1时，a1=1对于B，当n＝2时，a2=1故选：D．【点评】本题主要考查数列的表示法，属于基础题．2．（5分）（2020秋•德城区校级期中）直线3x﹣3y﹣5＝0的倾斜角为（）A．π6 B．π3 C．23π D【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．【答案】A【分析】把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．【解答】解：由直线3x﹣3y﹣5＝0得，y=33x∴斜率k=33，∴直线的倾斜角为故选：A．【点评】本题考查了由直线方程求直线倾斜角，以及斜率公式，属于基础题．3．（5分）（2023春•西山区校级期中）已知向量a→=(-3，2，7)，A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可．【解答】解：因为向量a→=(-3，2，所以a→⋅b→=0，即（﹣3）×1+2x+7×（﹣1）＝2x则x＝5．故选：C．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．4．（5分）（2016春•红河州校级月考）若A（﹣1，2），B（0，﹣1），且直线AB⊥l，则直线l的斜率为（）A．﹣3 B．3 C．-13 D【考点】直线的斜率．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【答案】D【分析】求出直线AB的斜率，利用直线AB⊥l，求出直线l的斜率．【解答】解：∵A（﹣1，2），B（0，﹣1），∴kAB=2+1-1-0∵直线AB⊥l，∴直线l的斜率为13故选：D．【点评】本题考查直线的斜率，考查两条直线垂直关系的运用，比较基础．5．（5分）（2022秋•河北期中）已知A，B均为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点，F为C的焦点，且3AF→=7FBA．±55 B．±259 C．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】当直线AB的斜率大于0时，过A，B作准线的垂线，作BG⊥AD，根据3AF→=7FB→，设|AF|＝7x，|BF|＝3x，推出|AG|，|BG|的值，计算kAB＝tan∠ABG，同理计算当直线AB的斜率小于0【解答】解：当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线l的垂线，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂足，因为3AF→=7FB→，所以可设|AF|＝7x，|BF|因为A，B均在C上，所以|AD|＝|AF|＝7x，|BF|＝|BE|＝3x，|AG|＝|AD|﹣|BE|＝4x，|AB|＝10x，故|(10x)2-(4x)则kAB＝tan∠ABG=AG当直线AB的斜率小于0时，同理可得kAB=-故直线AB的斜率为±221故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．6．（5分）（2021秋•凉山州期末）过双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点P，且满足|F1A．2-1 B．2+1 C．2 D【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据题意求出|PF2|=b2a，再由|F1F2|＝|PF2|，可得b2a=2c，再将【解答】解：由题意得F2（c，0），当x＝c时，c2a2因为点P在第一象限，所以P(c，所以|PF因为|F1F2|＝|PF2|，所以b2所以c2﹣a2＝2ac，所以e2﹣2e﹣1＝0，所以e=2±因为e＞1，所以e=2故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．7．（5分）（2023春•河南月考）在等差数列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，那么a4＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a2+a3+a4+a5+a6＝5a4＝25，变形可得答案．【解答】解：根据题意，在等差数列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，而a2+a3+a4+a5+a6＝5a4＝25，变形可得a4＝5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）（2023秋•启东市校级月考）已知等腰△ABC底边两端点的坐标分别为B（4，0），C（0，﹣4），则顶点A的轨迹方程是（）A．y＝x B．y＝x（x≠2） C．y＝﹣x D．y＝﹣x（x≠2）【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据AB＝AC，可得顶点A的轨迹是BC的垂直平分线（除去交点），即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴顶点A的轨迹是BC的垂直平分线（除去交点），∵B（4，0），C（0，﹣4），∴kBC＝1，BC的中点（2，﹣2），与直线BC垂直的直线的斜率为﹣1，∴顶点A的轨迹方程是y+2＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x（x≠2），故选：D．【点评】本题考查与直线有关的动点轨迹方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2024春•相山区校级月考）已知函数f(x)=4lnx-A．曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为y=3x-B．函数f（x）的极小值为4ln2﹣1 C．函数f（x）的单调增区间为（0，2） D．当x∈[1，e]时，函数f（x）的最大值为4ln2﹣1，最小值为1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ACD【分析】对于A，利用导数的几何意求解判断即可，对于BC，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；对于D，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值．【解答】解：由f(x)=4lnx-12对于A，因为f(1)=4ln1-12所以曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为y-12=3(x-1)，即对于B，由f'(x)=4-x2x=0，得x当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，所以当x＝2时，f（x）取极大值f（2）＝4ln2﹣1，无极小值，所以B错误，C正确；对于D，由选项BC，可知当x∈[1，e]时，函数f（x）在[1，2）上单调递增，在（2，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（2）＝4ln2﹣1，因为f(1)=1所以f（x）的最小值为f(1)=12，所以故选：ACD．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．（多选）10．（5分）（2022秋•晋中期末）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＞0，公比q＞1，且T2021＜1，T2022＞1，则（）A．a2022＞1 B．当n＝2021时，Tn最小 C．当n＝1011时，Tn最小 D．存在n＜1011，使得anan+1＝an+2【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】选项A，利用a1＞0，q＞1，得到an＞0，再利用条件即可得到结果；选项B和C，利用等比数列的性质，结合条件即可判断出B和C的正误；选项D，结合条件，利用数列的单调性即可得出结果．【解答】解：对于选项A，由于a1＞0，q＞1，所以an=a1qn-1＞0，又a1a2⋯a2021＜1，a1a2⋯a对于B和C，由等比数列的性质，a1故a1a2⋯a2021a1a2022＝a2a2021＝⋯＝a1011a1012，于是a1a2⋯a2022=(a1011a1012)1011＞1，则a1011a1012＞1，故a1012＞1，故当对于D，因为a1＞0，q＞1，所以数列{an}是单调递增数列，所以当n＜1011时，an＜a1011＜1，故anan+1＜an+1＜an+2，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）（2023秋•越秀区期末）已知向量a→A．若m＝1，则|aB．若a→∥b→，则C．“m＞-12”是“a→D．若m＝﹣1，则b→在a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角；命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】A项，利用向量的模的坐标运算；B项，利用向量共线的坐标条件求解；C项，由共线反向特例可知；D项，结合数量积与单位向量表示投影向量即可．【解答】解：选项A，若m＝1，则a→=(1，则a→则|a故|a→-选项B，a→若a→∥b→，则m﹣2＝0，解得m＝选项C，a→若m＞-12，则a→⋅b→＜0即“m＞-12”是“a→与选项D，若m＝﹣1，则a→=(-1，则a→则b→在a→上的投影向量的坐标(a故选：ABD．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．（多选）12．（5分）（2023秋•河南期末）已知双曲线E：x24-y2=1，点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在两条渐近线上（不与原点O重合），点M是E上的一个动点，且OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)A．kOA•kOB为定值 B．当AB⊥x轴时，kOM为定值 C．λμ为定值 D．λμx1x2为定值【考点】双曲线与平面向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】求出双曲线渐近线方程，不妨设点A在渐近线y=12x上，点B在渐近线y=-12x上，即可得y1x1=12，y2x2=-12，由此可判断A；当AB⊥x轴时，x2＝x1，y2＝﹣y1，结合kOM=y0x0，化简，可判断B；结合向量OM→=λOA→+μOB→【解答】解：由题意得双曲线E：x2不妨设点A在渐近线y=12x上，点B则y1x1故kOA⋅k设M（x0，y0），由OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)，得（x0，y0）＝λ（x1，y1）+即x0当AB⊥x轴时，x2＝x1，y2＝﹣y1，kOM=y把x0=λx1+μ整理得λ2再由y1=12x1，y2=-12x2，得4λμx1x即λμ不为定值，λμx1x2为定值，C错误，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•河北区期末）将直线x﹣y+c＝0向右平移一个单位后，被圆x2+y2＝5截得的弦长为23，则c＝3或﹣1【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】3或﹣1．【分析】由题意得到新直线方程为x﹣y+c﹣1＝0，利用垂径定理即可求解．【解答】解：将直线x﹣y+c＝0向右平移一个单位后，得到新直线方程为x﹣y+c﹣1＝0，因为圆的方程为x2+y2＝5，则圆心为（0，0），半径为5，又新直线被圆x2+y2＝5截得的弦长为23所以圆心（0，0）到x﹣y+c﹣1＝0的距离为|c-1|2解得c＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．14．（5分）（2022春•西城区期末）设函数f（x）=lnxx，则f′（1）＝1【考点】导数的乘法与除法法则．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用求导法则，先求出f′（x），再求f′（1）．【解答】解：f′（x）=(lnx)'×x-lnx×x'x2=1-lnxx2故答案为：1【点评】本题考查函数求导运算，属于基础题．15．（5分）（2022秋•建瓯市校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是33【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】33【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所成直线为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面AB1C与平面A1C1D间的距离．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所成直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），设平面AB1C的法向量为m→=（x，y，AB1→=（1，0，1），AC→=（1，1，0），DA1→=（0，﹣1，则m→⋅AB1→=x+z=0m→⋅AC→=x+y=0设平面A1C1D的法向量为n→=（a，b，则n→⋅DA1→=-b+c=0n→⋅DC1∵m→=n→，平面AB1C与平面A1∴平面AB1C∥平面A1C1D，AD→=（0，1，∴平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d=|故答案为：33【点评】本题考查平面与平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（5分）（2023秋•海安市校级期中）写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝﹣n（答案不唯一）．①2an+1＝an+an+2；②an+1＜an．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】﹣n（答案不唯一）．【分析】由题意可得数列{an}为等差数列，且为递减数列，即可得解．【解答】解：因为2an+1＝an+an+2，所以数列{an}为等差数列，因为an+1＜an，所以数列数列{an}为递减数列，则可取an＝﹣n．故答案为：﹣n（答案不唯一）．【点评】本题考查等差数列的定义，属基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l经过点A（2，﹣1），且与直线l1：x+y﹣1＝0垂直．（1）求直线l的方程；（2）设圆C与直线l相切，且圆心为直线l1与直线l2：2x+y＝0的交点，求圆C的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）直线l的方程为x﹣y﹣3＝0；（2）圆C的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝18．【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线l经过点A（2，﹣1），即可求解；（2）求出圆心坐标，利用圆C与直线l相切，求圆C的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l与直线l1：x+y﹣1＝0垂直，∴可设直线l的方程为x﹣y+m＝0，∵直线l过点A（2，﹣1），∴2﹣（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣3，∴直线l的方程为x﹣y﹣3＝0；（2）由x+y-1=02x+y=0，可得x＝﹣1，y∴圆心为（﹣1，2）∵圆C与直线l相切，∴半径r等于圆心到直线l的距离d=|-1-2-3|12∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝18．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，属基础题．18．（12分）（2024•河东区校级三模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是等差数列，满足a1＝b2＝3，1+a2＝2b3，S2+S4＝2（S3+a3）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=an，n=2k-1bn（Ⅲ）证明：k=1n【考点】数列的求和；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（Ⅰ）an＝3n，bn＝2n﹣1；（Ⅱ）k=12nckck+1=（5n2【分析】（Ⅰ）通过题目中给出条件先求出数列{an}的通项公式，再求出{bn}的通项公式；（Ⅱ）写出k=12n（Ⅲ）验证n＝1时不等式成立，然后利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（Ⅰ）由S2+S4＝2（S3+a3），得2S2+a3+a4＝2S2+4a3，即a4＝3a3，所以等比数列{an}的公比为3，an＝3n，所以a2＝9，由1+a2＝2b3，得b3＝5，所以等差数列{bn}的公差为2，bn＝2n﹣1；（Ⅱ）由题意，得k=12nckck+1=3×1+1×3+33×3+3×35+…+32n﹣1×（2n﹣1）+（2n﹣1＝1×3+3×33+…+（2n﹣1）×32n﹣1+1×33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，令Sn＝1×3+3×33+…+（2n﹣1）×32n﹣1，则9Sn＝33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，则Sn﹣9Sn＝3+2×33+…+2×32n﹣1﹣（2n﹣1）×32n+1＝3+2×27×（1﹣9n﹣1）÷（1﹣9）﹣（2n﹣1）32n+1，化简得，Sn＝（n4-532）•32令Tn＝1×33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，同理得，Tn＝（n4-532）•32所以有，k=12nckck+1=Sn+Tn＝（5n2（Ⅲ）证明：当n＝1，不等式左侧=4×3-13×5=1115假设当n＝m﹣1（m≥2，m∈Z）时，不等式成立，要证n＝m时，不等式依然成立，只需证，（4m•3m﹣1）÷（2n+1）÷（2n+3）＜3m+1÷（2m+3）﹣3m÷（2m+1），只需证，（4m•3m﹣1）÷（2n+1）÷（2n+3）＜（6m+3﹣2m﹣3）3m÷（2n+1）÷（2n+3）＝4m•3m÷（2n+1）÷（2n+3），显然该式成立，所以原不等式得证．【点评】本题主要考查等比、等差、差比数列相关性质，并对数学归纳法证明不等式进行考查，具有一定计算量，属中档题．19．（12分）（2023秋•海陵区校级期中）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到抛物线C的焦点F的距离为12，点A到y轴的距离为9．（1）求p的值；（2）若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于M、N两点．求线段|MN|的长．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）6；（2）24．【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义，结合距离公式，即可求解；（2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦点弦长公式再进行求解即可．【解答】解：（1）不妨设A（x，y），因为点A在抛物线上，所以y2＝2px（p＞0），因为点A到抛物线C的焦点F的距离为12，点A到y轴的距离为9，所以AF=9+p解得p＝6；（2）由（1）知抛物线C：y2＝12x，焦点F（3，0），此时直线l的方程为y＝x﹣3，联立y2=12xy=x-3，消去y并整理得x2﹣18x+9此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得x1+x2＝18，则|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝18+6＝24．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．20．（12分）（2022•攀枝花模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1（m∈R）在（0，f（0））处的切线平行于x轴（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥ax+2alnx恒成立，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），递减区间是（﹣2，0）．（2）1．【分析】（1）根据给定的条件，结合导数的几何意义求出m，再利用导数求出函数f（x）的单调区间，即可得出答案．（2）由（1）中信息，将不等式等价变形，构造函数g（t）＝alnt﹣t+1，t＞0，再利用导数探讨g（t）≤0恒成立即可推理出答案．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1的定义域为R，求导得f′（x）＝（x2+2x﹣m）ex，依题意，f′（0）＝0，解得m＝0，此时f（0）＝﹣1，所以函数f（x）在（0，f（0））处的切线为y＝﹣1，符合题意，因此，m＝0，f（x）＝x2ex﹣1，f′（x）＝（x2+2x）ex＝x（x+2）ex，当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），递减区间是（﹣2，0）．（2）由（1）知，f（x）＝x2ex﹣1，不等式f（x）≥ax+2alnx⇔a（x+2lnx）≤x2ex﹣1⇔aln（x2ex）≤x2ex﹣1，因此，∀x＞0，不等式f（x）≥ax+2alnx成立，等价于∀x＞0，不等式aln（x2ex）≤x2ex﹣1成立，令t＝x2ex，x＞0，由（1）知函数t＝x2ex在（0，+∞）上单调递增，∀x＞0，t＞0恒成立，于是得∀t＞0，不等式aln≤t﹣1成立，即alnt﹣t+1≤0对∀t＞0恒成立，令g（t）＝alnt﹣t+1，t＞0，求导得g′（t）=at当a≤0时，g（t）在（0，+∞）上单调递减，而g（1）＝0，所以当0＜t＜1时，g（t）＞0，不符合题，当a＞0时，当0＜t＜a时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，则g（t）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，所以当t＝a时，g（t）max＝g（a）＝alna﹣a+1，从而有alna﹣a+1≤0，令h（x）＝xlnx﹣x+1，x＞0，则h′（x）＝lnx，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，即h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则∀x＞0，h（x）≥h（1）＝0，从而有alna﹣a+1≥0，所以，alna﹣a+1＝0，则a＝1，所以实数a的值是1．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，解题关键是将不等式等价转化，利用导数求函数单调性、最值是解决问题的关键，属于中档题．21．（12分）（2024•房山区一模）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，EF＝2，AB＝4，AD＝2．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求二面角F﹣BC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；向量法；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）27【分析】（Ⅰ）由AB∥DC，证明AB∥平面CDEF，利用直线与平面平行的性质定理，即可证明EF∥AB；（Ⅱ）取AD的中点O，连接EO，得出EO⊥平面ABCD，过点O作OM∥AB，交BC于点M，得出OM⊥AD，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，可以法向量求二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，AB⊄平面CDEF，DC⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF，又因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以EF∥AB；（Ⅱ）解：取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，又因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面ADE∩平面ABCD＝AD，EO⊂平面ADE，所以EO⊥平面ABCD，过点O作OM∥AB，交BC于点M，则OM⊥AD，分别以OA、OM、OE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：因为EF＝2，AB＝4，AD＝2，所以O（0，0，0），B（1，4，0），C（﹣1，4，0），F（0，2，3），则BC→=（﹣2，0，0），CF→=（1，﹣设平面BCF的法向量为m→=（x，y，z），则m→⋅BC→=0m→⋅CF→=0，即-2x=0x-2y+3z=0，解得x＝又平面BCD的一个法向量为n→=（0，0，1），所以cos＜m由图可知，二面角F﹣BC﹣D是锐角，所以二面角的余弦值为27【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．22．（12分）（2023秋•濮阳期中）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为（1）求E的标准方程；（2）设直线l与E交于P，Q两点，且四边形BPFQ为平行四边形，求l的方程．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）x2（2）x﹣2y+3＝0．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；（2）设出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算再进行求解即可．【解答】解：（1）因为椭圆E的上顶点为B，左焦点为F，且B，F在直线x﹣y+2＝0上，令x＝0，解得y＝2，令y＝0，得到x＝﹣2，所以B（0，2），F（﹣2，0），即b＝2，c＝2，又a=2则椭圆E的标准方程为x2（2）因为四边形BPFQ为平行四边形，所以直线经过BF中点（﹣1，1），易知直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y＝k（x+1）+1，P（x1，y1）Q（x2，y2），联立y=k(x+1)+1x28+y24=1，消去y并整理得（1+2k2）x2+（4k2+4k）x+2k由韦达定理得x1+x易知BP→=(x因为四边形BPFQ为平行四边形，所以BP→即﹣y2x1+（2+x2）（y1﹣2）＝0，①因为P，Q在直线l上，所以y1＝k（x1+1）+1，y2＝k（x2+1）+1，②联立①②，可得（k﹣1）（x1+x2）+2k﹣2＝0，即（k﹣1）（x1+x2+2）＝0，又x1所以(k-即(k-解得k=12或k＝因为kFB＝1，所以k＝1不符合题意，则直线l的方程为y=1即x﹣2y+3＝0．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．数列的概念及简单表示法【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．3．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn=a1(1-qn3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【解题方法点拨】典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n+k∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{Sn}也为等差数列，则SA．310B．212C．180D．121解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=n[1+1+(n-1)d]∴SnS1=1，S2∵数列{Sn}∴2S∴22+d=1解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn+10由于{(1∴Sn+10an2≤故选：D．4．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．5．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．6．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．7．等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn=a2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．8．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}的前分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26，解得a1＝∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．9．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2s1;;n=1（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=a（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．10．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：2n-12n＜2n2n+1，1n3＜1n-1n+1=1n2＜1n2-11n2（n+1-n）=2n+11n+1【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：a2+1＞|a|；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；n(n+1)＜（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足a1-12（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，2a解答：（Ⅰ）由a1-12当n≥2时，得a1-12①﹣②得an∴an又a1-121+1=2综上得an（Ⅱ）证明：当n≥2时，2a∴2a∴当n≥2时，2a题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an2，数列{bn}的前n分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知bn=1n2解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an∴2Sn-1=an-1+①﹣②得2an＝an+an2-an﹣1-an-12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（a∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈（2）解：由（1）可知bn=∴T（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．11．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1＜0q12．导数的乘法与除法法则【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠⑧[lnx]′=12、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2x对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．13．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求证：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln214．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．15．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．16．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．17．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．18．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c