2025新高考数学计算题专练：数列求和（解析版）

2025新高考数学计算题型精练数列求和的运算

1.等比数列｛4｝的公比为2,且/，%+2,%成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若d=log2&•an+i)+an,求数列出｝的前"项和r,.

2n+1

【答案】(1)an=2",neN*(2)T„=n+2n+2-2;

【详解】(1)已知等比数列｛%,｝的公比为2,且%，为+2,%成等差数列，

二2(。3+2)=%+%，

2(4«1+2)=2q+8q，解得4=2,

““=2x2"T=2",〃eN*;

,,+12n+1

(2)6“=log2(2”•2)+2"-log22+2"=2〃+1+2",

.、2(1-2"')

=2(1+2+…+〃)+〃+(2+22+…+2")=2(1+2+...+〃)+〃+-^口一.

=n2+2n+2"+1-2;

2.正项数列｛4｝的前〃项和为S“，已知2a“S“=Y+1.

⑴求证：数列优｝为等差数列，并求出S,,,an.

⑵若2=3，求数列｛〃｝的前2023项和玛g.

an

【答案】(l)s“=6；an=^n-4^-(2)7；023=-A/2023.

【详解】(1)由2*=4+1可得,2S；=S；+1,

又因为S.为正项数列｛q｝的前"项和，所以岳=q=1,

因为%=S.-Se，所以2(S“一S"T)S,=(S-S,)+1,

所以S：-=1(,叱2),数列｛S：｝为等差数列，

=1)___

所以S；=n,S"=G,a"=<夜尿―^(”>2)'所以""=品7n-1.

(2)4=(D=(-1)”(«+八_]｝

^023=-l+V2+l-V3-V2+V4+>/3-----V2023-V2022=-72023.

3.已知数列｛4｝为：1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4....即先取4=1,接

着复制该项粘贴在后面作为电，并添加后继数2作为的；再复制所有项1，L2并粘贴在

后面作为应，。5，。6，并添加后继数3作为。7，.•・依次继续下去.记或表示数列｛%｝中"首

次出现时对应的项数.

⑴求数列｛2｝的通项公式；

⑵求+a2+a3-i----F<763.

【答案】⑴)=2-1(2)120

【详解】(1)由题意知：bn+l=2bn+\,即%+1=2电+1),且4+1=2,

所以数列山+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列，

所以仇+1=2",则a=2"-L

(2)由(1)可知，4=26-1=63,所以6在前63项中出现1次，

5在前63项中出现2次，4在前63项中出现2x2=4次，3在前63项中出现4x2=8次，2在

前63项中出现8x2=16次，1在前63项中出现16x2=32次，

所以〃1+。2+生---l-a63=lx32+2x16+3x8+4x4+5x2+6x1=120.

4.已知等差数列｛%｝的前"项和为S,,,%=5@=15,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若2=--------,求数列也｝的前2023项和.

anan+l

【答案】(1)%="(2)羽2023

q+4d=5

【详解】⑴设公差为d,由生=5,$5=15,得5x4,,,解得q=d=l,

54H——-u=15

所以4,=〃.

1__j___1

(2)由(1)可得么=-----

anan+\n(n+l)nn+1

111

所以---+----+…+--------

01a2a2a3々202302024

111112023

+,•,+=1—

T+232023202420242024

故数列也｝的前2023项和为卷•

5.己知｛%｝是首项为2,公差为3的等差数列，数列出｝满足4=4也包=32-2力+1.

(1)证明也-〃｝是等比数列，并求｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)若数列｛4,｝与也,｝中有公共项，即存在太〃zeN*,使得%=粼成立.按照从小到大的顺序

将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作｛g｝,求q+C2+•••+[.

【答案】⑴证明见解析,a„=3»-l(«eN*),4=3"+"("eN*)

0)9(27“一1"+1)-)

262

【详解】(1)由题意可得：a“=2+(〃-l)x3=3"-l("wN*),

而4=4为用=36,-2〃+1,变形可得：bn+l-(n+1)=32-3〃=3色,_〃),&-1=3,

故也-"｝是首项为3,公比为3的等比数列.

从而2一〃=3",即2=3"+M”eN)

(2)由题意可得：3k-l=yn+m,k,meN",令m=3九一1eN*),

则北一1=33"-'+377-1=3(32"-2+n)-l,此时满足条件，

即机=2,5,8”..,3〃-1时为公共项，

所以J+Q+…+。〃=°2+2++44-1

=32+3‘+…+332+.+5+…+3〃_1)=9(2；6.1)+w(3：+l)(nGN*).

6.设数列｛风｝的前〃项和为S“，已知S.+l=2a“SeN*).

⑴求｛%｝的通项公式；

[a,n=2k—1(、

⑵设2=_9,且丘N*,求数列也,｝的前〃项和为

Z2,YI—，/C

【答案】⑴%=2〃T

2〃一1nfn+2)

----+△----"=2k

34

左£N*

2计1一1n2-l

----------1------n--=2k-l

34

【详解】（1）当〃=1时，囚=1,

3+1=2%

当〃22时,nan=24T,

5„_1+l=2an_1

所以｛%,｝是首项为1,公比为2的等比数列，则a“=2i.

2"~\n=2k-l

（2）由题设知：b=,,左eN*,

nn,n=2k

当〃为偶数时，n=(4+41----卜2-1)+S?+“+—卜2)=(2°+224----1-2"-)+(2+4H-----I-ri)

2〃—1%+2)

34

2nl

当〃为奇数时，T〃=Si+b3T---*4)+(瓦+b4T----I-bn_x)=(2°+24-----2~)+(2+44-----\-n—V)

2,,+1-lM2-1

1

3-----4

2〃一1〃（几+2）

--------十——"=2k

34

综上，Tn=\左£N*.

2n+i-ln2-l

-------------1----------n=2k-l

34

7.已知数列｛4｝满足：%=2,且对任意的〃eN*,%+i=2"''

2向。“+2,〃是偶数.

⑴求的,%的值，并证明数列1的,T+||是等比数列；

(2)设。=%-(“©N*),求数列｛b„｝的前n项和Tn.

o9

【答案】⑴％=1,〃3=1。，证明见解析⑵1)—丁

【详解】(1)a2=^-=1,%=2%2+2=10.

由题意得。2〃+1+"I=22〃+&〃+[=22*1(果3)+g=4。2〃_1+[=4]。2〃一1+，

又%+g=|wO,所以数列卜2a+g｝是等比数列.

Q2

(2)由(1)知

运用分组求和，nT^T=-(40+41+42+---+4--1)--n=--^^--n

"3V7331-43

=|(4"T)j.

8.已知正项数列｛q｝的前"项和为J；,q=2且对任意成等差数列，

又正项等比数列出｝的前n项和为S„,S2=1,S3=^.

(1)求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(2)若数列匕｝满足的=穿也,，是否存在正整数"，使9+。2+-+。“>9.若存在，求出"的最

大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)a“=2(«-J^F，勿=[g「(2)不存在，理由见解析

【详解】(1)设也｝的公比为夕，显然E,

4（i-q2）4

413i-q3

由邑=1S3=§，可得＜

13

,i-q9

解得q=；或q=_；

（舍去），又仇=1,所以b“=

又对任意“22,a/冯成等差数列，%=2,

所以42+4ZT=4.

因为4=看一&】（〃N2）,

所以（北-射）⑵+射）=4,所以"-姑=4（心2）,

故忆2｝是以T=4为首项，公差4=4的等差数列，

所以看=4+（"-1）＞＜4=4〃，又4＞0,

所以北＞0,所以看=2方.

当〃22时，«„==,

+4—1

〃=1时，4=2满足上式，

故%=2（«_

设K〃=C]+Q+…+g,

&=4x[J+8x1）+12x0+…+4唱①，

I"''）.'/......3[]”/②,

①一②,得/=4+4x（1+4xflJ+4x以+…+咽「_叫

-6〃[]=9-（3+2〃）生<9,

所以监=9-9

故不存在正整数"，使。+。2+…+%>9.

9.已知各项均为正数的等比数列｛4｝,其前〃项和为S“，满足2S“=a“+z-6,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记①为数列⑸｝在区间(am,am+2)中最大的项，求数列也｝的前"项和T„.

【答案】(1)4,=3X2"T；(2)1=3X2"+2-12-3〃.

【详解】(1)设｛q｝的公比为4,则q>0,又2'=“-6,

当〃=1时，2sl=%—6,当〃=2时，2s2=。4-6,

两式相减可得，2〃2=。4-。3，所以2=/-4，

所以^=2或a=—1(舍去)，

所以2S]=%一6=4q-6,即4=3,

所以等比数列｛%｝的通项公式为4=3X2〃T.

(2)由a“=3x2"—,2Sn=an+2-6,可得S,=g(a.+2—6)=)(3'2用一6)=3x2"-3,

所以5"=%-3<%+1，又%>0,

所以S“Na“，当且仅当〃=1时等号成立，

a

所以心4Sm<Sm+i<m+2<Sm+2，

所以旬=s.=3x2"-3,

所以r=3(22+23+2、…+2"M)-3〃=3X^^--3«=3x2"+2-12-3n.

即7；=3X2'"2-12-3W.

10.已知等差数列｛4｝的公差d>0,且满足％=1,%,a2,%成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

为奇数

⑵若数列｛2｝满足么=1〃为偶数求数列｛2｝的前2力项的和Q.

、%%+2'

【答案】⑴4=〃(2)凡=

34n+412

【详解】(1)因为%,k,&成等比数列，所以,=%/，

即(l+d)2=lx(l+3d),

解得d=。或d=1.

因为d>0,所以d=l,

所以%=1+1x(〃-1)=〃.

2”,〃为奇数，

（2）由（1）得b“=，

会r为偶数'

2”,〃为奇数,

所以a=<

2U

所以=4+%+4+…+与1+b2n=(4+4+…+4,1)+(%+”+…+。2,)

=(2'+23+---+22"-1)+1

-22"-1-2211p1

1-22-+2[l~2n+2

_22n+l15

-34ra+412'

,2〃+11c

所以数列也｝的前2"项的和心=气--4nW.

11.设S“是数列｛%｝的前〃项和，已知％=。，a„+1+(-l)"S„=2".

⑴求％,2；

(2)令2=%+i+2%,求■+>+%+…+%.

【答案】⑴%=1，%=3⑵22向—2

【详解】(1)由％+(-1)£=2〃得%-4=2,即%=%+2,

2

a3+S2=2=4f即/+4+0i=4,又？=0，所以4=1,%=3,

(2)当〃=2左时，a2k+i+S2k=22k,

当九二2左一1时,a2k~Szk-i=22*-1,

22

两式相加可得a2M+S2k+a2k-S2k_x=2〃+2^,得a1M+2a2k=2〃+2^',

由于2=〃〃+i+26，所以

Z?2+Z?4+%+…+处=3+22)+(。5+2a4)+(%+24)+…+(。2〃+1+2%)

=(22+21)+(24+23)+(26+25)+...+(22n+22n-1)

=(22+24+26+...+22n)+(21+23+25+...+22n-1)

4(1-4"),2(1-4")_22n+,2

1-41-4~

12.已知｛4｝是递增的等差数列，｛〃｝是等比数列，且4=1,b2=a2,b3=a5,b,=au.

(1)求数列｛4｝与也｝的通项公式；

(2)VZ?6N*,数列匕｝满足誉+/+…+9=号，求｛%｝的前〃项和S,,.

【答案】①a,=2"T,2=3"\2电=3"

【详解】(1)解：由题意，设等差数列｛”,｝的公差为4(〃>0),

则/?2=。2=1+1，a=〃5=1+42,“=%4=1+13d,

因为数列出｝为等比数列，则用=贴4,即(l+4d)2=(l+d)(l+13d),

因为d>0,解得d=2,q=4+(〃一l)d=1+2(九-1)二2九一1.

b

又因为仇=%=3,b3=a5=9,所以，等比数列也｝的公比为4=言=3,

“2

n2

因此，b„=b2q-=3'-'.

(2)解：由2+f■+…+『=勺，①

仇仇2+13

可得?=寿=1，所以,9=3，

23

当〃22时，*+能+…+?=?，②

瓦"b,3〜

①一②得台=”23,所以，*=2-31心2),

Un+\。。3

1/\f3,n=1

9=3不满足C“=2・3"T(〃、2),所以，C“=12.3，T心2，

当〃=1时，5=9=3,

当“22时，S„=3+2x(31+32+---+3n-1)=3+6^~3^=3">

1—3

$|=3也满足5“=3"522),

综上所述，对任意的〃wN*,S“=3”.

13.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”=2a“+2〃-5.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记bn=log,(a„+1-2),求数列J1的前〃项和7；.

bb

[n-n+lJ

【答案】"”=2F⑵悬

【详解】(1)当〃=1时，Si=%=2〃i+2—5,解得％=3,

当2时，S〃_i=2a〃_i+2(〃一1)—5.

可得S“-兀=2%+2〃-5-12%+2(〃-1)-5],

整理得：4=2%-2,

从而an-2=2(q_1-2)(〃>2),

又a「2=l,所以数列｛%-2｝是首项为1,公比为2的等比数列；

所以1—2=(%—2).2"T=2"T,

所以%=2”T+2,经检验，4=3满足%=21+2,

综上，数列｛凡｝的通项公式为。“=+2；

(2)由(1)得4-2=2"、所以％+「2=2",所以，=log2(%+「2)=〃,

.1_1_1__1_

1

bn+x-bn〃(几+1)nn+1

.1111

所以]=----1----------1----------F........H-----------

她b2b3b3b&bnbn+l

n+1n+1

14.已知S"为数列｛a'｝的前”项和，％=1,且〃a“-S“

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若bn=(2“.-1)(2%-1)'求数列也｝的前〃项和小

【答案】(1)%=2〃-1(2)7；=；［1-尹匕］

【详解】⑴因为叫f-〃，

所以(九一1)《T一Si=("-1)2-(n-l)(n>2),

两式相减得nan-(n-V)an_x-an=2n-2,

化简得=2(n>2),

所以数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数歹！J,

所以a,=l+(〃-l)x2=2〃-l.

所以看=4+打+?bn

1111

------------------1--I-----------------------

352n+1

2-12-1…221—12-1

1

所以一

22n+1-l

33〃,

15.已知函数｛凡｝的首项％且满足

2an+1*

(1)求证、为等比数列，并求

an

123100

(2)对于实数x,［可表示不超过x的最大整数，求-----1--------1-------F•••H--------的值.

3〃

【答案】⑴证明见解析，a(2)5051

n3"+2

33%

【详解】(］)因为％=不，4+1

2a“+1'

所以。〃，

12%+121

所以——=-.....1--------

%+133。.

所以^-_]=:

a

n+l3

112

又因为[T=§，

所以数列1-1］是首项为I，公比为;的等比数歹U,

n-l

所以上1_l=9±x12

an333〃

1213〃

所以一二9+1，所以。〃=

anJ3"+2

12,

(2)因为一+1,

anJ

12310024200

所以——+——+—+•••+——=1+丁+…十一^+1+2+3+---+100

加八%〃2〃3%0031323100

12+100x(100+1)

=2x耍+$+•••+

2

、几T123100

设…+河

所以二+...+吧,

33233343101

所以芍」+1+4+…+!一曙

33323331003101

H1萍100=1x1-1100

T310123100利

3203

所以7=3__勺L

加.44x3100

~123-1003203=5053”

所以—+—+—+，"+~ioo=5050+--------

axa2a3a22x3

因为°<箓<1，

2031

所以°＜再而＜5'

203

所以5051V505L5.....-＜5051.5,

zxj

…123100

所以*+]+T+…+族^=5051.

16.已知各项均为正数的数列｛〃〃｝满足4=1,。“=2q_]+3（正整数〃>2）

（1）求证：数列何+3｝是等比数列；

（2）求数列｛凡｝的前〃项和S“.

【答案】⑴证明见解析（2电=2"+2-3〃-4

【详解】（1）证明：已知递推公式%=2%-+3,两边同时加上3,

得：%+3=2（a“_]+3）（〃22）,

因为4>0,q+3>0,

所以+^=2（"22）,

又为+3=4。0,

所以数歹（]｛%+3｝是以4+3=4为首项、以2为公比的等比数列.

（2）由（1）a„+3=4x2"-1=2"+1,则q,=2向-3（〃eN*）,

所以S“=%+/+…+%=2?-3+23-3+…+2向-3

=（22+23+---+2"+1）-3«

-3〃=2"+2_3〃-4-

1-2

17.已知在数列｛%｝中，q=g,且]，1是公差为1的等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵设勿=&包+%，数列抄“｝的前〃项和为4,求使得与4竽的最大整数优的值;

an5

(3)设1=白谷，求数列｛%｝的前〃项和。“

/'an

【答案】(1)。”=-^(2)8(3)。,=2-当

n+i2

【详解】(1)由4=g可知5=2,又是公差为1的等差数列,

所以，=2+5—1)x1=〃+1,故。—.

册H+1

⑵优—“-1+J---1

川+2n+1n+1n+2

=«1I

T=b+b+--+b+

nl2n（2n+2

1142

则5=〃?+--------<—,整理得10（m+2）2_99（切+2）-10《0,

2m+25

解得14相（8,故满足条件的最大整数加的值为8.

1一〃“n

（3）由题得。“=不一=歹，

2'an2

则Q〃=lxg+2x/+3x!+…+〃x',

j1Q八=卜1m1+c2乂l亨+…+（/〃-八1”方1+”诃1，

两式相减得；Q.=[1+1+*+…+（]-八/=1-'一"/?,

ll…八c2n2+n

所以Q=2--=2__—­

18.已知数列｛%｝各项都不为0,前〃项和为%且3%-2=S"，数列｛"｝满足伪=-1,

t>„+l=b„+n.

(1)求数列也｝和也｝的通项公式；

⑵令g=«4,求数列｛q｝的前"项和为1

【答案】⑴凡=[|1也=（〃+1）T-2）；⑵[=8+3（/4）xjB

【详解】(1)由3fl„-2=S,,可得3al—2=邑一22),两式相减得3an-3an_x=Sn-Sn_x=an,

整理得见=1a,i，因为数列｛%｝各项都不为0,所以数列｛%｝是以|■为公比的等比数列.令

n—1,贝lj3%—2==q,解得%=1,故%.

由题知2+1-2=〃，

所以％=(2-2一1)+(%-％.2)+・・・+03-4)+02-4)+4

/八/c11n2-n-2(n+l)(n-2)

二(〃-+-2)H-------1-2+1—I=------------=----------------

r\1\tl­l

(2)由⑴得c“=也=(-2)-，所以

〃+112,

(3丫(3丫(3丫-1

?；=q+C2+…+c”十+0x-+-+(n-2)x-，

Q(八1/八2(八〃

彳4十l)x7+°x-+…+("2)X-，

3〕"3『一

-x1——

两式相减得々切+；1”卜一+6一3，

L]_巳\L)\L)\L)

2

所以7；=8+3（"-4卜

19.已知等比数列｛4｝的公比为2,数列也｝满足4=2,打=3,anbn+l-a„=Tbn.

⑴求｛q｝和也｝的通项公式；

（2）记S”为数歹U，，｝的前〃项和，证明：14S“<3.

【答案】（1）4=2"；斗="+1⑵证明见解析

【详解】（1）当〃=1时，-4=2瓦,

又4=2,/?2=3,解得％=2.

所以｛为｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故%=2X2"T=2〃.

则2〃%「2〃=2〃2,即切讨=2+1.

所以也｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故2=2+(〃-l)xl=〃+l.

b〃+1

(2)由(1)可得%=2-，bn=n+1f所以口

an2n*

mo234n+1

贝2=5+中+牙+…①，

234n+1小

Ls齐+梦+吩+…+k②，

2〃

n—\

1

1-

①-②可得：Ls=i+11n+11n+1_3n+3

+及+…+*/广=1+—--_n+i

2"142^22

所以S〃=3—S<3.

2n

n+4〃+3〃+2

因为—-3+>0,所以⑸｝是递增数列.

2n+i2“2n+l

则S〃2H=3-号=1,故1WS.<3.

20.在数列｛。“｝中，=-l,%=24T+3"-6(〃Z2,"€N*).

(1)求证：数列｛%+3〃｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式;

(2)设勿=。“+力，求数歹!)｛〃｝的前〃项和I.

【答案】⑴证明见解析;%=2"-3〃；⑵2例-25+1)

【详解】⑴=2a“T+3”-6(〃22,〃eN*),

a+3n2a+3〃—6+3〃2(a“]+3n-3)

，当〃22时,n=2,

a„_j+3(H-1)<+3”—3+3n—3

数列仇+3科是首项为4+3=2,公比为2的等比数列，

/.4+3〃=2",%=2〃-3〃；

nn

(2)bn=an+n=an=2-+n=2—2n

123

数列｛&｝的前〃项和T„=b,+b2+...+bri=(2-2)+(2-4)+(2-6)+...+(2"-2H)

20-2")2+ln

=21+22+...+2,!-(2+4+6+...+2«)=xn=2,,+1-2-n(n+l).

1-22

21.记S”为数列｛%｝的前〃项和，己知4=1,｛2%｝是公差为2的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)证明:5„<4,

【答案】⑴%=声⑵证明见解析

【详解】（1）因为4=1，所以2q=2,

因为｛2"4｝是公差为2的等差数列，所以2k“=2+2（〃—1）=2〃,

所以g=|?=&

⑵S”=:+W+1+…+会，①

匚亡21c12n-1n小

所以『S"=不+至+…+^¥+至，(2)

乙乙乙乙乙

nn+2

①-②则2s,=l+-+4-+---+—-7_­—=-V2---------

o„2222'12"112〃T

2i----

2

所以S“=4一72+宾2<4・

22.已知数歹!]{〃〃}满足“〃=2%—1—2〃+4(应2,MGN),%=4.

⑴求证：数歹！）｛4-2科为等比数列，并求｛4｝的通项公式;

（2）求数列的前〃项和S”.

【答案】⑴证明见解析，。“=2"+2”

为偶数

33

⑵

S"=<r\n+\C

------〃---，〃为奇数

33

【详解】（1）团。〃=24_1-2〃+4,

回%_2〃=2%_4〃+4=2[%-2(〃-1)],

%-2H

所以=2又4—2=2,

-2(〃-1)

回｛4-2〃｝是首项为2,公比为2的等比数列,

回—2〃=2”,

团〃〃=2"+2〃.

(2)团(」)%“=(一2)"+2(—1)"〃,

12

05,1=(-2)+(-2)+---+(-2)"+2[-1+2-3+4--••+(-1)""],

当〃为偶数时，

,1+1n+l

。(-2巾-(-2)[z〜八[2-2-n22

sn=-1«2)—+2[(-1+2)+(-3+4)+...+(-«+2+«-1)-«]=---+2x-=—+«--

当〃为奇数时,

)[1一(一2)1_2_2〃+i2同

S上——-——-+2[(-1+2)+(-3+4)H----F(-〃+2+〃-=------------\-n-l—2n=-

1-(一2)33

5

-n——

3

L+为偶数

33

综上工

2〃+iS

------n—，〃为奇数

3----3

23.已知数列｛%｝是公差为或4/0）的等差数列，且满足4=1M“M=M”+2.

⑴求｛4｝的通项公式；

4几

⑵设a=（-D"—，求数列出｝的前io项和九.

anan+\

【答案】⑴氏=2〃-1⑵-五

【详解】⑴因为｛叫是公差为d(dwO)的等差数列，％=1,%=y+2,

所以当九=1时，%=%4+2=X+2,

当〃=2时，%—AZZ2+2=x(X+2)+2=尤之+2%+2,

因为。3~a2=。2—%，即X2+%=%+1,

解得％=±1,所以d=2或4=。(舍去)，

所以%=1+2(〃-1)=2〃-1；

(2)由(1)得，

4〃4〃(\1A

aa

〃nn+i(2n-l)(2n+l)(2〃-12n+lJ'

所以；；111120

So=_1_++:—:---1--1---1--=—Id---=

719212121

24.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且S“=2%-4.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛〃*｝的前〃项和T..

【答案】①«„=2向⑵T“=(n-1)2*3_2〃(〃+1)+8

【详解】（1）因为5“=24-4,所以当〃22时，5„_,=2«„.1-4,

两式相减，得S,-S“T=2（一4-（2%7一4）,整理得%=2。“一,

即〃22时，4=2%,又当〃=1时，S[=4=2%—4,解得q=4,

所以数列｛〃〃｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以%=4X2"T=2"M.

(2)由(1)知S“=2x2向一4=2-2-4,所以必“=〃立用一4”,

令6"="•2”',c"=_4〃，易知，C]+c2H-----FCK=-4x—-_-=+1),

设数列的前几项和为&,则(=1x23+2x24+3x25+…+加2"短①,

2^„=1X24+2X25+3X26+---+H-2"+3(2),

由①-②，得-K,=1X23+24+25+26+…+2"+2-”.2"+3,

3

即一K=2+24(1-2"|)_n2"+3=2用_".2"+3_8

"1-2

所以K=23+2*"2")-n-2"+3=("-1)•2"+3+8，

"1-2

所以1=&-2n(n+l)=(n-l)-2"+3-2”(a+1)+8.

25.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且。2+/+%=39,a5=2a4+3a3.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵数列也｝满足2="q,求也｝的前"项和T,.

【答案】(1)。"=3"'(2)7；=⑶-y+l.

【详解】(1)设数列｛4｝的公比为4(4>0),

6仿+/+/)=39\CL=1

则：2，叱。，解得_2，

axq=2a1q+341g国=3

所以a„=3"T,即｛an｝的通项公式为«„=3"i；

(2)由题可知b“=w-3"T,

则Tn=1x30+2x31+3x3?+…+(九一1)X3"-2+〃X3"T,

123,1-1,1

37；,=1X3+2X3+3X3+---+(/7-1)X3+7ZX3,

两式相减得：—2T"=1+31+3-+33H—•+3"—nx3"

(2n-l)3n+l

26.已知数列｛“"｝中，%=1,%=$,〃eN*.

⑴求数列｛4｝的通项公式;

(2)设2=142〃；+3〃，数列的前〃项和S“，求证：S„<|.

〃(〃一1)

【答案】(1)名=2-⑵证明见解析

【详解】(1)解：因为％=1,钾■=。.(«eN*),

=2"(neN*),

二匚l、l77_40n-la2〃(〃一D

所以“一q-%,q'=2"T•2"-2••…2'-1=2“2+""("-1)=22

当〃=1时，％=1满足条件,

n(n-l)

所以。〃二22

(2)因为4=log2"；+3〃=〃(〃+2),

所以工=^—

加以an(n+2)2nn+29

所以S〃二」(l—工+工―工+…+!—一—)=-(1+-一一-----)=-(--------),

2324nn+222n+\n+222H+1n+2

3

所以.

bn

27.数列｛%｝满足〃i=3,〃用一〃;=2an,2=an+l.

⑴求证：出｝是等比数列；

n,.

⑵若c,=/+l,求｛g｝的前〃项和为却

九+2

【答案】⑴证明见解析⑵4="+2-〒.

【详解】(1),I1=6Z„+1,=log2(an+1),=log2(3+1)=2,

a=a

n+in+2%,an+i+1=a；+2an+1=(%+1),

.'.log2(a„+1+1)=210g2(a“+1),

.2+il°g?(4,+1+D.2,

'b“log2(a„+l)一

所以数列｛2｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)可得，bn=T,所以1=^+1,

设4=右,设其前“项和为S”，

贝2+最+…++晟，①

1123n-1n

2n-+g+梦+••H-------------1--------------，②

T-“2e

减②得

1"

1cli11〃2\1)n+2

—S=--1----1---F...H--------=---------------n-=1------

2"2122232"2"T,12n+12n+1

1-----

2

所以S“=2一zz变+2

n+2

所以7；=S“+〃=〃+2--.

28.已知正数数列｛q｝,4=1,且满足靖―("T)。"％—=。("之2).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

H—1

(2)设用=——,求数歹式2｝的前〃项和S,,.

【答案】(1)4=〃!⑵5“=1一々

n\

【详解】(1)0-(n-l)a„a„_j-na^^=0(n>2),

回色—解C”+«„.i)=0(n>2),

^]—=n(n>2).

又a“>0,San=na,5-1，